蔣 碩 郭旭波 安 宇 張留碗 阮 東

(清華大學物理系,北京 100084)

第50屆國際物理奧林匹克競賽于2019年7月7日至15 日在以色列特拉維夫舉行,共有76個國家300多名中學生選手參加。由清華大學物理系率領代表中國參賽的5名中學生全部獲得了金牌[1],并取得了團體總分第一、個人總分第一,個人理論和個人實驗總分第一的優(yōu)異成績。本次競賽理論試題共三道,每道10分。其中第二道關于微波爐工作與食品加熱原理的問題[2]很有意思。微波爐是大家日常生活中都用過的電器,但對它的工作原理卻未必都熟悉。其實微波爐的發(fā)明就是二戰(zhàn)時雷達研究的副產品。雷達的核心器件是產生射頻電磁波的磁控管(magnetron)。在當時磁控管調試中,研究者PercySpencer發(fā)現口袋中的巧克力被加熱融化,進而發(fā)明了微波爐[3]。在本次競賽中,出題委員會將微波爐中的磁控管進行了模型簡化,定性和定量地探究它的工作原理,全面考查電磁學的內容;并利用電磁波與水分子作用(受激電偶極子模型),研究微波加熱食物的機制。題目貼近生活同時全方位考查基礎物理知識,本文將對它進行詳細的介紹與解答。

1 題目:微波爐的物理

這個題目是關于微波爐中微波的產生,及其加熱食物的用途。微波是在一個被稱為磁控管的裝置中產生的。Part A 是關于磁控管的原理,PartB是食物對微波的吸收。

PartA:磁控管的結構與原理(6.6分)

磁控管是用來產生微波輻射的裝置,可產生脈沖(用于雷達)或連續(xù)(比如在微波爐中)的微波。磁控管有一種自放大的振蕩模式。對磁控管加上靜態(tài)(非交流)電壓可很快地激發(fā)這一模式。產生的微波輻射再從磁控管輸出。

典型的微波爐磁控管由銅質實心圓柱形陰極(半徑為a)和環(huán)繞它的陽極(半徑為b)組成。陽極為較厚的圓柱外殼形狀,并鉆有多個圓柱型空腔。這些空腔被稱為“諧振腔”。其中一個諧振腔連接到天線,把微波能量發(fā)射輸出。在下面的題目中忽略天線。所有內部空間都在真空中。考慮圖1(a)顯示的一種典型的具有8個諧振腔的磁控管。圖1(b)所示為單個諧振腔的三維結構。如圖所示,八個腔中的每一個都表現為電感—電容(LC)諧振器,其諧振頻率為f=2.45GHz。

沿著磁控管軸向施加一個靜態(tài)均勻磁場,指向頁面外(圖1(a))。在陽極和陰極之間還施加一個恒定電壓。從陰極發(fā)射的電子達到陽極使其帶電,因而激發(fā)出一個振蕩模式,該模式中,每兩個相鄰諧振腔之間的電荷的符號是相反的。諧振腔可以放大這種振蕩。

圖1 磁控管簡化示意圖

上述過程在陰極和陽極之間產生了一個交變的電場(圖1(a)中的灰線;靜電場部分未畫出),其交變頻率為前述的f=2.45GHz。這個交變的電場疊加在恒定電壓引起的靜電場上。陽極和陰極之間的交變電場的典型振幅約為靜電場的1/3。電子在陰極和陽極之間的運動受到靜電場與交變電場的共同作用。這使得到達陽極的電子將它們從靜電場獲得的大約80%的能量轉換為交變場。少數發(fā)射出的電子返回到陰極后釋放出更多的電子,進一步放大了交變場。

每個諧振器都可認為有電容和電感,如圖1(b)所示。該電容主要來自諧振器表面的平面部分,而電感來自圓柱形部分。假定諧振器中的電流均勻地沿著圓柱形諧振腔的表面流動,且該電流產生的磁場強度是理想無限長螺線管的0.6 倍。圖1(b)給出了諧振器的幾何參數及其數值。真空介電常數和磁導率分別為ε0=8.85·10-12F m和。

