史 博 陶宗明 張 輝 單會會 麻曉敏 張連慶 王申浩

(陸軍炮兵防空兵學(xué)院物理教研室,安徽 合肥 230031)

我們都知道牛頓運(yùn)動定律適用于質(zhì)點(diǎn),在低速條件下不考慮質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的變化,可直接運(yùn)用F=m a(其中,F表示力,m表示質(zhì)量,a表示加速度)求解問題,而在公式(P表示動量,v 表示速度,t表示時間)中,后一項(xiàng)是由于相對論效應(yīng)導(dǎo)致的質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的改變,而并非與外界質(zhì)量交換導(dǎo)致的質(zhì)量變化。但在經(jīng)典力學(xué)中常常會遇到物體與外界有質(zhì)量交換而引起的變質(zhì)量問題,那么F=m a的形式對這種變質(zhì)量情況是否成立?

變質(zhì)量物體可以看作一個系統(tǒng),則它就是一質(zhì)量不斷變化的開放系統(tǒng)。我們知道,對于一個質(zhì)量不變的封閉系統(tǒng)而言,每個瞬時,F=m a也都是成立的,但系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的加速度可能是不同的,因此這里的F是系統(tǒng)受到的合外力,m是系統(tǒng)的(總)質(zhì)量,而a是系統(tǒng)的質(zhì)心加速度,所以此時運(yùn)用的也就是質(zhì)心運(yùn)動定理。對于質(zhì)量隨時間變化的開放系統(tǒng),由于它與外界有質(zhì)量交換,顯然質(zhì)點(diǎn)的牛頓運(yùn)動定律公式F=m a就無法直接運(yùn)用了。

對于質(zhì)量與外界有交換的變質(zhì)量物體,可把變質(zhì)量物體和與其交換的質(zhì)量看成一個系統(tǒng),其動力學(xué)問題可通過系統(tǒng)的動量定理、動能定理或功能原理解決[1-3],但大部分老師和學(xué)生仍然對牛頓第二定律更加熟悉,能不能推導(dǎo)出與牛頓第二定律形式相似又適用于變質(zhì)量物體的運(yùn)動定理呢? 本文將給出兩種推導(dǎo)方法,并舉例應(yīng)用。

1 公式推導(dǎo)

1.1 變質(zhì)量物體的界定

本文討論的變質(zhì)量物體是指一個質(zhì)量主體在運(yùn)動過程中不斷有較小的質(zhì)量加入(或離開),如雨滴下落過程中不斷有水汽加入,火箭飛行過程中不斷向外噴氣等。這類變質(zhì)量問題有一個特點(diǎn)就是主體和離開前(或主體與加入后)的較小質(zhì)量具有共同的速度。本文所討論的變質(zhì)量物體就是指具有上述特點(diǎn)的主體。

對于這類變質(zhì)量力學(xué)問題,本文推導(dǎo)出了與牛頓第二定律具有相同形式的表達(dá)式,便于學(xué)生記憶和理解。在推導(dǎo)過程中,引入以下假設(shè):在變質(zhì)量問題中,加入(或離開)主體的較小質(zhì)量,只與主體之間有相互作用力,不受其他外力作用。

1.2 由牛頓定律進(jìn)行推導(dǎo)

設(shè)變質(zhì)量主體的質(zhì)量為M,在dt時間內(nèi)有較小質(zhì)量dm加入(或離開)主體,加入主體后(或離開主體后)相對主體的速度為u,M受到dm的作用力為f,M受到除dm之外的合力為F;dm受到外力f′,且有f=-f′,對M和m分別運(yùn)用牛頓第二定律[4-6]

其中,a M和a m分別是M和dm的加速度。兩式相加可得

對于dm的加速度a m,可寫成

將公式(4)代入公式(3),可整理為

1.3 由系統(tǒng)的動量定理進(jìn)行推導(dǎo)

以主體質(zhì)量增加為例進(jìn)行推導(dǎo),默認(rèn)地面參考系。設(shè)物體M速度為v,受力為F,質(zhì)元dm初始速度為v0,dm加入M中經(jīng)過時間為dt,M和dm的共同速度為v+dv,根據(jù)系統(tǒng)的動量定理

忽略dmdv 整理得

設(shè)dm速度的變化為u,即u=v-v0,可得

由上可知,式(5)和式(8)是相同的,即兩種推導(dǎo)方法結(jié)果一樣。在系統(tǒng)質(zhì)量減少的情況下,若取絕對值,方程形式不變,若取負(fù)值,則形式為,這里不再推導(dǎo)。

以上兩種方法推導(dǎo)出的變質(zhì)量問題運(yùn)動方程與牛頓第二定律的形式和諧統(tǒng)一,便于記憶和理解,將其命名為變質(zhì)量牛頓運(yùn)動定理。

