田紅亮,李 森,楊蔚華,方子帆,董元發(fā)
(1.三峽大學(xué)機(jī)器人與智能系統(tǒng)宜昌市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北 宜昌,443002;2.三峽大學(xué)水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北 宜昌,443002;3.三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院,湖北 宜昌,443002)
當(dāng)物體在沒有潤滑的表面上滑動(dòng)時(shí),會(huì)產(chǎn)生干摩擦力。干滑動(dòng)摩擦力的大小正比于接觸表面間的法向力,其方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向相反。干摩擦阻尼(也稱庫侖阻尼)在許多工程結(jié)構(gòu)中都存在,研究人員對(duì)干摩擦特性及其應(yīng)用也較為關(guān)注。邱支振[1]給出庫侖阻尼振動(dòng)的一般解,得出了表示庫侖阻尼器衰減效果的基本關(guān)系式,以便于在工程應(yīng)用中選擇庫侖阻尼器的基本參數(shù)。張萌等[2]利用分段線性方法對(duì)含庫侖阻尼系統(tǒng)的沖擊方程進(jìn)行了解析求解,研究發(fā)現(xiàn),忽略庫侖阻尼的黏滯作用或?qū)_擊激勵(lì)進(jìn)行速度階躍等效,會(huì)造成沖擊響應(yīng)計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重偏離正常值。王棟[3]采用數(shù)值分析方法,計(jì)算了多自由度結(jié)構(gòu)附帶一個(gè)沖擊減(吸)振器前后,受突加外擾力的位移響應(yīng)歷程。程耀東等[4]給出了庫侖阻尼系統(tǒng)的理論模型,將一個(gè)非線性方程分解為兩個(gè)線性方程,推導(dǎo)了一個(gè)周期內(nèi)位移與時(shí)間之間的關(guān)系表達(dá)式。薛超等[5]研究了織構(gòu)深度、網(wǎng)狀織構(gòu)的排布夾角以及單織構(gòu)的接觸面積對(duì)鋁合金摩擦系數(shù)及磨損量的影響。Deng等[6]研究了CoCrFeNiMo高熵合金的干滑動(dòng)摩擦和磨損特性。Wang等[7]研究了TiC/Al-Cu3.7-Mg1.3納米復(fù)合材料的干滑動(dòng)摩擦和磨損特性。
目前涉及干滑動(dòng)摩擦的文獻(xiàn)以材料性能和試驗(yàn)研究方面的居多,強(qiáng)調(diào)改善滑動(dòng)界面的摩擦性能,提高材料的抗磨損能力,但是忽視了從機(jī)械原理角度出發(fā)建立本構(gòu)關(guān)系,例如:沒有分析滑塊往返運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間之間的復(fù)雜關(guān)系機(jī)理;沒有全面考慮滑塊初位移和初速度;沒有建立滑塊位移與時(shí)間之間的完整數(shù)學(xué)表達(dá)式。
本文擬采用符號(hào)函數(shù)和分段線性方法,求解干滑動(dòng)摩擦力作用下單自由度系統(tǒng)中滑塊振動(dòng)位移的解析解,并運(yùn)用動(dòng)能定理對(duì)滑塊振動(dòng)位移解析解進(jìn)行證明,然后采用Matlab?R2009b軟件進(jìn)行數(shù)值仿真,并進(jìn)行滑塊在花崗巖上的滑動(dòng)試驗(yàn)研究,以驗(yàn)證本文所推導(dǎo)出的滑塊振動(dòng)位移解析解的有效性。
具有干滑動(dòng)摩擦力的單自由度系統(tǒng)模型如圖1所示,彈簧與滑塊栓接,其中點(diǎn)O為彈簧原長時(shí)的右端位置,m為滑塊質(zhì)量,k為彈簧的勁度系數(shù),μ為動(dòng)摩擦因數(shù),x為彈簧形變量,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,水平向右為X軸正方向。
由牛頓第二定律得
mx″+kx=-μmgsgnx′
(1)
