夏 杭，段現(xiàn)銀，閔華松，黃文暉，吳修玉

(1. 武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢，430081；2.武漢科技大學(xué)機器人與智能系統(tǒng)研究院，湖北 武漢，430081；3.武昌首義學(xué)院機電與自動化學(xué)院,湖北 武漢，430064)

傳統(tǒng)工業(yè)機器人由于體積大、自重載荷比低和工作環(huán)境單一等缺點，越來越不能滿足人機共融環(huán)境下的要求，而柔性機械臂在工作時表現(xiàn)出良好的順應(yīng)性受到行業(yè)廣泛關(guān)注[1]。但柔性關(guān)節(jié)內(nèi)部存在具有彈性屬性的元器件、諧波減速機等零部件，這些具有彈性屬性的零部件讓關(guān)節(jié)控制變得更加困難,且諧波減速機內(nèi)的非線性摩擦?xí)?dǎo)致機械臂在運動過程中產(chǎn)生抖動[2]。關(guān)節(jié)彈性容易導(dǎo)致關(guān)節(jié)在控制過程中產(chǎn)生殘余振動、收斂速度慢，且超調(diào)量大[3]，給關(guān)節(jié)的控制系統(tǒng)設(shè)計帶來了很大的挑戰(zhàn)。研究人員對提高柔性關(guān)節(jié)控制精度所采取的研究方法主要有奇異攝動法[4]、反饋線性化法[5]、結(jié)合關(guān)節(jié)扭矩反饋的級聯(lián)系統(tǒng)方法[6]。反饋線性化法是將柔性關(guān)節(jié)的非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)，但運用該方法需要引入狀態(tài)觀測器，才能保證轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)時的準確性，因此也增加了控制系統(tǒng)的復(fù)雜性；結(jié)合關(guān)節(jié)扭矩反饋的級聯(lián)系統(tǒng)方法是將機器人系統(tǒng)分為柔性和剛性兩個部分，然后直接對剛性部分的動力學(xué)進行控制，最后將反饋力矩補償?shù)饺嵝圆糠?，但該方法依賴準確采集系統(tǒng)輸出力矩和精準的關(guān)節(jié)動力學(xué)模型；奇異攝動法是將柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)解耦成兩個子系統(tǒng)，首先補償關(guān)節(jié)柔性部分，再對關(guān)節(jié)進行控制[7]。

為了抑制關(guān)節(jié)振動，國內(nèi)外研究人員展開了系列研究，Petit等[8]提出了基于模型的狀態(tài)反饋控制器，通過將關(guān)節(jié)輸出信號進行處理后反饋到輸入端，從而有效抑制關(guān)節(jié)振動，但該方法在建模時忽略了關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦和外界干擾的影響；Petit等[9]還提出了一種無模型的阻尼控制方法，該方法利用聯(lián)合彈性將動能轉(zhuǎn)換為彈性能來實現(xiàn)振動抑制；Sun等[10]提出了一種基于在線重力補償?shù)囊终裎恢每刂品椒▉碛行У販p小柔性關(guān)節(jié)輸出角度的超調(diào)量；韓吉霞等[11]提出了在控制策略中引入干擾觀測器來減小關(guān)節(jié)振動和保證關(guān)節(jié)控制的魯棒性。

由于關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦力矩形式復(fù)雜且難以估算，目前在對柔性關(guān)節(jié)控制研究中大多忽略了摩擦力矩對位置控制的影響，但在實際應(yīng)用中，彈性元器件和諧波減速機的使用帶來了關(guān)節(jié)內(nèi)部不可忽略的柔性和摩擦以及關(guān)節(jié)彈性振動等問題。為此，本文針對機器人柔性關(guān)節(jié)存在位置控制精度低的問題,在考慮關(guān)節(jié)內(nèi)部非線性摩擦和外界擾動等因素的情況下，建立柔性關(guān)節(jié)動力學(xué)模型，提出基于奇異攝動理論的干擾觀測器滑?？刂品椒ǎ迷摽刂品椒▽﹃P(guān)節(jié)控制系統(tǒng)進行Lyapunov穩(wěn)定性分析和MATLAB仿真，以期為機器人關(guān)節(jié)控制研究提供參考。

