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        一個具有無限多吸引子共存的新混沌系統(tǒng)的動力學(xué)分析及其電路實(shí)現(xiàn)*

        2021-03-23 09:25:22喬印虎
        電子器件 2021年1期
        關(guān)鍵詞:初值平衡點(diǎn)動力學(xué)

        孫 亮,羅 佳*,喬印虎

        (1.池州職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電技術(shù)系,安徽 池州247000;2.安徽科技學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院,安徽 鳳陽233100)

        自從1963 年發(fā)現(xiàn)Lorenz 混沌吸引子以來[1],各種新混沌系統(tǒng)不斷被發(fā)現(xiàn)和研究,如1999 年陳關(guān)榮教授等人[2]提出的Chen 系統(tǒng),2002 年呂金虎教授等人[3]提出的Lü 系統(tǒng)、2004 年劉崇新教授等人[4]提出的Liu 系統(tǒng)以及其他的擴(kuò)展混沌系統(tǒng)[5-6]。 近年來,研究發(fā)現(xiàn),許多的混沌系統(tǒng)具有共存吸引子特性,即多穩(wěn)定性[7-9]。 具有多穩(wěn)定性的混沌系統(tǒng)比一般混沌系統(tǒng)具有更大的不確定性,在信息加密和保密通信等領(lǐng)域具有極高的應(yīng)用價值[10-11]。 特別是2016 年包伯成教授等人[12]在一個憶阻電路中發(fā)現(xiàn)了超級多穩(wěn)定性現(xiàn)象,即在確定的混沌系統(tǒng)中存在無限多個吸引子共存特性。 此后,超級多穩(wěn)定性現(xiàn)象在各種混沌系統(tǒng)中被陸續(xù)發(fā)現(xiàn)和研究[13-16]。 本文提出了一個新的三維連續(xù)混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)僅含有2 個非線性項(xiàng),不僅具有一般混沌系統(tǒng)的特性,重要的是其能夠表現(xiàn)出豐富的超多穩(wěn)定性,即在確定的參數(shù)情況下,不同的初始值能夠得到無限多種不同的混沌吸引子。 同時為了在實(shí)際工程中更好地應(yīng)用此系統(tǒng),設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)電路并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了數(shù)值仿真的正確性。

        1 新的三維混沌系統(tǒng)

        新系統(tǒng)動力學(xué)方程為:

        圖1 混沌吸引子相圖

        式中:x,y,z 為3 個系統(tǒng)狀態(tài)變量,a,b,c,d 為4個正的系統(tǒng)參數(shù),xsin(z)和xy 為2 個非線性項(xiàng)。當(dāng)參 數(shù)a =1,b =0.5,c =12,d =0.3,初 值 為(2,2,2)時,系統(tǒng)具有雙翼混沌吸引子,如圖1(a)、(b)所示,圖1(c)為y =0 時的x-z 彭加萊截面,可以看出彭加萊截面為不規(guī)則的分段曲線,說明此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。 圖1(d)為系統(tǒng)3 個變量隨時間變化的時序圖,可以看出產(chǎn)生的序列具有無周期性,進(jìn)一步證明此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

        2 新系統(tǒng)的動力學(xué)分析

        2.1 耗散性

        通過對系統(tǒng)(1)中3 個非線性方程等式分別求偏導(dǎo),可以得到系統(tǒng)的散度為:

        顯然,當(dāng)a>0 且b>0 時,?V 恒小于0,系統(tǒng)(1)是耗散的。 在此條件下,系統(tǒng)以指數(shù)形式收斂dv/dt=e-(a+b),這意味著,當(dāng)t 趨于無窮大時,系統(tǒng)軌線上每一個小體積元收斂到0,系統(tǒng)的軌跡逐漸趨于一個有界的吸引子。

        2.2 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性

        令系統(tǒng)(1)等式右邊等于0,可以得到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)狀態(tài)方程如下:

        解平衡方程(3)可以得到無限多個系統(tǒng)平衡點(diǎn),如下所示:

        式中:k =0,±1,±2,±3,±4,…。 計(jì)算系統(tǒng)Jacobi 矩陣為:

        所有平衡點(diǎn)P 均有以下特征方程:

        顯然,對于所有正參數(shù),基于勞斯穩(wěn)定性判定定理,系統(tǒng)(1)的所有平衡點(diǎn)均具有不穩(wěn)定性特性。

        2.3 參數(shù)對系統(tǒng)特性的影響

        當(dāng)保持系統(tǒng)參數(shù)a =1,b =0.5,c =12 不變,初值分別設(shè)為(2,2,2)和(2,2,-2),系統(tǒng)隨參數(shù)d 變化的分岔圖如圖2 所示,其中縱坐標(biāo)為x 變量最大值。在圖2 中,紫色表示初值(2,2,2)條件下系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔結(jié)果,藍(lán)色表示初值(2,2,-2)條件下系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔結(jié)果。 從圖2 可以發(fā)現(xiàn),隨著參數(shù)d 從0開始正向增大,系統(tǒng)動力學(xué)軌跡通過正向倍周期分岔路徑從周期行為快速進(jìn)入到混沌狀態(tài),直到d =0.64。 需要指出的是,在此混沌區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)存在少數(shù)窄周期窗特性。 隨后系統(tǒng)又開始從混沌行為反向倍周期分岔進(jìn)入周期行為,并在d =0.76 時通過切分岔路徑快速演變?yōu)榛煦缧袨椤?隨著d 的進(jìn)一步增大,系統(tǒng)再次通過反向倍周期分岔途徑在d =1.1 時進(jìn)入到周期狀態(tài),隨后系統(tǒng)保持周期狀態(tài)穩(wěn)定不變。此外,從圖2 中還可以明顯的觀察到兩個特點(diǎn):一是系統(tǒng)的混沌吸引子幅度與d 密切相關(guān);二是在部分d 的取值范圍內(nèi)存在共存吸引子現(xiàn)象。 為了進(jìn)一步證實(shí)系統(tǒng)(1)的參數(shù)變化特性,圖3 給出了初值(2,2,2)條件下,系統(tǒng)隨參數(shù)d 變化的Lyapunov 指數(shù)譜,當(dāng)d 在(0.1,0.64)與(0.74,1.1)范圍內(nèi),系統(tǒng)Lyapunov 指數(shù)分布為(+,0,-),根據(jù)李雅普諾夫指數(shù)判定定理,說明系統(tǒng)是混沌的。 從圖3 可以看出,系統(tǒng)在d ∈(0,0.1),d ∈(0.65,0.73),d ∈(1.2,1.5),區(qū)間內(nèi)以及d =0.4,d =0.46,d =0.592 時,Lyapunov 指數(shù)分布為(0,-,-),說明系統(tǒng)是周期的。Lyapunov 指數(shù)譜所表現(xiàn)的系統(tǒng)動力學(xué)狀態(tài)分布與分岔圖基本一致。

        在MATLAB 中設(shè)置時間步長為0.01,最大時長為2 000,新系統(tǒng)對于參數(shù)d 取不同值所得到的混沌吸引子相圖如圖4 所示。 由圖可看出:當(dāng)d =0.2 時,系統(tǒng)產(chǎn)生了一個雙翼混沌吸引子;當(dāng)d =0.8 時,系統(tǒng)產(chǎn)生了一個4 翼混沌吸引子;當(dāng)d=0.85 時,系統(tǒng)產(chǎn)生了一個6 翼混沌吸引子;當(dāng)d=1.02 時,系統(tǒng)產(chǎn)生了一個共存的雙翼混沌吸引子。 該新系統(tǒng)在不同參數(shù)值下產(chǎn)生了不同的混沌吸引子,特別是在z 方向上分離產(chǎn)生了多翼吸引子,具有復(fù)雜的動力學(xué)行為。

        圖2 參數(shù)d 分岔圖

        圖3 參數(shù)d Lyapunov 指數(shù)譜

        圖4 新系統(tǒng)在不同d 值時混沌吸引子相圖

        2.4 初值對系統(tǒng)特性的影響

        盡管混沌系統(tǒng)對變量的初始值具有高度敏感性,但大部分的系統(tǒng)在不同的初值下,運(yùn)行軌跡最后都收斂到有限個吸引子上,而對于不同初始值導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)行軌跡收斂到無限個不同的吸引子上的現(xiàn)象被稱為共存無限個吸引子現(xiàn)象,或稱超多穩(wěn)定性行為。

