王素娥，王鵬萱，郝鵬飛

(陜西科技大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院，陜西 西安710021)

隨著非線性電子元件在生產(chǎn)活動中的廣泛使用，使得電網(wǎng)要面對電子元件產(chǎn)生的諧波電流污染。有源電力濾波器(active power filter，APF)是目前抑制諧波有效的手段之一，由于其可以動態(tài)濾除各次諧波，且體積小、重量輕而受到廣泛的研究與應(yīng)用。APF 的諧波補償控制器決定了其抑制諧波的能力[1-6]。 目前補償電流控制方法中，比例積分(proportional integral，PI)控制可以對直流分量進行無靜差控制，但是對諧波的抑制效果較差且對補償電流跟蹤精度較低[7]。 文獻(xiàn)[8]將比例諧振控制器作為APF 的控制，可以有效地提高補償電流跟蹤精度，但是每個頻率的交流信號都需要一個單獨的比例諧振控制器進行控制，在實際應(yīng)用中較為復(fù)雜。重復(fù)控制方法是基于內(nèi)模原理而形成的，可以將其視為多個諧振的并聯(lián)。 由于其對諧波的抑制能力較好，被廣泛應(yīng)用在APF 中[9-10]。 但是單獨使用重復(fù)控制時系統(tǒng)瞬態(tài)性能較差，在負(fù)載突變時，無法快速響應(yīng)而使得控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度受到影響[11]。文獻(xiàn)[12]提出PI+重復(fù)控制的復(fù)合控制策略，但是該控制方法的動態(tài)性能受PI 的影響，使得系統(tǒng)的動態(tài)性能受到約束。

本文針對快速重復(fù)控制動態(tài)響應(yīng)速度慢和穩(wěn)定性差的問題，以三相并聯(lián)型APF 為控制對象，采用一種比例控制與快速重復(fù)控制相結(jié)合的復(fù)合控制方法，通過前饋解耦在dq 同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下實現(xiàn)，用于補償2k±1 次諧波，從而可以消除所有的奇次諧波。 比例控制與快速重復(fù)控制相結(jié)合可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，快速重復(fù)控制可以縮短固有延遲的周期。比例控制可以提高對基波信號的控制性能。

1 APF 數(shù)學(xué)模型與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

1.1 APF 在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型

三相并聯(lián)型APF 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1 所示，usa、usb、usc分別為三相電網(wǎng)電壓；L 為APF 側(cè)濾波電感；R 為線路的等效電阻；C 為APF 的直流側(cè)電容。 由圖1 可得，APF 在三相a，b，c 靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為:

式中:ua，ub，uc為APF 的輸出電壓。

APF 輸出的補償電流一般由基波分量與諧波分量構(gòu)成，為了方便控制諧波分量的補償，將a，b，c靜止坐標(biāo)系下的式(1)經(jīng)過等幅度變換矩陣M 轉(zhuǎn)換為d，q 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的式(3)，此為APF 在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型。

圖1 三相并聯(lián)型APF 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

將式(3)做拉普拉斯變換可以得到APF 輸出電壓到輸出電流的傳遞函數(shù)為式(5)，由此即可建立APF 在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型。

式(7)為APF 輸出的補償電流表達(dá)式，可以看出，APF 輸出補償電流中的2k+1 次奇次諧波在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)化為2k 次偶次諧波。 經(jīng)過該變換后可以有效地降低重復(fù)控制的延時時間。

1.2 APF 的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

為了改善控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度，控制系統(tǒng)采用雙閉環(huán)控制。 電壓外環(huán)使用傳統(tǒng)比例控制，將電壓環(huán)的輸出信號與檢測到的負(fù)載電流iL，abc所得到的指令補償電流相疊加作為電流環(huán)的給定值，將APF 輸出的電流ic，abc作為閉環(huán)控制，從而抑制非線性負(fù)載所產(chǎn)生的諧波。 本文的研究工作主要是電流環(huán)的控制策略。

