摘要：本文基于索洛模型，引入人口老齡化和國民儲(chǔ)蓄率兩個(gè)影響變量因子，對(duì)索羅模型進(jìn)行擴(kuò)展，使經(jīng)濟(jì)增長的研究方向更加接近現(xiàn)實(shí)意義。

關(guān)鍵詞：人口老齡化;儲(chǔ)蓄率;索洛模型

1索洛模型發(fā)展概況

經(jīng)濟(jì)增長是人類世代繁衍的核心追求，是經(jīng)濟(jì)發(fā)展的基礎(chǔ)。因此，研究和分析經(jīng)濟(jì)增長的變化因素，為就顯得尤為重要。許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家和學(xué)者在對(duì)經(jīng)濟(jì)增長的機(jī)制研究和探索做出很多的貢獻(xiàn)，并且研究模型種類繁多。下面簡單介紹一些相關(guān)的模型發(fā)展歷程：

1.1哈羅德-多馬模型

20世紀(jì)40年代，哈羅德和多馬曾最早在經(jīng)濟(jì)學(xué)中提出了一個(gè)結(jié)合數(shù)學(xué)模型，并且具有動(dòng)態(tài)化以及長期化特點(diǎn)的經(jīng)濟(jì)增長理論模型，這個(gè)模型表明：國家經(jīng)濟(jì)增長的變化率等于儲(chǔ)蓄率和一個(gè)常數(shù)的比值，并且假定的產(chǎn)品既是消耗又是資本，哈羅德-多馬模型的這個(gè)固定系數(shù)在短期中才有現(xiàn)實(shí)性，而經(jīng)濟(jì)增長理論討論的是一個(gè)長期的表現(xiàn)，因此這個(gè)固定系數(shù)的缺陷受到了很多經(jīng)濟(jì)學(xué)派的批評(píng)，所以很快被索洛模型修正并取代。

1.2索洛-斯旺模型

羅伯特·索洛（Solow）和斯旺（Swan）在1956年提出的索洛模型又稱索洛-斯旺模型，他們棄用了哈羅德-多馬模型中的許多不合理的假設(shè)，例如把生產(chǎn)函數(shù)固定系數(shù)不變的假設(shè)推翻，并使用柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)。根據(jù)索洛模型假定的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，并且還假定產(chǎn)量分為消費(fèi)和投資，而現(xiàn)存的資本又有相應(yīng)的折舊，其中s是投資的比例，δ是折舊率。根據(jù)鏈?zhǔn)椒ㄇ蠼饪傻茫?/p>

dkdt=sf（k）-（n+g+δ）k

2引入老年人口占比及國民儲(chǔ)蓄率的索洛模型

傳統(tǒng)增長模型的勞動(dòng)L（t）利用人口來對(duì)進(jìn)行衡量。即假定每個(gè)人都會(huì)對(duì)社會(huì)做出勞動(dòng)貢獻(xiàn)，并且貢獻(xiàn)也是相同的，但現(xiàn)實(shí)生活中真正對(duì)經(jīng)濟(jì)提供勞動(dòng)的人口，是適齡勞動(dòng)人口（15～64歲）。傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)增長模型可表達(dá)為：

Y（t）=F（K（t），A（t）L（t））（2.1）

其中表示時(shí)間，而K（t）、A（t）、L（t）分別是與時(shí)間有關(guān)但和時(shí)間沒有直接關(guān)系的資本、知識(shí)（或勞動(dòng)的有效性）、勞動(dòng)。本文以同樣方式假定該生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報(bào)酬不變的，用公式表達(dá)：

F（cK，cAL）=cF（K，AL），Ac≥0（2.2）

設(shè)總?cè)丝跒镹（t），其中，u指的是老年人口占總?cè)丝诘谋戎?，h指的是少兒人口占總?cè)丝诘谋戎怠?

F（kAf（u，h）N，1）=1Af（u，h）NF（K，Af（u，h）N）（2.3）

因?yàn)橛行趧?dòng)的總產(chǎn)出Y0按照投資比例進(jìn)行投資，即Y0=F（K，Af（u，h）N），記Yu是用于養(yǎng)老部分的，Yh是用于撫養(yǎng)少兒部分的，那么Y0是在總產(chǎn)出Y扣除兩部分撫養(yǎng)和贍養(yǎng)的消費(fèi)后剩余的，用公式表達(dá)：

Y0=Y-Yu-Yh（2.4）

s=st（1-uq1-hq2）（2.5）

其中，st是指t時(shí)刻我國的國民儲(chǔ)蓄率，s是我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展中用于資本投資的比例。