A.1(0.4分):用上述數據計算諧振器的諧振頻率f。(你的計算結果可能會與題目給出的實際值f=2.45GHz不同。在下面的問題中使用題目給出的實際值。)

我們現在再來討論磁控管的情況。陰極和陽極之間的距離是15mm。由于前述的能量的損失,假設每個電子的最大動能不超過Kmax=800eV。靜磁場的強度為B0=0.3T。電子的質量和電荷分別為m=9.1·10-31kg 和-e=-1.6·10-19C。

A.3(0.4分)在一個參照系中數值估算電子運動軌跡的最大半徑,該參照系中電子的運動近似為圓形,且該參照系近似為慣性系。

A.4(1.2分)圖2所示為某一時刻陽極和陰極之間的交變電場線(靜電場電場線未畫出)。在答題紙中指出此時刻在A、B、C、D和E處的電子,哪些電子會飄向陽極,哪些會飄向陰極,哪些電子的漂移方向完全垂直于半徑方向。

圖2 陽極與陰極之間的交變電場

圖3所示為某一時刻陽級和陰極之間的交變電場線(靜電場電場線未畫出)。A、B、C、D、E和F為該時刻6個電子的位置。所有電子距陰極的距離相同。

圖3 另一時刻陽極與陰極間交變電場

A.5(1.2分)考慮圖3中的情況,對于6個電子對AB、AC、BC、DE、DF、EF中的每個電子對,在答題紙中指出該時刻它們的漂移是否會導致它們與陰極中心O的連線的夾角增大或減小。

在問題A.5中會發(fā)現有一種聚焦機制,將陰極和陽極間的電子會聚成輻條形狀。圖4描繪了一個這樣的輻條,用S標出。

A.6(0.8分)在答題紙中繪出此時刻的其他輻條們。用箭頭們標出它們的旋轉方向,并計算它們的平均角速度ωs。

假設陰極和陽極之間的中點處的總電場等于從陰極到陽極的徑向靜電場的平均值,并且在該中點的輻條大致是沿徑向的。陰極和陽極的半徑(a和b)見圖4。

圖4 陽極陰極間電子匯聚輻條示意圖

A.7(1.1分)寫出使磁控管以上述方式工作所需的靜電壓V0的近似表達式。(你計算得到的電壓值是磁控管工作所需的最小值。最優(yōu)工作電壓會更高一些。)

PartB:微波輻射與水分子的作用(3.4分)

這部分我們利用微波輻射(從磁控管的天線輻射進微波爐的食品室)來烹飪,就是加熱一種有損耗的介電材料,比如純凈水或者鹽水(鹽水可以看作湯的模型)。

電偶極子模型是一對大小相同的正負電荷q與-q間隔一段距離d,電偶極矩矢量從負電荷指向正電荷,大小為p=qd。

B.1(0.5分)寫出下列表達式:電場作用在電偶極子上的力矩的大小τ(t),以及電場傳輸給電偶極子的功率的大小H i（t）。用p0,E（t）,θ（t）和它們的導數來表示。

水分子是有極性的,因此可以當成電偶極子來處理。但由于在液態(tài)水分子之間強大的氫鍵,我們不能將水分子視為各自獨立的偶極子。因而我們應該考慮極化矢量P(t),它是偶極矩密度(單位體積的水分子的平均電偶極矩)。極化矢量P（t）平行于作用在該處的局域交變電場(由微波產生),E(t),并隨時間振蕩,振蕩幅度正比于局部交變電場的幅度,但有相位滯后δ0。