2 應(yīng)用舉例

根據(jù)以上推導(dǎo)得到的運(yùn)動定理,舉例進(jìn)行分析求解。

例題1裝煤車問題。一輛裝煤車以水平速率v從煤斗下經(jīng)過,每秒落入車廂的煤的質(zhì)量為Δm,若車廂保持速率不變,應(yīng)用多大的力牽引車廂? (忽略車廂與鋼軌之間的摩擦)

解:此問題可以煤車系統(tǒng)為研究對象,應(yīng)用系統(tǒng)動量定理求解;也可以落入煤車的煤dm為研究對象,應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動量定理求解。這里給出應(yīng)用本文推導(dǎo)的方程來求解的過程。

以地面為參考系,以車廂為研究對象,在水平方向上進(jìn)行分析,dt時間內(nèi)落入車廂的煤dm水平方向不受外力,車廂保持速率不變,則水平方向加速度大小為零,則

其中,u=v-0=v,可得F=vΔm(Δm是每秒落入車廂的煤的質(zhì)量,單位為kg/s) 。

例題2火箭飛行原理。設(shè)火箭平行于地面飛行,初始時刻質(zhì)量為M0,水平方向速度為v0,經(jīng)過dt時間噴出氣體的質(zhì)量為dM,火箭噴氣速度為u0,在忽略空氣阻力的情況下分析火箭速度的增量。

解:設(shè)火箭飛行方向?yàn)檎较?以火箭為研究對象,在水平方向上進(jìn)行分析。設(shè)某時刻火箭的質(zhì)量為M,速度為v,噴出的氣體相對于火箭的速度為-u0,根據(jù)伽利略速度變換公式,氣體相對地面的速度為v′=-u0+v,所以噴氣前后氣體速度的變化為u=v′-v=（-u0+v）-v=-u0,由于為負(fù)值,則

火箭在水平方向上只受dM的作用力,不受其他外力作用,因此

例題3鏈條豎直自由下落問題。如圖1所示,質(zhì)量為m的均勻軟鏈條,長為L,上端懸掛,下端恰與地面接觸,由于懸掛松脫鏈條自由下落,求鏈條落到地面上的長度為l時,對地面的作用力。

圖1

解:以地面上的鏈條為研究對象,在豎直方向上進(jìn)行分析,選擇向下為正方向,設(shè)鏈條單位長度上的質(zhì)量為λ。當(dāng)?shù)孛嫔系逆湕l長度為l時,即將落下的dm速度為速度的改變。

地面上的鏈條受重力、地面的支持力N和dm的作用力,根據(jù)本文中推導(dǎo)的方程可得

例題4鏈條桌邊下落問題。如圖2所示,一細(xì)鏈條質(zhì)量為m,長為L,與桌面間的摩擦系數(shù)為μ,下垂部分長度剛好使得鐵鏈開始下滑,求鐵鏈完全離開桌面時的速度。

圖2

解:如果把整個鏈條系統(tǒng)作為研究對象,其總質(zhì)量其實(shí)是不發(fā)生變化的,但此系統(tǒng)不但受重力、桌面的支持力和摩擦力的作用,還受到桌角處的支持力;如果把鏈條分成桌面上和下垂兩部分,分別根據(jù)牛頓定律列方程,在物理上是不正確的,因?yàn)檫@兩部分不但質(zhì)量變化,受力也是在不同方向上分析的。此問題通過系統(tǒng)的動能定理或功能原理當(dāng)然是可以求解,這里不再給出過程,仍然只給出通過變質(zhì)量牛頓運(yùn)動定理的求解方法。

把鏈條分成桌面上和下垂兩部分,此過程中這兩部分質(zhì)量都在發(fā)生變化,設(shè)鏈條質(zhì)量線密度為λ,首先分析下垂部分:設(shè)下垂部分長度為,其受重力大小為G1=λxg,沿圖中所示x軸正方向,另受沿x軸負(fù)方向的拉力T。設(shè)dt時間內(nèi)增加的質(zhì)量為dm,根據(jù)方程

但dm前后速度的變化u=0,因此簡化為

再分析桌面部分:x方向上受力平衡,受到沿y軸正方向的拉力T和沿y軸負(fù)方向的摩擦力μλ（L-x）g,設(shè)dt時間內(nèi)減少的質(zhì)量為dm,但dm前后速度的變化同樣u=0,因此

兩部分鏈條速度大小相同,聯(lián)立求解得

3 結(jié)語

動力學(xué)問題常常是有多種方法可以解決的,這里并不是說本文給出的方法比其他方法更好,只是再提供一種解決問題的方法,并且推導(dǎo)出的變質(zhì)量牛頓運(yùn)動定理與牛頓第二定律形式一致,便于記憶,在處理某些變質(zhì)量問題時,較為簡便,易于理解。