2 改進的快速重復(fù)控制策略

2.1 傳統(tǒng)重復(fù)控制性能分析

重復(fù)控制內(nèi)模結(jié)構(gòu)框圖如圖2 所示，可得，傳統(tǒng)重復(fù)控制內(nèi)模部分的傳遞函數(shù)為:

式中:ω 是基波頻率；T 為參考信號的基波周期。

圖2 重復(fù)控制內(nèi)模結(jié)構(gòu)框圖

傳統(tǒng)重復(fù)控制的伯德(Bode)圖如圖3 所示，從伯德圖可知傳統(tǒng)重復(fù)控制對各次諧波都具有高增益，并且可以對信號進行無靜差跟蹤。 但是重復(fù)控制應(yīng)用在APF 控制時，由于延遲環(huán)節(jié)的存在使重復(fù)控制在動態(tài)響應(yīng)過程中有一個基波周期的延遲，當(dāng)非線性負(fù)載出現(xiàn)突變時，動態(tài)響應(yīng)性能較差并產(chǎn)生大幅度的波動，從而影響系統(tǒng)的補償效果。 為了提高控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度，本文使用比例控制與快速重復(fù)控制相并聯(lián)的復(fù)合控制作為APF 電流內(nèi)環(huán)的控制策略。

圖3 重復(fù)控制的Bode 圖

2.2 快速重復(fù)控制器設(shè)計

針對負(fù)載電流的奇次諧波經(jīng)過旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換后為偶次諧波的特性，本文提出一種快速重復(fù)控制策略，該控制策略可以消除所有奇次諧波。 從延遲環(huán)節(jié)可以看出，滯后的階次降低使數(shù)據(jù)所占內(nèi)存變小，進而可以實現(xiàn)運算量的減少。 快速重復(fù)控制的內(nèi)模結(jié)構(gòu)如圖4 所示，可以得到其傳遞函數(shù)為:

圖4 快速重復(fù)控制內(nèi)模結(jié)構(gòu)框圖

快速重復(fù)控制的伯德圖如圖5 所示，該控制方法在(2k±1)×50 Hz，k ＝1，2…處具有無窮大增益，可以有效地抑制電網(wǎng)中的奇次諧波。 此外，它還具有零相移的特性，即可以零穩(wěn)態(tài)誤差補償2k 次諧波，保證了快速重復(fù)控制的穩(wěn)定性。

圖5 快速重復(fù)控制的Bode 圖

2.3 快速重復(fù)控制穩(wěn)定性分析

快速重復(fù)控制框圖如圖6 所示，其中，iref(z)為輸入信號，ic(z)為輸出信號，id(z)為電網(wǎng)中的干擾信號，e(z)為系統(tǒng)輸入誤差，G(z)為被控對象的傳遞函數(shù)，C(z)為補償環(huán)節(jié)，Q(z)為濾波環(huán)節(jié)，z-N/6為延遲環(huán)節(jié)，N 為周期采樣點數(shù)，虛線包含的部分為重復(fù)控制器。 進而可以得到系統(tǒng)電流閉環(huán)的傳遞函數(shù)為:

式中:kr為重復(fù)控制增益；S(z)為濾波環(huán)節(jié)；zk為超前環(huán)節(jié)。

圖6 快速重復(fù)控制框圖

當(dāng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定時，誤差傳遞函數(shù)為

由式(10)與(12)可得，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是

即H(z)的Nyquist 曲線在單位圓內(nèi)部，就證明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

根據(jù)傳統(tǒng)快速重復(fù)策略對其控制參數(shù)取值，得到系統(tǒng)采用快速重復(fù)控制時H(z)的Nyquist 分布圖，如圖7 所示。 由圖可以看出，式H(z)的Nyquist曲線的一部分在臨近單位圓的地方，表明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，其穩(wěn)定性相對較差。 由此可以看出單一的快速重復(fù)控制器在輸入信號Iref(z)產(chǎn)生突變時，延遲環(huán)節(jié)的存在使得控制器延遲一個周期輸出，導(dǎo)致動態(tài)響應(yīng)速度較差的同時系統(tǒng)的穩(wěn)定性也變差。