B.2(0.5 分)寫出單位體積的水吸收功率的時間平均值〈H（t）〉的表達式。含時的周期函數在一個周期內的時間平均值的定義為

現在考慮微波輻射在水中的傳播。水的相對介電常數(在電磁場頻率下)為εr,相應的水的折射率為,電場的瞬時能量密度為。磁場與電場的時間平均能量密度相等。

B.3(1.1分)用I（z）來表示輻射能量通量密度(energy fluxdensity)的時間平均(即單位面積上的平均輻射功率流)。這里z是進入水的深度,輻射沿z方向傳播。寫出該通量密度I（z）對z的依賴關系式,該通量密度在水表面的值I0可以出現在結果中。

位相差δ是由于水分子間的相互作用導致的結果。位相差取決于無量綱的介電損耗系數εl和相對介電常數εr(兩個常數都與微波輻射的角頻率ω和溫度有關),且具有以下關系:tanδ=εl/εr。當δ足夠小時,在水中深度為z處的電場為

其中k0=ω/c,c=3.0×108m/s是真空光速。

B.4(0.6分)在tanδ≈sinδ近似關系下,利用其他參數寫出B.2問中系數β的表達式。

圖5畫出了純水(實線)和稀鹽水(虛線)的εl(深色)與εr(淺色),在幾個不同的溫度下,隨波長或頻率的變化。箭頭指示了從0～100℃的各曲線.角頻率ω在圖中用一條粗的豎直線標出,下面我們只考慮微波輻射在此頻率時的情形。

圖5 純水(實線)和稀鹽水(虛線)的εl(深色)和εr(淺色),在不同溫度隨波長的變化

B.5(0.7分)利用圖5回答下列問題:

1.對于20℃的純水,計算出進入深度z1/2的值,z1/2是指在這一深度時單位體積的功率是z=0表面處的一半。

2.在答題紙中指明微波照射純水時,隨溫度升高,進入深度是增加,減少還是保持不變。

3.在答題紙中指明微波照射湯(稀鹽水)時,隨溫度升高,進入深度是增加,減少還是保持不變。

2 題目解答與點評

磁控管的處理,若用電動力學中給定陰極陽極電壓V,和沿著管軸向垂直于紙面(圖1)的磁場B,以及磁控管的形狀(邊界條件),理論上是可以計算電磁場分布以及電子在其中的運動,但非常復雜,這不是本題的目的。題目的巧妙之處,是將復雜的理論計算進行了模型簡化,使得物理圖像更清晰。所以這里先談談這個物理圖像。

如圖6(a)所示,陰極(中間銅軸)和陽極(外部銅殼,但被鉆有諧振腔),外加電壓(陰陽極間的靜電場)后電子會從陰極飄向陽極,對陽極充電。由于諧振腔帶有電感L電容C,形成了LC 電路,會產生電荷分布的振蕩。所以電子在陽極的分布雖然有對稱,卻不是均勻的。電荷會形成圖6(b)中顯示的各諧振腔間正負交替分布,并產生交變電場。在外加垂直磁場和諧振腔產生的交變電場共同作用下,電子進而會產生如圖6(b)的聚焦現象。電子流(圖6(b)中的“觸手”)在某一時刻如圖6(b)顯示那樣會集中在幾個方向。隨著諧振腔LC振蕩引起的電場交變變化,以及外加靜電場的作用下,電子流會產生旋轉,進而輻射出電磁波(微波)。這部分在題目的導言中有論述,這里結合圖6希望做出更清晰的解釋,對于解題和理解答案有所幫助。

2.1 LC電路計算

A.1問:如圖1(b)所示的LC電路,它的諧振頻率為

圖6 磁控管陽極陰極間電場與電子的分布示意

L、C分別為諧振腔的電感與電容,所以要計算L、C。題目中描述了電容主要來自諧振器表面的平面部分,而電感來自圓柱形部分,圖1b給出了尺寸數據。電容相當于:長h=17.5mm,寬l=6mm,間距d=1mm 的平板電容(用無限平板近似),其電容值C