式中:sgn為符號(hào)函數(shù),且
(2)
假設(shè)系統(tǒng)的初始條件(初位移、初速度)為
x(0)=x0>0
(3)
x′(0)=0
(4)
即把滑塊從點(diǎn)O緩慢向右拉到點(diǎn)A,然后無初速度釋放。下面利用分段線性方法進(jìn)行解析求解。
mx″+kx=μmg,x′<0
(5)
式(5)的解為
(6)
(7)
式中:ωn為系統(tǒng)無阻尼固有角頻率,其描述了滑塊振動(dòng)的快慢。
將式(3)代入式(6):
(8)
結(jié)合式(8)和式(6):
(9)
(10)
將式(4)代入式(10):
C2ωn=0?C2=0
(11)
將式(11)分別代入式(9)和式(10):
(12)
(13)
若滑塊向左運(yùn)動(dòng)到圖1中點(diǎn)B時(shí)的速度為0,則由式(13)得:
(14)
(15)
結(jié)合式(12)與式(14):
(16)
(17)
(18)
這時(shí)滑塊從運(yùn)動(dòng)迅速變?yōu)殪o止。
(19)
滑塊位于點(diǎn)B時(shí),令其所受合力方向向右:
=kx0-3μmg>0
(20)
則初位移要滿足
(21)
此時(shí)滑塊從點(diǎn)B向右運(yùn)動(dòng),x′>0。根據(jù)式(1)和式(2)可得
mx″+kx=-μmg,x′>0
(22)
式(22)的解為:
(23)
(24)
結(jié)合式(24)和式(17):
(25)
將式(25)代入式(23):
(26)
(27)
(28)
根據(jù)式(28)和式(15):
-ωnC4=0?C4=0
(29)
將式(29)分別代入式(26)和式(27):
(30)
(31)
當(dāng)滑塊向右運(yùn)動(dòng),若到達(dá)位于點(diǎn)O右邊的點(diǎn)C時(shí)速度為0,則由式(31)可得
(32)
結(jié)合式(30)與式(32):
(33)
(34)
如滑塊初位移更大,滿足
(35)
滑塊在點(diǎn)C的振幅比在點(diǎn)B的振幅的減小量為
(36)
綜合式(16)和式(33),并進(jìn)行合理外推,可得
(37)
滑塊從滑動(dòng)變?yōu)殪o止時(shí),彈簧的彈力應(yīng)不大于干滑動(dòng)摩擦力。最后,系統(tǒng)的靜止位置x滿足的2個(gè)條件是
(38)
(39)
當(dāng)滑塊從點(diǎn)A向左運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),彈簧的彈力F=kx對(duì)滑塊做的功等于彈簧的初彈性勢(shì)能減去末彈性勢(shì)能,即
(40)
將滑塊從點(diǎn)O緩慢向右拉到點(diǎn)A,然后無初速度釋放,滑塊在固定接觸面上滑動(dòng),所受干滑動(dòng)摩擦力的方向始終與滑塊位移方向相反,干滑動(dòng)摩擦力做負(fù)功,并全部轉(zhuǎn)換為熱能:
Wf=-μmg(x0-xB)
(41)
由動(dòng)能定理得:
(42)
(43)
式(43)與式(17)一致。
當(dāng)滑塊從點(diǎn)B向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),彈簧的彈力對(duì)其做功為
(44)
干滑動(dòng)摩擦力對(duì)滑塊做的功(即摩擦生熱的相反數(shù))為
Wf=-μmg(xC-xB)
(45)
再由動(dòng)能定理得
(46)
(47)
將式(43)代入式(47):
(48)
式(48)與式(34)一致。
設(shè)一個(gè)質(zhì)量為15kg的滑塊,在初位移x0=5 cm時(shí)釋放,彈簧的勁度系數(shù)k=980 N/m,動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1,重力加速度g=9.8m/s2。試確定滑塊達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的位置。
(49)
=-0.02 m?[-0.015 m,0.015 m];
=-0.01 m∈[-0.015 m,0.015 m]。
