湯濤 王付宇

摘? 要：針對(duì)傳統(tǒng)方法求解投資問題難度大、不易實(shí)現(xiàn)等問題，通過分析基本螢火蟲算法缺點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的自適應(yīng)步長螢火蟲算法用于求解該問題.利用正切函數(shù)使步長自適應(yīng)變化，為算法加入了慣性線性因子，利用種群最優(yōu)個(gè)體重新定義位置更新公式;為了避免算法陷入局部最優(yōu)，為算法設(shè)計(jì)了兩種變異操作;最后，將改進(jìn)螢火蟲算法應(yīng)用于投資組合問題中.計(jì)算結(jié)果表明：改進(jìn)螢火蟲算法求解該問題具有明顯優(yōu)勢.

關(guān)鍵詞：投資組合;螢火蟲算法;自適應(yīng)步長;慣性因子;變異

中圖分類號(hào)：TP18∶F830.59? ? ? ? ? ?DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.01.018

0? ? 引言

上個(gè)世紀(jì)五十年代，Markowitz[1]提出了均值-方差投資組合問題模型，研究如何在模糊條件下進(jìn)行投資決策，該理論在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中具有重要的地位.隨著社會(huì)的發(fā)展，經(jīng)過眾多學(xué)者的不斷研究，均值-方差已越來越具有實(shí)用性[2].如劉冬華等[3]通過分析證券市場實(shí)際情況，在模型中加入了費(fèi)用;Huang[4]為了準(zhǔn)確描述投資組合問題，提出帶不確定參數(shù)的均值-方差投資組合決策模型，為決策者提供依據(jù).

具有多約束的投資組合問題是一個(gè)組合優(yōu)化問題，傳統(tǒng)求解方法難以很好地得到較優(yōu)組合解.隨著智能優(yōu)化算法的發(fā)展[5]，為組合優(yōu)化問題的解決提供了便捷，其中螢火蟲算法（firefly algorithm，F(xiàn)A）具有參數(shù)簡單、易操作等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域[6-7].Yang[8]于2008年首次提出螢火蟲算法，螢火蟲算法原理是：模擬螢火蟲行為，通過個(gè)體熒光素吸引得到問題的最優(yōu)解.但是螢火蟲算法也有易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)，因此，有學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究[9-10].如張哲辰等[11]為避免算法陷入局部極值，將拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與交叉策略引入算法搜索機(jī)制中，提出了一種改進(jìn)的螢火蟲算法;莫愿斌等[12]在螢火蟲移動(dòng)過程中加入高斯變異策略，提高了算法的收斂能力，彌補(bǔ)了算法易陷入極值的缺點(diǎn);李恒等[13]提出了一種改進(jìn)的自適應(yīng)步長螢火蟲，并應(yīng)用于PID參數(shù)優(yōu)化問題中，結(jié)果表明改進(jìn)螢火蟲具有高精度.

本研究為了更好地求解投資組合問題，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的螢火蟲算法.為提高快速收斂能力，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)步長，重新定義了算法的搜索機(jī)制.由于算法易陷入局部極值[14]，因此，為算法設(shè)計(jì)了兩種擾動(dòng)方式.分別用改進(jìn)螢火蟲算法、標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法、文獻(xiàn)[13]中的算法求解投資組合問題，仿真對(duì)比結(jié)果表明，改進(jìn)螢火蟲算法具有更高的精度與收斂速度.

1? ? 投資組合問題

如果某一個(gè)決策者決定利用現(xiàn)有的總金額S去投資幾種股票，設(shè)[xi（i=1， 2， …， n）]表示投資第[i]種股票的比例，其中無風(fēng)險(xiǎn)投資比例為[x0]. [ri]為[i]股票的收益，[pi]為[i]股票價(jià)格，[σ]表示股票間的方差-協(xié)方差矩陣，[ni]表示[i]股票的手?jǐn)?shù)，100股為一手.

在實(shí)際生活中需要考慮費(fèi)用，我國股票買入成本具體有稅收、委托金、傭金、過戶費(fèi)，每筆委托費(fèi)為5元.同文獻(xiàn)[1]一樣，以國債投資作為無風(fēng)險(xiǎn)投資方案，年利率r為3.85%，[μ0=0.1]%表示無風(fēng)險(xiǎn)方案成本系數(shù)，[R0]為投資者預(yù)期的收益率.

式（1）為目標(biāo)函數(shù)，F(xiàn)為總投資風(fēng)險(xiǎn);x為股票投資比例;式（2）為資金約束;式（3）為投資帶來的收益率不低于預(yù)期收益率;式（4）為投資比例與手?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系;式（5）為委托金、傭金、過戶費(fèi)之和;式（6）為傭金收費(fèi)，具體為不超過成交金額的3% ，基本收費(fèi)為5元;式（7）為過戶費(fèi)用，按照成交股數(shù)的1%支付，起始費(fèi)用1元;式（8）為包括無風(fēng)險(xiǎn)投資成本在內(nèi)的總成本;式（9）為總投資比例之和為1.

2? ? 改進(jìn)螢火蟲算法

2.1? ?標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲局限性分析

螢火蟲算法之所以簡單易操作，是因?yàn)槠渌阉鳈C(jī)制主要是依靠領(lǐng)域內(nèi)最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行指引尋優(yōu)，一旦領(lǐng)域?yàn)榭占?，那么算法將?huì)停滯，大大降低了算法效率.除此之外，算法位置更新公式過于簡單以及搜索步長的固定，無法使算法進(jìn)行快速尋優(yōu)，從而無法快速收斂于最優(yōu)解附近.

