沈小亮

[摘 ?要] 核心素養(yǎng)背景下，教育評(píng)價(jià)由“知識(shí)核心”向“素養(yǎng)發(fā)展”轉(zhuǎn)變，而自身內(nèi)容和學(xué)習(xí)方式都具備特殊性的初中數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)，對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也就具有獨(dú)特的意義. 文章以 “探究點(diǎn)所在曲線的形狀——拋物線”（人教版九年級(jí)上冊(cè)）數(shù)學(xué)活動(dòng)為例，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去思考問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法深入體驗(yàn)，從而提升學(xué)生的綜合素質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 綜合實(shí)踐;數(shù)學(xué)活動(dòng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“綜合與實(shí)踐”是以一類問(wèn)題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng). 在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生將綜合運(yùn)用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等知識(shí)和方法，在綜合與實(shí)踐理念指導(dǎo)下解決問(wèn)題[1]. 活動(dòng)內(nèi)容設(shè)置的目的在于讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題的解決過(guò)程，積累學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到提升. 筆者對(duì)綜合與實(shí)踐內(nèi)容的教學(xué)實(shí)施做了思考，現(xiàn)以“探究點(diǎn)所在曲線的形狀——拋物線”（人教版九年級(jí)上冊(cè)）為例，與同行交流、探討.

活動(dòng)再現(xiàn)

1. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2）. 在x軸上任取一點(diǎn)M，完成以下作圖步驟.

（1）連接AM，作線段AM的垂直平分線l，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線l，記l與l的交點(diǎn)為P.

（2）在x軸上通過(guò)改變點(diǎn)M的位置，取多個(gè)不同的點(diǎn)M，重復(fù)（1）的操作得到相應(yīng)的點(diǎn)P，把這些點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái).

觀察畫出的曲線L，猜想它是我們學(xué)過(guò)的哪種曲線.

2. 在曲線L上任取一點(diǎn)P，完成以下步驟.

（1）連接PA，線段PA與PM有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？

（2）假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），你能由PA與PM的關(guān)系得到x，y滿足的關(guān)系式嗎？

（3）由此你能確定曲線L是哪種曲線了嗎？為什么？這結(jié)論與你先前的猜想一樣嗎？

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 溫故知新，提出問(wèn)題

教師：任意畫線段AB并用尺規(guī)作圖畫它的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)是什么？

學(xué)生1：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

教師：若把剛才所畫的線段AB放在直角坐標(biāo)系中，其長(zhǎng)度如何表示？

學(xué)生2：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理計(jì)算.

教師：直角坐標(biāo)系中的線段長(zhǎng)度一定都要用勾股定理計(jì)算嗎？

（全體學(xué)生若有所思）

學(xué)生3：如果線段AB是平行（或重合）于坐標(biāo)軸，直接用坐標(biāo)相減即可，就不需要用勾股定理計(jì)算那么麻煩了.

教師：很好，直角坐標(biāo)系中位置、坐標(biāo)、長(zhǎng)度三者之間可以實(shí)現(xiàn)互相轉(zhuǎn)化.

教學(xué)分析：通過(guò)回憶所學(xué)知識(shí)，并設(shè)問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出直角坐標(biāo)系中線段長(zhǎng)度的合理算法，促進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解與轉(zhuǎn)化，也為接下來(lái)的數(shù)學(xué)活動(dòng)做好鋪墊.

2. 動(dòng)手作圖，觀察猜想

學(xué)生自主作圖完成活動(dòng)1，教師巡視指導(dǎo)并投影展示學(xué)生作圖結(jié)果，如圖3～5所示.

學(xué)生4：如圖3，猜想它是我們學(xué)過(guò)的拋物線.

學(xué)生5：學(xué)生4的點(diǎn)M都是整數(shù)點(diǎn)，太特別了，取非整數(shù)點(diǎn)也可以，如圖4，也是拋物線.

教師：還有不同的作圖結(jié)果嗎？

學(xué)生6：學(xué)生4和學(xué)生5的點(diǎn)M都是正數(shù)，曲線只有一半，應(yīng)該在x軸負(fù)半軸也取點(diǎn)，如圖5，這樣形狀就更完整，也更明顯了.

