田紅亮，李 森，楊蔚華，方子帆，董元發(fā)

(1.三峽大學(xué)機器人與智能系統(tǒng)宜昌市重點實驗室，湖北 宜昌，443002；2.三峽大學(xué)水電機械設(shè)備設(shè)計與維護(hù)湖北省重點實驗室，湖北 宜昌，443002；3.三峽大學(xué)機械與動力學(xué)院，湖北 宜昌，443002)

當(dāng)物體在沒有潤滑的表面上滑動時，會產(chǎn)生干摩擦力。干滑動摩擦力的大小正比于接觸表面間的法向力，其方向與相對運動的方向相反。干摩擦阻尼(也稱庫侖阻尼)在許多工程結(jié)構(gòu)中都存在，研究人員對干摩擦特性及其應(yīng)用也較為關(guān)注。邱支振[1]給出庫侖阻尼振動的一般解，得出了表示庫侖阻尼器衰減效果的基本關(guān)系式，以便于在工程應(yīng)用中選擇庫侖阻尼器的基本參數(shù)。張萌等[2]利用分段線性方法對含庫侖阻尼系統(tǒng)的沖擊方程進(jìn)行了解析求解，研究發(fā)現(xiàn)，忽略庫侖阻尼的黏滯作用或?qū)_擊激勵進(jìn)行速度階躍等效，會造成沖擊響應(yīng)計算結(jié)果嚴(yán)重偏離正常值。王棟[3]采用數(shù)值分析方法，計算了多自由度結(jié)構(gòu)附帶一個沖擊減(吸)振器前后，受突加外擾力的位移響應(yīng)歷程。程耀東等[4]給出了庫侖阻尼系統(tǒng)的理論模型，將一個非線性方程分解為兩個線性方程，推導(dǎo)了一個周期內(nèi)位移與時間之間的關(guān)系表達(dá)式。薛超等[5]研究了織構(gòu)深度、網(wǎng)狀織構(gòu)的排布夾角以及單織構(gòu)的接觸面積對鋁合金摩擦系數(shù)及磨損量的影響。Deng等[6]研究了CoCrFeNiMo高熵合金的干滑動摩擦和磨損特性。Wang等[7]研究了TiC/Al-Cu3.7-Mg1.3納米復(fù)合材料的干滑動摩擦和磨損特性。

目前涉及干滑動摩擦的文獻(xiàn)以材料性能和試驗研究方面的居多，強調(diào)改善滑動界面的摩擦性能，提高材料的抗磨損能力，但是忽視了從機械原理角度出發(fā)建立本構(gòu)關(guān)系，例如：沒有分析滑塊往返運動的位移與時間之間的復(fù)雜關(guān)系機理；沒有全面考慮滑塊初位移和初速度；沒有建立滑塊位移與時間之間的完整數(shù)學(xué)表達(dá)式。

本文擬采用符號函數(shù)和分段線性方法，求解干滑動摩擦力作用下單自由度系統(tǒng)中滑塊振動位移的解析解，并運用動能定理對滑塊振動位移解析解進(jìn)行證明，然后采用Matlab?R2009b軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，并進(jìn)行滑塊在花崗巖上的滑動試驗研究，以驗證本文所推導(dǎo)出的滑塊振動位移解析解的有效性。

1 干滑動摩擦單自由度系統(tǒng)的滑塊運動特性

具有干滑動摩擦力的單自由度系統(tǒng)模型如圖1所示，彈簧與滑塊栓接，其中點O為彈簧原長時的右端位置，m為滑塊質(zhì)量，k為彈簧的勁度系數(shù)，μ為動摩擦因數(shù)，x為彈簧形變量，以點O為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，水平向右為X軸正方向。

由牛頓第二定律得

mx″+kx=-μmgsgnx′

(1)

式中：sgn為符號函數(shù)，且

(2)

假設(shè)系統(tǒng)的初始條件(初位移、初速度)為

x(0)=x0>0

(3)

x′(0)=0

(4)

即把滑塊從點O緩慢向右拉到點A，然后無初速度釋放。下面利用分段線性方法進(jìn)行解析求解。

mx″+kx=μmg,x′<0

(5)

式(5)的解為

(6)

(7)

式中：ωn為系統(tǒng)無阻尼固有角頻率，其描述了滑塊振動的快慢。

將式(3)代入式(6)：

(8)

結(jié)合式(8)和式(6)：

(9)

(10)

將式(4)代入式(10)：

C2ωn=0?C2=0

(11)

將式(11)分別代入式(9)和式(10)：

(12)

(13)

若滑塊向左運動到圖1中點B時的速度為0，則由式(13)得：

(14)

(15)

結(jié)合式(12)與式(14)：

(16)

(17)

(18)

這時滑塊從運動迅速變?yōu)殪o止。

(19)

滑塊位于點B時，令其所受合力方向向右：

=kx0-3μmg>0

(20)

則初位移要滿足

(21)

此時滑塊從點B向右運動，x′>0。根據(jù)式(1)和式(2)可得

mx″+kx=-μmg,x′>0

(22)

式(22)的解為：

(23)

(24)

結(jié)合式(24)和式(17)：

(25)

將式(25)代入式(23)：

(26)

(27)

(28)

根據(jù)式(28)和式(15)：

-ωnC4=0?C4=0

(29)

將式(29)分別代入式(26)和式(27)：

(30)

(31)

當(dāng)滑塊向右運動，若到達(dá)位于點O右邊的點C時速度為0，則由式(31)可得

(32)

結(jié)合式(30)與式(32)：

(33)