同樣的，k是指每單位有效勞動(dòng)的平均資本產(chǎn)量，即：

k=kAf（u，h）N（2.6）

則（2.3）式子就可以簡寫成：

y=f（k）=F（k，1）=kα（2.7）

3擴(kuò)展索洛模型的動(dòng)態(tài)過程

本文同樣對(duì)勞動(dòng)、知識(shí)和資本是隨時(shí)間的變化做出假定其中，勞動(dòng)和知識(shí)可以假定為指數(shù)增長的，即勞動(dòng)力和知識(shí)技術(shù)是以不變的速度增長：

dN（t）dt=nN（t）

dN（t）dt=gA（t）（3.1）

我國產(chǎn)量中用于投資的比例是按s進(jìn)行投資，因此每單位投資的產(chǎn)品可以產(chǎn)生新的一單位資本，并且現(xiàn)存的資本是以δ為折舊率進(jìn)行折舊。那么就有：

dkdt=sY0-δK（t）（3.2）

將公式（2.4）帶入上式可得：

dkdt=St（1-uq1-hqz）Y-δK（t）（3.3）

本文猜測，經(jīng)濟(jì)可能隨時(shí)間的增長而增長，那么可以從每單位有效勞動(dòng)的平均資本存量k入手著重考慮，這樣就比直接考慮資本存量K容易。因?yàn)閗=kAf（u，h）N，f（u，h）=1-u-h，則可以用鏈?zhǔn)椒▽?duì)（2.11）求解：

dk（t）dt=st（1-uq1-hqz）y-（δ+n+g-u+h1-u-h）k（t）（3.4）

方程（3.4）是引入我國國民儲(chǔ)蓄率以及老齡化因子的新索洛模型關(guān)鍵方程，其中，第一項(xiàng)由公式（3.4）可知y是每單位有效勞動(dòng)的平均產(chǎn)量，而st（1-uq1-hqz）是我國用于投資的比例s。

4均衡增長路徑

觀察公式（3.4），第一項(xiàng)的實(shí)際投資的數(shù)學(xué)含義是一個(gè)常數(shù)乘以每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)量，而第二項(xiàng)的持平投資數(shù)學(xué)含義是一條與k（t）成正比的直線，因?yàn)樽铋_始是從0開始，所以兩個(gè)函數(shù)的第一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)，并且發(fā)現(xiàn)實(shí)際投資的斜率f′（k）會(huì)由大變小直至慢慢變成0，即曲線會(huì)由陡慢慢變得平坦，這兩條線最終將相較于一點(diǎn)（第二次相交），（如圖2.1所示）并且f〞（k）<0，所以說這個(gè)曲線是一個(gè)向上凸的函數(shù)圖像，那么與直線（持平投資的函數(shù)圖像）只有除原點(diǎn)以外唯一的一次相交，我們把這個(gè)點(diǎn)記作K*，稱為這個(gè)動(dòng)態(tài)方程的均衡點(diǎn)。

當(dāng)f′（k）=0時(shí)，求解可得：

y*（t）=（st（1-uq1-hqz）δ+n+g-11-u-h+1）α1-α（4.1）

對(duì)公式（4.1）兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得：

lny*（t）=α1-α[lnst+ln（1-uq1-hqz）-ln（δ+n+g-11-u-h+1）]（4.2）

由圖4.1，我們可以看出兩項(xiàng)之差的值由0逐漸變大再變到0，并且以均衡點(diǎn)為分界點(diǎn)，之前實(shí)際投資大于持平投資即是大于零的兩項(xiàng)之差，之后是小于零的兩項(xiàng)之差即實(shí)際投資小于持平投資。觀察圖4.2，可知無論k是從什么值開始，都是向k*收斂的（忽略k一開始就停留在原點(diǎn)的情況）。當(dāng)模型是收斂于k*時(shí)，為了研究我國人口老齡化和國民儲(chǔ)蓄率對(duì)經(jīng)濟(jì)的影響，首先分別求偏導(dǎo)數(shù)：

由上面偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果分析，可初步看出：我國國民儲(chǔ)蓄率對(duì)最優(yōu)的人均GDP增長率具有正向的促進(jìn)影響（0<α<1，δ、n、g均是大于0的常數(shù)，0<1-u-h，0

參考文獻(xiàn)

[1]Solow R M. A Contribution to the Theory of Economic Growth[J]. Quarterly Journal of Economics， 1956， 70（1）：65-94.

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[4]黃娟，黃寧陽.武漢市經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)因素的現(xiàn)狀研究——基于索洛模型的分析[J].湖南農(nóng)業(yè)科學(xué)，2018（08）

作者簡介：沈煬，（1993.11-），男，漢，河南安陽人，助教，碩士研究生，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教材研究、統(tǒng)計(jì)學(xué)金融方向研究。