田紅亮，李 森，楊蔚華，方子帆，董元發(fā)

(1.三峽大學(xué)機(jī)器人與智能系統(tǒng)宜昌市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 宜昌，443002；2.三峽大學(xué)水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 宜昌，443002；3.三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，湖北 宜昌，443002)

當(dāng)物體在沒有潤滑的表面上滑動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生干摩擦力。干滑動(dòng)摩擦力的大小正比于接觸表面間的法向力，其方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向相反。干摩擦阻尼(也稱庫侖阻尼)在許多工程結(jié)構(gòu)中都存在，研究人員對(duì)干摩擦特性及其應(yīng)用也較為關(guān)注。邱支振[1]給出庫侖阻尼振動(dòng)的一般解，得出了表示庫侖阻尼器衰減效果的基本關(guān)系式，以便于在工程應(yīng)用中選擇庫侖阻尼器的基本參數(shù)。張萌等[2]利用分段線性方法對(duì)含庫侖阻尼系統(tǒng)的沖擊方程進(jìn)行了解析求解，研究發(fā)現(xiàn)，忽略庫侖阻尼的黏滯作用或?qū)_擊激勵(lì)進(jìn)行速度階躍等效，會(huì)造成沖擊響應(yīng)計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重偏離正常值。王棟[3]采用數(shù)值分析方法，計(jì)算了多自由度結(jié)構(gòu)附帶一個(gè)沖擊減(吸)振器前后，受突加外擾力的位移響應(yīng)歷程。程耀東等[4]給出了庫侖阻尼系統(tǒng)的理論模型，將一個(gè)非線性方程分解為兩個(gè)線性方程，推導(dǎo)了一個(gè)周期內(nèi)位移與時(shí)間之間的關(guān)系表達(dá)式。薛超等[5]研究了織構(gòu)深度、網(wǎng)狀織構(gòu)的排布夾角以及單織構(gòu)的接觸面積對(duì)鋁合金摩擦系數(shù)及磨損量的影響。Deng等[6]研究了CoCrFeNiMo高熵合金的干滑動(dòng)摩擦和磨損特性。Wang等[7]研究了TiC/Al-Cu3.7-Mg1.3納米復(fù)合材料的干滑動(dòng)摩擦和磨損特性。

目前涉及干滑動(dòng)摩擦的文獻(xiàn)以材料性能和試驗(yàn)研究方面的居多，強(qiáng)調(diào)改善滑動(dòng)界面的摩擦性能，提高材料的抗磨損能力，但是忽視了從機(jī)械原理角度出發(fā)建立本構(gòu)關(guān)系，例如：沒有分析滑塊往返運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間之間的復(fù)雜關(guān)系機(jī)理；沒有全面考慮滑塊初位移和初速度；沒有建立滑塊位移與時(shí)間之間的完整數(shù)學(xué)表達(dá)式。

本文擬采用符號(hào)函數(shù)和分段線性方法，求解干滑動(dòng)摩擦力作用下單自由度系統(tǒng)中滑塊振動(dòng)位移的解析解，并運(yùn)用動(dòng)能定理對(duì)滑塊振動(dòng)位移解析解進(jìn)行證明，然后采用Matlab?R2009b軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，并進(jìn)行滑塊在花崗巖上的滑動(dòng)試驗(yàn)研究，以驗(yàn)證本文所推導(dǎo)出的滑塊振動(dòng)位移解析解的有效性。

1 干滑動(dòng)摩擦單自由度系統(tǒng)的滑塊運(yùn)動(dòng)特性

具有干滑動(dòng)摩擦力的單自由度系統(tǒng)模型如圖1所示，彈簧與滑塊栓接，其中點(diǎn)O為彈簧原長時(shí)的右端位置，m為滑塊質(zhì)量，k為彈簧的勁度系數(shù)，μ為動(dòng)摩擦因數(shù)，x為彈簧形變量，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，水平向右為X軸正方向。

由牛頓第二定律得

mx″+kx=-μmgsgnx′

(1)

式中：sgn為符號(hào)函數(shù)，且

(2)

假設(shè)系統(tǒng)的初始條件(初位移、初速度)為

x(0)=x0>0

(3)

x′(0)=0

(4)