        分析發(fā)現(xiàn),當(dāng)固定參數(shù)a =1,b =0.5,c =12 和d =0.3,初值x(0)=2,y(0)=2 保持不變,在不同的初值z(0)條件下,新系統(tǒng)(1)能夠產(chǎn)生無限多種混沌吸引子共存現(xiàn)象,即新系統(tǒng)具有超多穩(wěn)定性。 如圖5 所示,當(dāng)z(0)分別設(shè)置為-2π,0,2π,4π,6π,8π 時,對應(yīng)的混沌吸引子分別為紫色,紅色,綠色,黃色,淺藍(lán)色和深藍(lán)色吸引子。

        圖5 初值z(0)影響下的共存混沌吸引子

        保持系統(tǒng)參數(shù)不變,圖6 給出了系統(tǒng)(1)隨初值z(0)變化的分岔圖。 由圖6 可知,對于更多不同的z(0)值,系統(tǒng)(1)能夠產(chǎn)生更多的共存混沌吸引子。 它進(jìn)一步說明了新系統(tǒng)中無限多個混沌吸引子共存現(xiàn)象的客觀存在性。 此外,如果設(shè)置參數(shù)a =1,b =0.5,c =12,d =1.2,同樣取不同的初值z(0)為-2π,0,2π,4π,6π,8π,系統(tǒng)(1)能夠產(chǎn)生無限多個共存周期吸引子,如圖7 所示。

        圖6 系統(tǒng)隨z(0)變化的分岔圖

        圖7 初值z(0)影響下的共存周期吸引子

        3 電路設(shè)計(jì)與仿真

        混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)對于實(shí)際工程應(yīng)用具有根本的重要性[17-18]。 利用模擬運(yùn)算放大器,模擬乘法器,正弦信號轉(zhuǎn)變器以及電阻、電容對系統(tǒng)(1)進(jìn)行電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。 圖8 給出了系統(tǒng)的電路圖。 系統(tǒng)狀態(tài)變量x,y,z 通過3 個積分器的輸出電壓表示?;诨鶢柡煞螂娐范?,系統(tǒng)電路的等效電路方程為:

        比較系統(tǒng)參數(shù)與電路元件,參數(shù)a =R/R1=R/R2,b =R/R6=R/R7,c=R4/R3,d =Vc/R9。 在Multisim電路仿真軟件中創(chuàng)建圖8 所示電路,當(dāng)a =1,b =0.5,c=12 時,對應(yīng)電路元件值設(shè)置為C =10 nF,R =10 kΩ,R1=R2=100 kΩ,R6=R7=200 kΩ,R5=R9=100 kΩ,R4=10 kΩ,R3=0.9 kΩ。 當(dāng)d =0.3 和d =1.2 時,調(diào)節(jié)Vc值分別為0.33 V 和1.3 V,仿真結(jié)果分別如圖9(a)和圖9(b)所示。

        圖8 系統(tǒng)電路原理圖

        圖9 Multisim 仿真結(jié)果

        4 結(jié)論

        本文針對一種具有無限多吸引子共存的三維連續(xù)混沌新系統(tǒng),進(jìn)行理論分析,MATLAB 數(shù)值計(jì)算和電路設(shè)計(jì)仿真研究。 研究結(jié)果表明,該系統(tǒng)在不同的系統(tǒng)參數(shù)下能夠產(chǎn)生不同的多翼混沌吸引子,具有豐富的動力學(xué)特性。 特別是在固定系統(tǒng)參數(shù)下,通過改變初始值,該系統(tǒng)能夠產(chǎn)生無限多吸引子共存的超多穩(wěn)定性動力學(xué)行為。 通過設(shè)計(jì)模擬電路,用Multisim 得到新系統(tǒng)的一種混沌吸引子和一種周期吸引子,從而證實(shí)了系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。 如此超多穩(wěn)定性混沌系統(tǒng),在保密通信中具有較高的應(yīng)用價值。

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