(34)

如滑塊初位移更大，滿足

(35)

滑塊在點C的振幅比在點B的振幅的減小量為

(36)

綜合式(16)和式(33)，并進(jìn)行合理外推，可得

(37)

滑塊從滑動變?yōu)殪o止時，彈簧的彈力應(yīng)不大于干滑動摩擦力。最后，系統(tǒng)的靜止位置x滿足的2個條件是

(38)

(39)

2 干滑動摩擦單自由度系統(tǒng)解析解的證明

當(dāng)滑塊從點A向左運動到點B時，彈簧的彈力F=kx對滑塊做的功等于彈簧的初彈性勢能減去末彈性勢能，即

(40)

將滑塊從點O緩慢向右拉到點A，然后無初速度釋放，滑塊在固定接觸面上滑動，所受干滑動摩擦力的方向始終與滑塊位移方向相反，干滑動摩擦力做負(fù)功，并全部轉(zhuǎn)換為熱能：

Wf=-μmg(x0-xB)

(41)

由動能定理得：

(42)

(43)

式(43)與式(17)一致。

當(dāng)滑塊從點B向右運動到點C時，彈簧的彈力對其做功為

(44)

干滑動摩擦力對滑塊做的功(即摩擦生熱的相反數(shù))為

Wf=-μmg(xC-xB)

(45)

再由動能定理得

(46)

(47)

將式(43)代入式(47)：

(48)

式(48)與式(34)一致。

3 干滑動摩擦單自由度系統(tǒng)解析解的數(shù)值仿真

設(shè)一個質(zhì)量為15kg的滑塊，在初位移x0=5 cm時釋放，彈簧的勁度系數(shù)k=980 N/m，動摩擦因數(shù)μ=0.1，重力加速度g=9.8m/s2。試確定滑塊達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)時的位置。

(49)

=-0.02 m?[-0.015 m,0.015 m]；

=-0.01 m∈[-0.015 m,0.015 m]。

最終，滑塊達(dá)到靜止時的位置為x=-1 cm，而不是停留在彈簧的自然狀態(tài)即右端位置x=0。

采用Matlab?R2009b軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，在初位移的作用下，滑塊運動的位移曲線如圖2所示，由圖可見，點(0.7773，-1)與理論解x=-1 cm完全吻合。

圖2 滑塊位移曲線

由上述分析可知，干滑動摩擦力作用下單自由度系統(tǒng)中的滑塊運動是一個具有線性衰減振幅的簡諧運動，自由振動的頻率(見式(7))不受干滑動摩擦力的影響，即與動摩擦因數(shù)無關(guān)，但干滑動摩擦力會導(dǎo)致摩擦生熱，使振幅呈線性衰減(見式 (37))。

4 干滑動摩擦單自由度系統(tǒng)解析解的試驗驗證

一個質(zhì)量為15 kg的滑塊，材質(zhì)為工程結(jié)構(gòu)陶瓷Si3N4，滑塊一端用勁度系數(shù)k=980N/m的彈簧栓接，彈簧的另一端固定，滑塊開始靜止在花崗巖石塊上(天山紅石材光面，其密度為2.8×103kg/m3)，滑塊與花崗巖之間的理論動摩擦因數(shù)μ=0.64，在初位移x0=1.44 m時釋放滑塊，重力加速度g=9.8 m/s2。

首先，使用M-2000型環(huán)-塊摩擦磨損試驗機測量滑塊與花崗巖之間的動摩擦因數(shù)，如圖3(a)所示。上試樣滑塊固定在試驗機的專用夾具上，下試樣花崗巖安裝于試驗機主軸上，用水平儀保持上、下試樣垂直接觸，設(shè)定載荷為125 N。實驗前，用丙酮CH3COCH3和體積分?jǐn)?shù)為95%的乙醇或無水乙醇清洗滑塊并吹干。實驗過程中，利用傳感器實時采集壓力、轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩等參數(shù)，通過計算機軟件系統(tǒng)計算，可獲得隨時間變化的動摩擦因數(shù)。理論動摩擦因數(shù)與實際動摩擦因數(shù)的對比如圖3(b)所示，由圖可見，滑塊與花崗巖之間的實際動摩擦因數(shù)在0.61～0.66之間，與理論動摩擦因數(shù)0.64很接近。

(a)測量動摩擦因數(shù)的試驗裝置

(b)理論動摩擦因數(shù)和實際動摩擦因數(shù)對比

(c)滑塊相對于花崗巖運動的位移測定原理

(d)滑塊相對于花崗巖運動的實際位移和理論位移

在初位移的作用下，滑塊運動的實際位移和通過解析解獲得的理論位移如圖3(d)所示，由圖可見，理論位移曲線的所有較高點形成上包絡(luò)直線，所有較低點形成下包絡(luò)直線，且理論解十分接近通過試驗得到的位移。

5 結(jié)語

本文求解了干滑動摩擦力作用下單自由度系統(tǒng)滑塊振動位移的解析解，并運用動能定理進(jìn)行了嚴(yán)格證明。Matlab數(shù)值仿真和滑塊在花崗巖上的滑動試驗結(jié)果與理論計算值很接近，表明本文所推導(dǎo)出的滑塊振動位移解析解有一定的普適性。

干滑動摩擦單自由度系統(tǒng)自由振動解析解的構(gòu)建，有助于推導(dǎo)干滑動摩擦單自由度系統(tǒng)強迫振動的一般解，還有助于探索提高沖擊減振器快速耗能性能和抑振效果的途徑。