圖7 H(z)的Nyquist 曲線

2.4 基于快速重復(fù)控制的復(fù)合控制策略

針對快速重復(fù)控制動態(tài)響應(yīng)性能較差的問題，本文采用一種將比例控制與快速重復(fù)控制相并聯(lián)的復(fù)合控制策略，該復(fù)合控制框圖如圖8 所示。 G1(z)為比例控制器，用作跟蹤基波信號并提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性；G2(z)為快速重復(fù)控制器，用作補償所有的(2k±1)次諧波分量并改善系統(tǒng)的跟蹤精度，具體形式如式(14)所示。 復(fù)合控制策略可以有效地保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)響應(yīng)性能。

圖8 復(fù)合控制框圖

由式(17)可知，采用比例控制與快速重復(fù)控制并聯(lián)的復(fù)合控制策略時，若使系統(tǒng)穩(wěn)定要同時滿足:

(1)單獨采用比例控制時，H0(z)＝1+G1(z)G(z)的根全部在單位圓內(nèi)。

(2)采用復(fù)合控制時，要使系統(tǒng)穩(wěn)定應(yīng)滿足式(18)，其穩(wěn)定條件矢量圖如圖9 所示。

圖9 復(fù)合控制穩(wěn)定條件矢量圖

2.5 補償器的設(shè)計

kr為重復(fù)控制增益，其取值與系統(tǒng)穩(wěn)定裕度成負(fù)相關(guān)，與系統(tǒng)的誤差收斂速度呈正相關(guān)，在實際應(yīng)用中kr取值通常小于1。

濾波環(huán)節(jié)S(z)主要對控制系統(tǒng)的幅值和相位進行補償，從而使系統(tǒng)可以在低頻段保證控制對象G(z)中低頻段的幅值特性和零相移，還可以有效地加快系統(tǒng)高頻衰減速度，從而改善控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由APF 的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可知電流環(huán)被控對象的數(shù)學(xué)模型為1/(Ls+R)。 內(nèi)模校正環(huán)節(jié)需要對傳遞函數(shù)G3(z)進行校正，可以得到其連續(xù)域的傳遞函數(shù)為:

zk為超前環(huán)節(jié)，通常用于補償被控對象G3(z)和S(z)的相位滯后問題，可以使系統(tǒng)在中頻段與低頻段接近零相移。

3 控制器參數(shù)選擇與仿真驗證

本文使用Simulink 仿真平臺，通過建立APF 的仿真模型，驗證本文所提控制策略的可行性。 對比傳統(tǒng)重復(fù)控制策略與復(fù)合快速重復(fù)控制策略的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能。 APF 主電路仿真參數(shù)如表1 所示。

表1 APF 主電路參數(shù)

3.1 控制器參數(shù)選擇

根據(jù)上文所提的控制方法結(jié)合APF 的主電路參數(shù)設(shè)計控制器參數(shù)。 由于比例控制對系統(tǒng)穩(wěn)定性有著很大的影響，因此需要預(yù)先設(shè)計其控制參數(shù)。 比例控制kp的取值根據(jù)2.4 節(jié)所述的穩(wěn)定性判據(jù)1。 繪制H0(z)隨kp變化的參數(shù)根軌跡如圖10 所示，由圖可知當(dāng)0＜kp＜50 時，H0(z)的根都分布在單位圓內(nèi)，滿足穩(wěn)定性判據(jù)1。 在實際應(yīng)用中，考慮到穩(wěn)定裕度，取kp＝1。

超前環(huán)節(jié)zk的補償效果如圖11 所示，根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定條件2，為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，需要保證向量H(z)的軌跡總是在單位圓內(nèi)，所以Q(z)的取值小于1，本設(shè)計取Q(z)＝0.95 可以保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定；重復(fù)控制增益kr取0.2。 本文的采樣頻率為20 kHz，考慮到在實際應(yīng)用中APF 用來補償40 次以內(nèi)基波頻率的諧波，故選取截止頻率為2 kHz 的二階低通濾波器作為補償器S(z)，可以得到其在離散域下的傳遞函數(shù)為式(20)。