教師：猜想曲線L的形狀只要一些特殊點(diǎn)就能進(jìn)行大膽猜想，但學(xué)生6理解了“在x軸上多次改變點(diǎn)M的位置”這句話，他的作法更具有一般性.

教學(xué)分析：有了“溫故知新，提出問(wèn)題”的鋪墊，學(xué)生作圖的環(huán)節(jié)會(huì)進(jìn)行得比較順利. 學(xué)生根據(jù)要求準(zhǔn)確作圖，積累了畫圖的操作經(jīng)驗(yàn)，再經(jīng)歷觀察與猜想，培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). 教師讓學(xué)生的不同作圖方法進(jìn)行碰撞與補(bǔ)充，滲透了“有序”地選擇具有代表性的點(diǎn)的決策思維.

3. 實(shí)驗(yàn)證明，理解模型

教師：同學(xué)們通過(guò)取點(diǎn)作圖，猜想它是拋物線. 但畢竟大家取的是有限個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)在老師可以借助數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行取點(diǎn)，點(diǎn)越多曲線形狀越精準(zhǔn). 大家再次觀察，直觀感受曲線形狀.

（教師利用幾何畫板進(jìn)行操作、驗(yàn)證，學(xué)生驚呼：“好漂亮的拋物線！”）

教師：我們從形的角度猜想它是拋物線，那么如何證明呢？

（學(xué)生面露難色）

教師：教材中是如何描述拋物線的？

學(xué)生7：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像叫作拋物線y=ax2+bx+c.

教師（追問(wèn)）：所以有想法了嗎？

學(xué)生8：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），由PA與PM的關(guān)系得到x，y滿足的關(guān)系式是二次函數(shù).

教師：是的，根據(jù)教材的描述，我們可以選擇這種方法，大家現(xiàn)在按這種方法開(kāi)始證明.

（學(xué)生進(jìn)行自主探索、合作交流，教師巡視指導(dǎo)，學(xué)生展示證明結(jié)果）

學(xué)生9：設(shè)點(diǎn)M是在x軸正半軸，則有PM=y，PA=，利用線段垂直平分線的性質(zhì)得PA=PM，所以y=，化簡(jiǎn)得到關(guān)系式y(tǒng)=x+1，是二次函數(shù)，所以證明曲線L是拋物線.

（教師板書學(xué)生9的證明過(guò)程）

教師：太好了！我們用求解析式的方法算出了x，y滿足的關(guān)系式是二次函數(shù)，根據(jù)教材對(duì)拋物線的描述，證明了曲線是拋物線.

（學(xué)生報(bào)以熱烈的掌聲）

學(xué)生10：那如果點(diǎn)M不是在x軸正半軸呢？

教師：哇，學(xué)生10對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了深度思考，點(diǎn)M不在x軸正半軸的話，可以證明嗎？結(jié)論一樣嗎？

（學(xué)生再次思考、計(jì)算，教師投影展示學(xué)生計(jì)算的結(jié)果）

教師：通過(guò)努力，我們從代數(shù)的角度證明了圖形問(wèn)題，證明了自己的猜想是對(duì)的. 同學(xué)們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)教材中是從數(shù)的角度定義了拋物線，而我們通過(guò)作圖得到的也是拋物線，所以對(duì)于拋物線，你們能否從形的角度也下個(gè)定義呢？

（從學(xué)生的表情看出這個(gè)問(wèn)題有難度，所以接下來(lái)教師引導(dǎo)啟發(fā)，學(xué)生嘗試描述，并互相補(bǔ)充、完善，教師板書拋物線的新定義）

教學(xué)分析：教師讓學(xué)生經(jīng)歷從“形”的角度觀察問(wèn)題（直觀），再讓學(xué)生從“數(shù)”的角度進(jìn)行深度思考（數(shù)形結(jié)合），在此過(guò)程中提升了學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng). 關(guān)于拋物線的新定義的探索，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，同時(shí)也提升了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，學(xué)生對(duì)拋物線從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí).

4. 體會(huì)模型，提升感悟

教師：同學(xué)們，我們通過(guò)探究，對(duì)拋物線又有了新的認(rèn)識(shí)，接下來(lái)通過(guò)以下幾道練習(xí)題來(lái)應(yīng)用這個(gè)模型.