即把滑塊從點(diǎn)O緩慢向右拉到點(diǎn)A，然后無初速度釋放。下面利用分段線性方法進(jìn)行解析求解。

mx″+kx=μmg,x′<0

(5)

式(5)的解為

(6)

(7)

式中：ωn為系統(tǒng)無阻尼固有角頻率，其描述了滑塊振動(dòng)的快慢。

將式(3)代入式(6)：

(8)

結(jié)合式(8)和式(6)：

(9)

(10)

將式(4)代入式(10)：

C2ωn=0?C2=0

(11)

將式(11)分別代入式(9)和式(10)：

(12)

(13)

若滑塊向左運(yùn)動(dòng)到圖1中點(diǎn)B時(shí)的速度為0，則由式(13)得：

(14)

(15)

結(jié)合式(12)與式(14)：

(16)

(17)

(18)

這時(shí)滑塊從運(yùn)動(dòng)迅速變?yōu)殪o止。

(19)

滑塊位于點(diǎn)B時(shí)，令其所受合力方向向右：

=kx0-3μmg>0

(20)

則初位移要滿足

(21)

此時(shí)滑塊從點(diǎn)B向右運(yùn)動(dòng)，x′>0。根據(jù)式(1)和式(2)可得

mx″+kx=-μmg,x′>0

(22)

式(22)的解為：

(23)

(24)

結(jié)合式(24)和式(17)：

(25)

將式(25)代入式(23)：

(26)

(27)

(28)

根據(jù)式(28)和式(15)：

-ωnC4=0?C4=0

(29)

將式(29)分別代入式(26)和式(27)：

(30)

(31)

當(dāng)滑塊向右運(yùn)動(dòng)，若到達(dá)位于點(diǎn)O右邊的點(diǎn)C時(shí)速度為0，則由式(31)可得

(32)

結(jié)合式(30)與式(32)：

(33)

(34)

如滑塊初位移更大，滿足

(35)

滑塊在點(diǎn)C的振幅比在點(diǎn)B的振幅的減小量為

(36)

綜合式(16)和式(33)，并進(jìn)行合理外推，可得

(37)

滑塊從滑動(dòng)變?yōu)殪o止時(shí)，彈簧的彈力應(yīng)不大于干滑動(dòng)摩擦力。最后，系統(tǒng)的靜止位置x滿足的2個(gè)條件是

(38)

(39)

2 干滑動(dòng)摩擦單自由度系統(tǒng)解析解的證明

當(dāng)滑塊從點(diǎn)A向左運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，彈簧的彈力F=kx對(duì)滑塊做的功等于彈簧的初彈性勢(shì)能減去末彈性勢(shì)能，即

(40)

將滑塊從點(diǎn)O緩慢向右拉到點(diǎn)A，然后無初速度釋放，滑塊在固定接觸面上滑動(dòng)，所受干滑動(dòng)摩擦力的方向始終與滑塊位移方向相反，干滑動(dòng)摩擦力做負(fù)功，并全部轉(zhuǎn)換為熱能：

Wf=-μmg(x0-xB)

(41)

由動(dòng)能定理得：

(42)

(43)

式(43)與式(17)一致。

當(dāng)滑塊從點(diǎn)B向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，彈簧的彈力對(duì)其做功為

(44)

干滑動(dòng)摩擦力對(duì)滑塊做的功(即摩擦生熱的相反數(shù))為

Wf=-μmg(xC-xB)

(45)

再由動(dòng)能定理得

(46)

(47)

將式(43)代入式(47)：

(48)

式(48)與式(34)一致。

3 干滑動(dòng)摩擦單自由度系統(tǒng)解析解的數(shù)值仿真

設(shè)一個(gè)質(zhì)量為15kg的滑塊，在初位移x0=5 cm時(shí)釋放，彈簧的勁度系數(shù)k=980 N/m，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，重力加速度g=9.8m/s2。試確定滑塊達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的位置。

(49)

