郭澄東
數(shù)學(xué)教育家波利亞說:“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面,一方面是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)科,但是另一方面,在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)更象一門實(shí)驗(yàn)性的學(xué)科”,實(shí)際上,實(shí)驗(yàn)教學(xué)是對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的教學(xué)的發(fā)展和充實(shí),在培養(yǎng)學(xué)生動手能力、探究能力、創(chuàng)新意識等方面,實(shí)驗(yàn)教學(xué)有著其它傳統(tǒng)教學(xué)手段無法實(shí)現(xiàn)的功效。而折紙是學(xué)生最熟悉的游戲之一。利用折紙可以做成許許多多我們熟悉的幾何圖形。可以說是一種數(shù)學(xué)啟蒙活動。
下面就談一談如何用矩形紙片折一些常見的幾何圖形。
一、折正方形
找一張長方形紙片ABCD
(1)把紙片折一個角,使DA邊落在DC上,折痕為DE,如圖(1)
(2)過點(diǎn)E將ABCD對折,折痕為EA/,得正方形ADA/E,如圖(2)
證明:由折疊知 ,
又∵ , 。
二、折正三角形
找一張矩形紙片ABCD
(1)先把矩形ABCD對折,使BC邊與AD邊重合。折痕為MN,如圖(3)
(2)把紙片折一個角,使B點(diǎn)落在折痕MN上,折痕為AE,如圖(4)
(3)把梯形紙片AECD沿EB線折疊,折痕為EF,如圖(5),則△EAF為正三角形。
證明:由折疊知BC∥MN∥AD,Rt△ABE≌Rt△AB/E,∴∠1=∠3
由平行線等分線段定理,∵CN=DN,∴EB/=FB/
∴Rt△AEB/≌Rt△AFB/(SAS),∴AE=AF,∠1=∠2,∴∠1=∠2=∠3
∴∠1=∠2=∠3=30°∴∠EAF=60°,又∵AE=AF,
∴△EAF為正三角形。
三、折正六邊形
找一張正三角形紙片△ABC
(1)先把正三角形△ABC對折,使點(diǎn)B,C重合,折痕為AD,展開后再對折,使點(diǎn)A和點(diǎn)C重合,折痕為BE,兩折痕的交點(diǎn)為O
(2)折疊∠A,使點(diǎn)A與點(diǎn)O重合,折痕為FK,
(3)折疊∠B,使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合,折痕為GH,
(4)折疊∠C,使點(diǎn)C與點(diǎn)O重合,折痕為IJ,則六邊形FGHIJK為正六邊形。
證明:由作圖知,O為△ABC的重心,
假設(shè) AB=AC=BC=a,則 ,
由折疊知 ,△AFK為等邊三角形。
易證: ,同理
所以六邊形FGHIJK為正六邊形。
四、折黃金矩形
黃金矩形就是長寬比為 的矩形,它在建筑上、美學(xué)上有很多的應(yīng)用。
找一張矩形紙片ABCD
(1)把紙片折一個角,使DA邊落在DC上,折痕為DE,如圖(8)
(2)過點(diǎn)E把ABCD對折,得正方形ADFE,折痕為EF,如圖(9)
(3)把正方形ADFE沿EB線折疊,使AD與EF重合,折痕為GH,如圖(10)
(4)把矩形HCBG折一個角,使HC過E點(diǎn),HC與E點(diǎn)重合的點(diǎn)記為J,如圖(11)
(5)過點(diǎn)J對折矩形,折痕為IJ,如圖(12),
則矩形AIJD是一個黃金矩形。
證明:正方形ADFE中,設(shè) ,由折疊知
圖(11)中,
矩形ADJI中,
∴矩形AIJD是一個黃金矩形。
五、折黃金三角形
黃金三角形是指底腰比為 的等腰三角形,它在建筑上和美學(xué)上有著重要和廣泛的應(yīng)用。
找一張黃金矩形紙片ABCD
(1)將AB翻折,使點(diǎn)A落在BC邊上A/處,折痕為BG,
(2)將矩形A/GDC對折,折痕為EF,
(3)把矩形ABCD對折一個角,使點(diǎn)C恰好落在折痕EF上的點(diǎn)C/處,折痕為BH,則△BCC/為黃金三角形。如圖(13)
證明:設(shè)
∵ABCD為黃金矩形,
,(13)
,
∽ ,
,即△BCC/為黃金三角形。
通過折紙游戲,讓學(xué)生在思考中,在想象中,在表演中,在動手中,在觀察中感到數(shù)學(xué)的無處不在,感到數(shù)學(xué)的奇妙無窮,喚起他們潛在的好奇心與學(xué)習(xí)探究渴望,更為重要的是,讓數(shù)學(xué)的抽象概念與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)做如此的連續(xù)鏈接,調(diào)動學(xué)生潛在的經(jīng)驗(yàn)性理解,這有助于學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中更好地,更深刻地理解概念。
快樂學(xué)習(xí)報(bào)·教師周刊2021年49期