（教師投影出示練習(xí)題，學(xué)生獨(dú)立思考，小組討論交流，教師巡視指導(dǎo)）

（1）如圖7，已知點(diǎn)A（0，-2），平面內(nèi)滿足到點(diǎn)A距離與到x軸距離相等的所有點(diǎn)組成的曲線L的解析式為（ ?）

（3）在（2）條件下，若點(diǎn)B（4，5），當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_________.

（學(xué)生展示講解，教師點(diǎn)評(píng)）

教師：同學(xué)們，給大家留一個(gè)思考題. 數(shù)學(xué)活動(dòng)中的點(diǎn)A（0，2）若改成點(diǎn)A是平面上（除x軸外）任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是y軸上任意一點(diǎn)，重復(fù)相同的操作，不同的點(diǎn)P組成的曲線L依然是拋物線嗎？拋物線等同于二次函數(shù)嗎？

教學(xué)分析：本節(jié)課讓學(xué)生經(jīng)歷從作圖到運(yùn)算、從形到數(shù)體會(huì)拋物線的新定義. 學(xué)生通過(guò)解決問(wèn)題、應(yīng)用模型等環(huán)節(jié)，再次體會(huì)數(shù)學(xué)建模的一般步驟，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提升直觀想象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng). 課堂結(jié)束了但思維沒(méi)有結(jié)束，教師留下思考題讓學(xué)生探究后了解二次函數(shù)和拋物線的關(guān)系，能夠提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，使其學(xué)會(huì)批判的數(shù)學(xué)思維.

教學(xué)感悟

1.重視綜合實(shí)踐理念，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)課堂活化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：綜合與實(shí)踐內(nèi)容的實(shí)施是通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，重在實(shí)踐、重在綜合[1]. 教師在這個(gè)理念的指導(dǎo)下，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程. 本節(jié)課通過(guò)作圖提高學(xué)生的畫圖能力，通過(guò)猜想曲線形狀提高學(xué)生的識(shí)圖能力，通過(guò)鞏固練習(xí)提高學(xué)生的用圖能力，這些活動(dòng)也直接或間接提升了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). 華羅庚曾言“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，本節(jié)課上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度探究，從數(shù)的角度證明曲線L的形狀是拋物線，使學(xué)生重新認(rèn)識(shí)拋物線，建立模型. 在此過(guò)程中，免不了的演繹推理、運(yùn)算、歸納與交流無(wú)疑提升了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，綜合實(shí)踐成了實(shí)現(xiàn)積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、展現(xiàn)思考過(guò)程、激發(fā)創(chuàng)造潛能等目標(biāo)的重要和有效的載體.

2.巧設(shè)活動(dòng)問(wèn)題屬性，促進(jìn)綜合實(shí)踐走向常態(tài)

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)考慮了學(xué)生的主體性，讓學(xué)生經(jīng)歷“思考問(wèn)題情境——操作猜想——實(shí)驗(yàn)證明——?dú)w納定義——反思應(yīng)用——總結(jié)提升”的過(guò)程，促進(jìn)了學(xué)生的深度學(xué)習(xí). 而這種研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的思路，并不是只在綜合與實(shí)踐課堂才能呈現(xiàn). 比如平方差公式的學(xué)習(xí)，又比如勾股定理逆定理的探究等，也可以沿用這一套學(xué)習(xí)的方法和思路. 課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“綜合與實(shí)踐”的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次，可以在課堂上完成，也可以課內(nèi)外相結(jié)合[1]. 筆者提倡把這種教學(xué)形式體現(xiàn)在日常教學(xué)活動(dòng)中. 目前教育評(píng)價(jià)已由“知識(shí)核心”向“素養(yǎng)發(fā)展”轉(zhuǎn)變，所以經(jīng)驗(yàn)的積累、素養(yǎng)的提升、思維的培養(yǎng)等不能僅依賴于有限的幾次綜合與實(shí)踐課，而應(yīng)通過(guò)有效的活動(dòng)問(wèn)題設(shè)計(jì)讓綜合實(shí)踐理念融入常態(tài)教學(xué)，使綜合實(shí)踐活動(dòng)真正成為提高教師自身素質(zhì)和學(xué)生素質(zhì)的互動(dòng)過(guò)程.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3583501908292