圖10 H0(z)隨kp 變化的根軌跡

超前環(huán)節(jié)zk參數(shù)的選取由補償被控對象G3(z)和濾波環(huán)節(jié)S(z)共同決定，其對S(z)G3(z)的補償效果如圖11 所示。 當(dāng)取k ＝3 時，可以實現(xiàn)對系統(tǒng)相位滯后的有效校正。

系統(tǒng)采用復(fù)合控制時H(z)的Nyquist 曲線如圖12 所示。 由圖可知該復(fù)合控制的Nyquist 曲線在單位元內(nèi)，根據(jù)式(18)的穩(wěn)定性判據(jù)可以看出該復(fù)合系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖11 超前環(huán)節(jié)zk 的補償效果圖

圖12 H(z)的Nyquist 曲線

3.2 仿真驗證

負(fù)載電流的THD 如圖13 所示，由圖可知負(fù)載電流iL中的奇次諧波含量較高，諧波的THD 為29.62%。

系統(tǒng)采用傳統(tǒng)重復(fù)控制與復(fù)合控制時電網(wǎng)電流THD 分別如圖14(a)和(b)所示，由圖可知，采用復(fù)合控制時電網(wǎng)電流isa的THD 值相比于傳統(tǒng)重復(fù)控制，由4.65%降為3.14%，可以精確地補償40 次以內(nèi)的所有奇次諧波，從而證明了該復(fù)合控制方法的有效性。 圖15 為采用復(fù)合控制時系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)的電流仿真波形，其中isa、iLa和ica分別為電網(wǎng)電流、負(fù)載電流和APF 的輸出電流。

圖13 負(fù)載電流THD

圖14 電網(wǎng)電流THD

圖15 復(fù)合控制電流穩(wěn)態(tài)波形

為驗證復(fù)合控制的動態(tài)響應(yīng)速度，在0.3 s 時將負(fù)載在從半載狀態(tài)變?yōu)闈M載狀態(tài)，傳統(tǒng)重復(fù)控制與復(fù)合控制的動態(tài)響應(yīng)波形分別如圖16 與圖17 所示。

圖16 傳統(tǒng)重復(fù)控制動態(tài)響應(yīng)波形

圖17 復(fù)合控制動態(tài)響應(yīng)波形

由圖可知，當(dāng)負(fù)載發(fā)生突變時，傳統(tǒng)重復(fù)控制的電網(wǎng)電流波形需要3 個周期才可以恢復(fù)正常，而復(fù)合控制在1 個周期以內(nèi)就可以恢復(fù)正常。 相比于傳統(tǒng)重復(fù)控制，改進型復(fù)合控制瞬態(tài)響應(yīng)時間更短。仿真結(jié)果表明，該復(fù)合控制策略的瞬態(tài)響應(yīng)速度有了較為明顯的提高，并且延遲時間也有所減少，其可以快速地對輸入電流諧波的變化做出反應(yīng)并且達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

4 結(jié)論

本文針對APF 電流內(nèi)環(huán)采用傳統(tǒng)重復(fù)控制策略時動態(tài)響應(yīng)速度慢的問題，分析了電網(wǎng)中的電流諧波主要為奇次諧波，奇次諧波經(jīng)坐標(biāo)變換，在dq 同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下為偶次交流分量。 提出了針對奇次諧波的改進快速重復(fù)控制策略，即將比例控制與快速重復(fù)控制相結(jié)合的復(fù)合控制策略，并在MATLAB/Simulink仿真平臺進行仿真驗證。 可以得出以下結(jié)論:(1)與傳統(tǒng)重復(fù)控制策略相比該復(fù)合控制策略可以有效地提高系統(tǒng)對奇次諧波的補償精度；(2)該復(fù)合控制策略只有對奇次諧波有抑制效果，可以將內(nèi)模延時時間減少一半，從而提高了輸入電流諧波的動態(tài)響應(yīng)，有效地改善系統(tǒng)整體的響應(yīng)速度；(3)該復(fù)合控制策略縮短了內(nèi)模環(huán)節(jié)的延遲周期，數(shù)據(jù)存儲量小，可以有效地節(jié)省數(shù)據(jù)儲空間。