圓柱電感依題意相當于半徑為R=6mm 螺線管,但電流等效為0.6I。磁場強度B

I為環(huán)繞腔體的總電流,I/h相當于螺線管電流線密度。磁通量:πR2B,則電感L

帶入諧振頻率式(3)以及l(fā),h,d,R數值,可知估算的頻率f est

如題所述,這一估算頻率與實際頻率f=2.45GHz有所不同,后面計算中使用的是實際頻率。本問考查了電磁學中電容,電感和LC 電路的基本知識。

2.2 電子在電場磁場中的運動

綜上,可以畫出兩種不同初始速度下運動的軌跡(深色,淺色分別代表初始條件1,2)如圖7所示:

圖7 不同初始速度下電子回旋運動的軌跡

從計算結果可知:相比于磁控管陰極陽極之間的距離(15mm),回旋半徑很小;因而在后面的問題中我們可以忽略電子的回旋運動而只關注漂移運動。這大大簡化了下面對于電子聚焦的處理。

2.3 電子束的聚焦與旋轉

A.4問:如上文中我們發(fā)現電子在磁控管陰極陽極間的運動可以近似當作純的漂移運動而忽略其回旋。而在A.2 問的分析中我們又知道:;方向與E×B同向。本問中關心的是電子速度的徑向分量,磁場B垂直之面朝外,因此只有電場E的切向分量影響電子徑向速度。靜電場部分沒有切向分量,所以我們只需考慮交變電場部分。如果它的切向分量順時針,電子漂移速度將指向陰極;若電場切向分量逆時針,電子將飄向陽極;若無電場切向分量,則電子運動完全垂直徑向。

從圖8中可看出,A,B點處的電子將飄向陰極;而C,D,E處的電子飄向陽極。本問完全不需要計算,但是考查上面分析中的物理圖像。

圖8 A、B 處的淺色線標出交變電場此時的方向

A.5問:本問是要考慮圖3中各電子漂移速度的切向分量,進而判段題目中的電子對是否匯聚(相對中心夾角減少)或發(fā)散(夾角增大)。而速度的切向分量,則取決于圖3中各位置電場的徑向分量。又因為圖中各點到中心的距離一樣,所受徑向靜電場相同(指向中心的靜電場會使各電子具有逆時針的漂移速度分量,但這一速度對所有同一半徑上的電子都一樣),所以電子的匯聚與發(fā)散將只取決于交變電場的徑向分量。

參見圖3,若交變電場的徑向分量是指向中心,會使那里的電子漂移速度有逆時針分量,如C,D處;若徑向分量指離中心,會使那里的電子漂移速度有順時針分量,如A,F處;在B,E處的交變電場徑向分量近似為0,那里電子沒有額外的切向速度分量。

從上面的分析中不難看出題目所問的答案:

AB、BC、AC電子對之間角度會減少,這里電子被匯聚(聚焦)。

DE,EF,DF電子對之間角度會增大,電子發(fā)散。

A.6問:圖4只是畫出了聚焦的電子輻條的一部分(A.5問的ABC區(qū)間);從腔的對稱設計來看,電子會在相鄰的兩個腔之間的區(qū)域交替匯聚,發(fā)散;所以如圖9所示,共有4個匯聚的輻條。在靜電場驅動下,整體逆時針旋轉。

LC的振蕩使得相鄰腔之間正負電荷交替變化,如圖9中時刻,如果經過1/2的LC周期,正負電荷分布(參見圖3或圖6(b))正好對調;匯聚輻條的輻條會移到初始時刻發(fā)散的地方(旋轉π/4);或者經過一個LC 周期T,輻條會旋轉到原來相鄰輻條的位置,即旋轉π/2。

圖9 電子匯聚輻條示意圖

已知LC 振蕩頻率f=2.45GHz,則輻條旋轉的角頻率(角速度)