2.2? ?步長改進(jìn)

算法前期，需要較大步長搜索，盡可能遍歷大范圍的可行解;在算法后期，已慢慢收斂于最優(yōu)解附近，此時(shí)需要較小步長來搜索.按照這個(gè)改進(jìn)思路，可以發(fā)現(xiàn)在正切函數(shù)[tan（x）]中，自變量x為0.785時(shí)，函數(shù)值為1，且隨著自變量的減小而減小，減小速率也是逐漸變小，因此，將正切函數(shù)引入步長中，改進(jìn)后的步長更新公式如下：

2.3? ?位置更新改進(jìn)

標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲搜索原理存在領(lǐng)域?yàn)榭盏娜毕?，改進(jìn)后的位置更新公式，引入了一個(gè)慣性線性因子，以種群最優(yōu)個(gè)體替換領(lǐng)域內(nèi)最優(yōu)個(gè)體，以種群平均值作為擾動(dòng)項(xiàng)，以一定概率去擾動(dòng)當(dāng)前解.

2.4? ?變異

為了使算法容易跳出局部極值，以一定概率對(duì)螢火蟲進(jìn)行擾動(dòng).設(shè)p=0.2為算法變異概率，并且利用逆序與亮點(diǎn)交換為算法設(shè)計(jì)了兩種變異方式.如果[p>rand]則執(zhí)行變異算子，rand為[0，1]的隨機(jī)數(shù)，假設(shè)螢火蟲是8個(gè)維度解，每次迭代時(shí)隨機(jī)生成兩個(gè)位置索引數(shù)，假設(shè)生成的兩個(gè)數(shù)為3和6，變異方式如圖1所示.

2.5? ?算法步驟

Step 1? 設(shè)置算法參數(shù)，如種群大小、最大慣性因子、最小慣性因子、步長固定參數(shù)[s0]、變異概率p等;

Step 2? 生成初始解，計(jì)算適應(yīng)度值，本研究螢火蟲適應(yīng)度值為投資的總風(fēng)險(xiǎn);

Step 3? 開始迭代計(jì)算，按照式（10）、式（11）分別更新步長、慣性因子等參數(shù);

Step 4? 搜索種群最優(yōu)解，按照式（12）進(jìn)行位置更新，判斷是否需要變異，若執(zhí)行變異，則隨機(jī)選擇一個(gè)變異方式進(jìn)行變異;

Step 5? 判斷算法是否結(jié)束，若結(jié)束，則輸出最優(yōu)解，若不結(jié)束，則轉(zhuǎn)Step 3.

3? ? 實(shí)驗(yàn)仿真

3.1? ? 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

為了進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)以證明改進(jìn)螢火蟲算法求解投資組合問題的有效性，選取了某個(gè)證券交易所的9支股票，股票價(jià)格和收益率的數(shù)據(jù)來自網(wǎng)站，如表1所示，股票間協(xié)方差數(shù)據(jù)如表2所示.

3.2? ?仿真結(jié)果對(duì)比

設(shè)定最大迭代次數(shù)[tmax]為130，種群規(guī)模為100，步長固定參數(shù)[s0]為0.2，最大慣性因子為0.7，最小慣性因子為0.3.仿真軟件使用Matlab R2014b來進(jìn)行算法編程.計(jì)算機(jī)處理器參數(shù)為Intel（R）Core（TM）i7-1065G7@ 2.52 GHz雙核處理器，計(jì)算機(jī)操作系統(tǒng)為Windows 8 64位.本研究分別用改進(jìn)螢火蟲算法、標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法、文獻(xiàn)[13]算法來求解投資問題，仿真對(duì)比結(jié)果見表3.為了進(jìn)一步形象直觀地證明改進(jìn)算法的效果，分別以種群數(shù)50與100對(duì)3個(gè)算法的迭代收斂進(jìn)行對(duì)比.種群大小為50時(shí)，3種算法迭代對(duì)比見圖2;種群大小為100時(shí)，3種算法迭代對(duì)比見圖3.

由表3以及圖2、圖3可得，改進(jìn)后螢火蟲算法收斂效果要優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法與文獻(xiàn)[13]中提出的改進(jìn)螢火蟲算法.為了進(jìn)一步比較改進(jìn)螢火蟲算法與標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法收斂速度的差別，以表3中的12運(yùn)行次數(shù)的時(shí)間來計(jì)算平均時(shí)間，如表4所示.

由表4可以得出，本文改進(jìn)螢火蟲算法運(yùn)行時(shí)間比標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法、文獻(xiàn)[13]所提算法運(yùn)行時(shí)間短，因此，本文改進(jìn)算法收斂速度略優(yōu)于對(duì)比算法收斂速度.由表3可得最小風(fēng)險(xiǎn)為0.205 9，表5為求得的最小風(fēng)險(xiǎn)所對(duì)應(yīng)的9支股票以及無風(fēng)險(xiǎn)投資比例.

4? ? 結(jié)論

本研究將正切函數(shù)引入螢火蟲步長更新中，將最優(yōu)個(gè)體引入螢火蟲搜索機(jī)制中，為算法設(shè)計(jì)了兩種變異算子，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的螢火蟲算法，并將算法應(yīng)用于投資組合問題中.由仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比可知，無論是收斂效果還是收斂速度都較標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法、文獻(xiàn)[13]中提出的改進(jìn)算法有了提高，驗(yàn)證了算法應(yīng)用于投資組合問題的可行性，對(duì)于解決投資組合問題具有重大意義.

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