最終,滑塊達(dá)到靜止時(shí)的位置為x=-1 cm,而不是停留在彈簧的自然狀態(tài)即右端位置x=0。
采用Matlab?R2009b軟件進(jìn)行數(shù)值仿真,在初位移的作用下,滑塊運(yùn)動(dòng)的位移曲線如圖2所示,由圖可見,點(diǎn)(0.7773,-1)與理論解x=-1 cm完全吻合。
圖2 滑塊位移曲線
由上述分析可知,干滑動(dòng)摩擦力作用下單自由度系統(tǒng)中的滑塊運(yùn)動(dòng)是一個(gè)具有線性衰減振幅的簡諧運(yùn)動(dòng),自由振動(dòng)的頻率(見式(7))不受干滑動(dòng)摩擦力的影響,即與動(dòng)摩擦因數(shù)無關(guān),但干滑動(dòng)摩擦力會(huì)導(dǎo)致摩擦生熱,使振幅呈線性衰減(見式 (37))。
一個(gè)質(zhì)量為15 kg的滑塊,材質(zhì)為工程結(jié)構(gòu)陶瓷Si3N4,滑塊一端用勁度系數(shù)k=980N/m的彈簧栓接,彈簧的另一端固定,滑塊開始靜止在花崗巖石塊上(天山紅石材光面,其密度為2.8×103kg/m3),滑塊與花崗巖之間的理論動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.64,在初位移x0=1.44 m時(shí)釋放滑塊,重力加速度g=9.8 m/s2。
首先,使用M-2000型環(huán)-塊摩擦磨損試驗(yàn)機(jī)測量滑塊與花崗巖之間的動(dòng)摩擦因數(shù),如圖3(a)所示。上試樣滑塊固定在試驗(yàn)機(jī)的專用夾具上,下試樣花崗巖安裝于試驗(yàn)機(jī)主軸上,用水平儀保持上、下試樣垂直接觸,設(shè)定載荷為125 N。實(shí)驗(yàn)前,用丙酮CH3COCH3和體積分?jǐn)?shù)為95%的乙醇或無水乙醇清洗滑塊并吹干。實(shí)驗(yàn)過程中,利用傳感器實(shí)時(shí)采集壓力、轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩等參數(shù),通過計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng)計(jì)算,可獲得隨時(shí)間變化的動(dòng)摩擦因數(shù)。理論動(dòng)摩擦因數(shù)與實(shí)際動(dòng)摩擦因數(shù)的對(duì)比如圖3(b)所示,由圖可見,滑塊與花崗巖之間的實(shí)際動(dòng)摩擦因數(shù)在0.61~0.66之間,與理論動(dòng)摩擦因數(shù)0.64很接近。
(a)測量動(dòng)摩擦因數(shù)的試驗(yàn)裝置
(b)理論動(dòng)摩擦因數(shù)和實(shí)際動(dòng)摩擦因數(shù)對(duì)比
(c)滑塊相對(duì)于花崗巖運(yùn)動(dòng)的位移測定原理
(d)滑塊相對(duì)于花崗巖運(yùn)動(dòng)的實(shí)際位移和理論位移
在初位移的作用下,滑塊運(yùn)動(dòng)的實(shí)際位移和通過解析解獲得的理論位移如圖3(d)所示,由圖可見,理論位移曲線的所有較高點(diǎn)形成上包絡(luò)直線,所有較低點(diǎn)形成下包絡(luò)直線,且理論解十分接近通過試驗(yàn)得到的位移。
本文求解了干滑動(dòng)摩擦力作用下單自由度系統(tǒng)滑塊振動(dòng)位移的解析解,并運(yùn)用動(dòng)能定理進(jìn)行了嚴(yán)格證明。Matlab數(shù)值仿真和滑塊在花崗巖上的滑動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算值很接近,表明本文所推導(dǎo)出的滑塊振動(dòng)位移解析解有一定的普適性。
干滑動(dòng)摩擦單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)解析解的構(gòu)建,有助于推導(dǎo)干滑動(dòng)摩擦單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的一般解,還有助于探索提高沖擊減振器快速耗能性能和抑振效果的途徑。