1 柔性關(guān)節(jié)動力學(xué)建模

1.1 柔性關(guān)節(jié)的構(gòu)成及控制系統(tǒng)

柔性關(guān)節(jié)的構(gòu)成及控制系統(tǒng)如圖1所示。從圖1(a)中可以看出，柔性關(guān)節(jié)將無框力矩電機、諧波減速機、霍爾傳感器、磁環(huán)編碼器、彈性元器件、制動器、驅(qū)動器等多種零部件集成于一體，該關(guān)節(jié)具有體積小、輸出扭矩大、便于維修等優(yōu)點，并且具有標準的機械接口和電氣接口。在圖1(b)中，無框力矩電機為關(guān)節(jié)提供動力；諧波減速機由于質(zhì)量輕、減速比大，能進一步提高關(guān)節(jié)輸出扭矩；彈性元器件具有抗沖擊性強的特點，將動力傳遞到關(guān)節(jié)的法蘭；霍爾傳感器和磁環(huán)編碼器采集電機端和關(guān)節(jié)輸出端的位置和速度信息；制動器提供位置保持和電源保護。

(a)關(guān)節(jié)機械結(jié)構(gòu)圖

(b)關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)框圖

1.2 柔性關(guān)節(jié)動力學(xué)模型

Spong[12]建立了一種最初的柔性關(guān)節(jié)簡化模型，將關(guān)節(jié)中具有彈性屬性的元器件和諧波減速機等零部件等效為彈性系數(shù)不變的扭簧，但該模型忽略了關(guān)節(jié)內(nèi)部非線性摩擦和外界干擾等因素的影響，不能完整地表示關(guān)節(jié)內(nèi)部的物理特性。良好的動力學(xué)模型不僅能真實反映關(guān)節(jié)內(nèi)部的物理特性，而且是實現(xiàn)關(guān)節(jié)準確控制的前提。本文在考慮關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦和關(guān)節(jié)外部干擾因素的情況下，對摩擦力進行辨識，并對柔性關(guān)節(jié)進行動力學(xué)建模，其簡化模型如圖2所示。柔性關(guān)節(jié)動力學(xué)方程為：

(1)

式中，Tm、T、Ta、Tf、Te分別為電機電磁轉(zhuǎn)矩、關(guān)節(jié)力矩、關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦與外界擾動產(chǎn)生的力矩之和、關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦力矩、外界擾動力矩，N·m；Jm、Jl分別為電機轉(zhuǎn)動慣量和負載轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2；K為柔性扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù)，N·m/rad；Bl為負載阻尼系數(shù)，N·m·s/rad；θm、θl分別為電機轉(zhuǎn)角、關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，rad。

圖2 柔性關(guān)節(jié)簡化模型

1.3 摩擦力模型與參數(shù)辨識

柔性關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦屬于混合摩擦，單一的摩擦形式無法準確描述柔性關(guān)節(jié)內(nèi)部的摩擦情況。Stribeck摩擦模型[13]包含有庫倫摩擦和最大靜摩擦，能比較全面地描述關(guān)節(jié)內(nèi)摩擦特性，其模型為：

(2)

式中,fc、fs分別為關(guān)節(jié)內(nèi)部庫倫摩擦力矩、最大靜摩擦力矩，N·m；ω、ωs分別為關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角速度和Stribeck速度，rad/s；Bv為關(guān)節(jié)內(nèi)部黏性摩擦系數(shù)，N·m·s/rad。