A.7問:要使得磁控管以這樣的方式工作,就要讓匯聚的輻條以A.6問中的角速度旋轉。這樣恰好同LC的振蕩匹配,形成共振。這個整體旋轉的速度如前所述,將取決于陰極陽極間的靜電場大小。通過外加電壓V0,使得電子的切向漂移速度正好與A.6中電子輻條旋轉相匹配,這是最佳的共振條件。這里近似用線性處理,考慮從陰極到陽極的一半距離:r=(a+b)/2處。給定電壓V0,這里的電場為:E=V0/(b-a);此處電場與恒定磁場B0引起的漂移速度為:u D=E/B0=V0/[（b-a）B0]。角速度:ω=u D/r=2V0/[B0（b2-a2）]=ωs,得到V0表達式

2.4 微波與水分子的作用

PartB所考查的是電磁波與物質作用的電偶極子經典模型:電偶極子在電場驅動下受迫振動,電場對電偶極子做功,因而產生電磁波的吸收。有了這樣的圖像,本部分幾問都不算太難。

B.1問:本問就是求外加電場對電偶極子做的功。題中電場沿著x方向,電偶極子p0與之夾角為θ(t) ;電偶極子在電場力矩下做擺動式振動):電場作用在它上面的力矩為

功率是力矩乘以角速度

p x（t）是偶極子的x分量。

B.2問:對式(6) (偶極子變?yōu)闃O化率) 做時間平均,用題目給出的電場與偶極子的表達式。注意到此時的偶極子沿電場方向(即x方向),因此P x（t）=βε0E0sin(ωt-δ)

B.3問:電磁學中能流密度(也有叫光強)I是Poynting矢量的時間平均,本題可以通過Poynting矢量寫出[5]。題目中給出電場能量密度,并告知磁場能相同;所以題目本意應是讓學生用能流密度定義,即能量密度乘以傳播速度來求解:

電磁場能量密度為

在介質中傳播速度為:c/n;則能流密度

由于有吸收,電磁場在水中傳播會減小,單位時間單位面積的能流在傳播dz后

代入B.2問中的結果和關系式(7)

B.4問:通過式(7)與式(8),由題目中給出的電場可直接將β表達出來

B.5問:

1) 從式(9)可求z1/2,需要從圖5中讀出純水在20℃時,在給定頻率ω處的εr和εl(εl是問了計算tanδ)值:εr～78;εl～10。

2) 進入深度z1/2在給定頻率時正比于εl;從圖5中容易看出,隨著溫度上升,在給定頻率ω處的淺色的曲線(εr)下降了幾倍;而深色線(εl）下降了幾十倍,因而進入深度會增大。

3) 鹽水的趨勢(圖5中的虛線)則不一樣了,隨著溫度上升,深色虛線(εl）上升,而淺色曲線(εr)下降;所以對于鹽水,升高溫度減少了z1/2。換言之鹽水吸收微波更有效。

3 結語

把微波爐中的核心磁控管不用復雜的電動力學計算,而是抓住其中的物理本質:LC 振蕩以及電磁場對電子的聚焦是本題最精彩的地方。讀懂了這個物理本質,在題目一步一步的引導下,一個簡明的電子在磁控管陰陽極之間的運動圖像層層展現在面前。題目的計算并不復雜,但考查了電磁學中LC振蕩、電子漂移等重要且典型的問題。題目中(A.4～A.6)幾問,若了解其中的物理圖像,根本不用計算;但若圖像不清楚,則會覺得無從下手。本題巧妙精彩的地方是,既有對物理計算的考查,同時更突出對物理圖像的把握。筆者認為這讓本題成為這幾年奧賽中最經典的題目之一。

本題目不僅物理圖像巧妙,還有貼近生活的應用。了解了題目的讀者,也許大家以后再用微波爐加熱食物和水時,就會聯想到這里面的物理原理豈不妙哉!