=-0.02 m?[-0.015 m,0.015 m]；

=-0.01 m∈[-0.015 m,0.015 m]。

最終，滑塊達(dá)到靜止時(shí)的位置為x=-1 cm，而不是停留在彈簧的自然狀態(tài)即右端位置x=0。

采用Matlab?R2009b軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，在初位移的作用下，滑塊運(yùn)動(dòng)的位移曲線如圖2所示，由圖可見，點(diǎn)(0.7773，-1)與理論解x=-1 cm完全吻合。

圖2 滑塊位移曲線

由上述分析可知，干滑動(dòng)摩擦力作用下單自由度系統(tǒng)中的滑塊運(yùn)動(dòng)是一個(gè)具有線性衰減振幅的簡諧運(yùn)動(dòng)，自由振動(dòng)的頻率(見式(7))不受干滑動(dòng)摩擦力的影響，即與動(dòng)摩擦因數(shù)無關(guān)，但干滑動(dòng)摩擦力會(huì)導(dǎo)致摩擦生熱，使振幅呈線性衰減(見式 (37))。

4 干滑動(dòng)摩擦單自由度系統(tǒng)解析解的試驗(yàn)驗(yàn)證

一個(gè)質(zhì)量為15 kg的滑塊，材質(zhì)為工程結(jié)構(gòu)陶瓷Si3N4，滑塊一端用勁度系數(shù)k=980N/m的彈簧栓接，彈簧的另一端固定，滑塊開始靜止在花崗巖石塊上(天山紅石材光面，其密度為2.8×103kg/m3)，滑塊與花崗巖之間的理論動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.64，在初位移x0=1.44 m時(shí)釋放滑塊，重力加速度g=9.8 m/s2。

首先，使用M-2000型環(huán)-塊摩擦磨損試驗(yàn)機(jī)測量滑塊與花崗巖之間的動(dòng)摩擦因數(shù)，如圖3(a)所示。上試樣滑塊固定在試驗(yàn)機(jī)的專用夾具上，下試樣花崗巖安裝于試驗(yàn)機(jī)主軸上，用水平儀保持上、下試樣垂直接觸，設(shè)定載荷為125 N。實(shí)驗(yàn)前，用丙酮CH3COCH3和體積分?jǐn)?shù)為95%的乙醇或無水乙醇清洗滑塊并吹干。實(shí)驗(yàn)過程中，利用傳感器實(shí)時(shí)采集壓力、轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩等參數(shù)，通過計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng)計(jì)算，可獲得隨時(shí)間變化的動(dòng)摩擦因數(shù)。理論動(dòng)摩擦因數(shù)與實(shí)際動(dòng)摩擦因數(shù)的對(duì)比如圖3(b)所示，由圖可見，滑塊與花崗巖之間的實(shí)際動(dòng)摩擦因數(shù)在0.61～0.66之間，與理論動(dòng)摩擦因數(shù)0.64很接近。

(a)測量動(dòng)摩擦因數(shù)的試驗(yàn)裝置

(b)理論動(dòng)摩擦因數(shù)和實(shí)際動(dòng)摩擦因數(shù)對(duì)比

(c)滑塊相對(duì)于花崗巖運(yùn)動(dòng)的位移測定原理

(d)滑塊相對(duì)于花崗巖運(yùn)動(dòng)的實(shí)際位移和理論位移

在初位移的作用下，滑塊運(yùn)動(dòng)的實(shí)際位移和通過解析解獲得的理論位移如圖3(d)所示，由圖可見，理論位移曲線的所有較高點(diǎn)形成上包絡(luò)直線，所有較低點(diǎn)形成下包絡(luò)直線，且理論解十分接近通過試驗(yàn)得到的位移。

5 結(jié)語

本文求解了干滑動(dòng)摩擦力作用下單自由度系統(tǒng)滑塊振動(dòng)位移的解析解，并運(yùn)用動(dòng)能定理進(jìn)行了嚴(yán)格證明。Matlab數(shù)值仿真和滑塊在花崗巖上的滑動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算值很接近，表明本文所推導(dǎo)出的滑塊振動(dòng)位移解析解有一定的普適性。

干滑動(dòng)摩擦單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)解析解的構(gòu)建，有助于推導(dǎo)干滑動(dòng)摩擦單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的一般解，還有助于探索提高沖擊減振器快速耗能性能和抑振效果的途徑。