對于單關(guān)節(jié)Stribeck摩擦模型的參數(shù)辨識，首先設(shè)計三階傅里葉級數(shù)作為激勵軌跡，激勵頻率為100 Hz，采樣周期為10 s；其次采集關(guān)節(jié)角度與力矩值，對關(guān)節(jié)角度差分求取關(guān)節(jié)角速度，對關(guān)節(jié)角度二次差分獲取關(guān)節(jié)角加速度，并采用低通濾波對所采集的關(guān)節(jié)力矩值以及關(guān)節(jié)角度信號進行濾波；最后用最小二乘法辨識求得關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦力模型參數(shù)如表1所示。

表1 Stribeck 摩擦模型參數(shù)

2 控制器的設(shè)計與穩(wěn)定性分析

由于柔性關(guān)節(jié)在轉(zhuǎn)動過程中容易產(chǎn)生振動，因此需要設(shè)計能同時實現(xiàn)位置跟蹤和抑制關(guān)節(jié)振動的控制器。依據(jù)奇異攝動理論，將柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)解耦為不同時間尺度并且相互獨立的兩個低階子系統(tǒng)，然后分別針對兩個獨立的子系統(tǒng)設(shè)計控制器[14]。令:

Tm=us+uf

(3)

式中，uf為快變子系統(tǒng)控制量，N·m；us為慢變子系統(tǒng)控制量，N·m。

(4)

快變子系統(tǒng)控制律為：

(5)

式中，Kv為力矩反饋微分增益系數(shù)。

關(guān)節(jié)力矩方程可表示為：

(6)

令ε=0，得慢變子系統(tǒng)方程為：

(7)

2.1 基于干擾觀測器的慢變子系統(tǒng)滑?？刂?/h3>

將式(7)化為標準形式得：

(8)

所設(shè)計的滑模面函數(shù)(s)為：

(9)

式中，關(guān)節(jié)位置誤差e=θd-θl，其中θd為關(guān)節(jié)期望位置。

針對慢變子變系統(tǒng)，設(shè)計滑?？刂坡蔀椋?/p>

(10)

式中，fd為通過干擾觀測器對f項的估計值，N·m；kf為切換增益系數(shù)，將其設(shè)計為：kf>|fe|，其中，fe為f項的估計誤差，N·m,fe=f-fd。

定義李雅普諾夫函數(shù)為：

(11)

=-[fd+kfsgn(s)]+f

=fe-kfsgn(s)

(12)

由式(11)和式(12)得：

(13)

由于對f項的估計誤差fe足夠小，則需要將切換增益系數(shù)kf設(shè)計成很小的值，從而有效地抑制關(guān)節(jié)振動。

干擾觀測器的設(shè)計為：

(14)

2.2 穩(wěn)定性分析

定義李雅普諾夫函數(shù)為：

(15)

對式(15)求導(dǎo)得：

(16)

=-fex1+x1(fe-k2x1)

(17)

3 仿真

關(guān)節(jié)系統(tǒng)控制框圖如圖3所示。計算得到關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動慣量為0.405×10-2kg·m2，負載端轉(zhuǎn)動慣量為0.605×10-2kg·m2，柔性關(guān)節(jié)剛度為450 N·m/rad，阻尼系數(shù)為0.05 N·m·s/rad，外界擾動力矩Te取2sintN·m，干擾觀測器中的極點增益參數(shù)k1=2300、k2=320，切換增益系數(shù)kf=3。分別對柔性關(guān)節(jié)進行定位和位置跟蹤仿真試驗，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的期望位置分別為5 rad和5sin(2πt)。關(guān)節(jié)輸入為階躍信號下的響應(yīng)如圖4所示，關(guān)節(jié)輸入為正弦信號下的響應(yīng)如圖5所示。從圖4中可以看出，在進行關(guān)節(jié)位置保持仿真時，關(guān)節(jié)系統(tǒng)上升時間為0.107 s，在經(jīng)過0.217 s后進入穩(wěn)定狀態(tài)，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動5 rad后速度快速降低到0，并且穩(wěn)態(tài)誤差趨近于0，由此表明，該關(guān)節(jié)系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間短、穩(wěn)態(tài)誤差小、定位精度高。從圖5中可以看出，在進行關(guān)節(jié)位置跟蹤仿真時，關(guān)節(jié)位置跟蹤響應(yīng)時間為0.109 s，經(jīng)過0.109 s后，關(guān)節(jié)輸出角度與關(guān)節(jié)期望角度(5sin(2πt))接近，關(guān)節(jié)位置誤差在-0.176～0.152 rad范圍內(nèi)波動，表明關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差較小，且跟蹤響應(yīng)速度較快。由此可見，本文提出的基于奇異攝動理論的干擾觀測器滑?？刂品椒軌蛴行p小關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦和外界干擾對關(guān)節(jié)控制精度的影響。

圖3 關(guān)節(jié)系統(tǒng)控制框圖

(a)關(guān)節(jié)輸出角度

(b)關(guān)節(jié)輸出角速度

(a)關(guān)節(jié)輸出角度

(b)關(guān)節(jié)輸出角速度

PD控制下關(guān)節(jié)定位仿真結(jié)果、無干擾觀測器關(guān)節(jié)定位仿真結(jié)果分別如圖6和圖7所示，關(guān)節(jié)定位誤差量化對比如表2所示。對比圖4、圖6、圖7以及表2可以看出，在PD控制和無干擾觀測器控制下，關(guān)節(jié)系統(tǒng)超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差過大，采用干擾觀測器滑?？刂品椒ê?，關(guān)節(jié)系統(tǒng)超調(diào)量降低至15.78%，關(guān)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差降低至0.028 rad。由此可得，在有摩擦和外界干擾的影響下，PD控制方法無法實現(xiàn)關(guān)節(jié)輸出保持穩(wěn)定，超調(diào)量大，有明顯的振動；在引入干擾觀測器后，基于奇異攝動理論的干擾觀測器滑?？刂品椒軌蚴龟P(guān)節(jié)輸出響應(yīng)速度加快，系統(tǒng)在經(jīng)過0.217 s調(diào)節(jié)后達到穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)態(tài)誤差減小到0.028 rad,系統(tǒng)的控制精度明顯提高。

圖6 PD控制下關(guān)節(jié)定位仿真結(jié)果

圖7 無干擾觀測器關(guān)節(jié)定位仿真結(jié)果

表2 不同控制方法下關(guān)節(jié)定位誤差量化對比

PD控制關(guān)節(jié)位置跟蹤仿真結(jié)果、無干擾觀測器關(guān)節(jié)位置跟蹤仿真結(jié)果分別如圖8和圖9所示，關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差對比如圖10所示，不同控制方法下關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差量化對比如表3所示。由圖8、圖9和圖10以及表3可以看出，在PD控制和無干擾觀測器控制下，關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差范圍比較大，跟蹤響應(yīng)時間也較長；在引入干擾觀測器后，跟蹤誤差范圍縮小為-0.176～0.152 rad，跟蹤響應(yīng)時間縮短至0.109s。由此可見，基于奇異攝動理論的干擾觀測器滑?？刂品椒梢詼p小關(guān)節(jié)由內(nèi)部摩擦和外界干擾引起的位置跟蹤誤差，跟蹤響應(yīng)速度更快，跟蹤性能更好。

圖8 PD控制關(guān)節(jié)位置跟蹤仿真結(jié)果

圖9 無干擾觀測器關(guān)節(jié)位置跟蹤仿真結(jié)果

圖10 關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差對比

表3 不同控制方法下關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差量化對比

4 結(jié)語

(1)針對機器人柔性關(guān)節(jié)控制精度低的問題，提出了一種基于奇異攝動理論的干擾觀測器滑?？刂品椒?該方法在引入干擾觀測器后，可以減小關(guān)節(jié)內(nèi)部非線性摩擦和外界干擾對關(guān)節(jié)控制精度的影響。

(2)與PD控制方法和無干擾觀測器控制方法相比，所提出的基于奇異攝動理論的干擾觀測器滑?？刂品椒軌蚩s短關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間，且超調(diào)量低，能有效抑制關(guān)節(jié)振動和提高系統(tǒng)的控制精度。