張文婧

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，幾何圖形的證明需要學(xué)生重點(diǎn)學(xué)習(xí)和掌握。在學(xué)習(xí)證明前，對(duì)于什么是證明，證明的重要性以及如何證明，都需要學(xué)生深入了解和系統(tǒng)學(xué)習(xí)。

本課例選自蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)第十二章第二節(jié)“證明”的第二課時(shí)。在本節(jié)課中，首先，讓學(xué)生了解證明的定義、基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式;其次，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷證明命題的過(guò)程，初步樹(shù)立言之有理、落筆有據(jù)的推理意識(shí);最后，讓學(xué)生在證明過(guò)程中感受歐幾里得的演繹體系對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)。

一、引入數(shù)學(xué)文化

在學(xué)習(xí)新知識(shí)之前，為了引導(dǎo)學(xué)生盡快融入課堂，先介紹由歐幾里得編著的數(shù)學(xué)巨著——《幾何原本》。在這本巨著中，歐幾里得將前人在數(shù)學(xué)上的成果進(jìn)行了系統(tǒng)的梳理，將公認(rèn)的真命題定為公理，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)推理證實(shí)了許多命題。

設(shè)計(jì)思路：引入數(shù)學(xué)文化，既能幫助學(xué)生了解和感受歐幾里得的演繹體系對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展和人類文明的價(jià)值，又能提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)證明的興趣。

二、新知探索

在本環(huán)節(jié)中，先了解證明和定理的定義，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷證明命題的過(guò)程。

在經(jīng)歷證明命題的過(guò)程中，首先引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的一些基本事實(shí)，并展示初中階段還會(huì)學(xué)到的部分基本事實(shí);再引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的正確性需要說(shuō)理證明，讓學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的兩個(gè)命題，說(shuō)明它們是否正確，從“同位角相等，兩直線平行”通過(guò)說(shuō)理得到“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，在說(shuō)理的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生做到有理有據(jù)。

在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷說(shuō)理的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷證明命題的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。仍從基本事實(shí)出發(fā)，證明“垂直于同一條直線的兩條直線平行”。在證明的過(guò)程中，要滲透以下四個(gè)步驟：

（1）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形;

（2）根據(jù)命題的條件，結(jié)合圖形，寫(xiě)出已知;

（3）根據(jù)命題的結(jié)論，結(jié)合圖形，寫(xiě)出求證;

（4）寫(xiě)出證明過(guò)程。

在教學(xué)中特別要注意的是，在首次證明命題的過(guò)程中，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生根據(jù)以上步驟，逐步解決問(wèn)題。首先，分析命題，根據(jù)題意，嘗試畫(huà)出圖形;其次，在已有圖形的基礎(chǔ)上，根據(jù)命題，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言寫(xiě)出已知和求證;最后，完成證明過(guò)程。

在以上環(huán)節(jié)中，第一環(huán)節(jié)注意畫(huà)圖的規(guī)范性（圖1）。學(xué)生在畫(huà)圖時(shí)易粗心或不規(guī)范，這也是以后在高年級(jí)會(huì)出現(xiàn)的問(wèn)題，因此，在七年級(jí)教學(xué)時(shí)就可以多做強(qiáng)調(diào)，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)證明打好基礎(chǔ)。第二環(huán)節(jié)中，學(xué)生用符號(hào)語(yǔ)言表示已知和求證常常會(huì)出現(xiàn)語(yǔ)言不夠精練的問(wèn)題。例如在證明本命題時(shí)，已知：如圖1，在直線a、b、c中，a⊥c，b⊥c。雖然看似簡(jiǎn)單，但是學(xué)生在書(shū)寫(xiě)時(shí)常常會(huì)遺漏“在直線a、b、c中”，因此，在教學(xué)中，筆者會(huì)在做題的同時(shí)教會(huì)學(xué)生準(zhǔn)確地整理出已知和求證的方法。最后一個(gè)環(huán)節(jié)，也是最重要的部分。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是學(xué)會(huì)證明命題，能規(guī)范寫(xiě)出證明過(guò)程，因此在這一環(huán)節(jié)中，筆者要求學(xué)生每一步推理都要做到有理有據(jù)，完成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理過(guò)程，為以后證明更為復(fù)雜的過(guò)程夯實(shí)基礎(chǔ)。在全部環(huán)節(jié)結(jié)束后，給學(xué)生再次總結(jié)在證明與圖形有關(guān)的命題時(shí)所需的步驟，呼應(yīng)起始環(huán)節(jié)。

設(shè)計(jì)思路：嘗試將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成幾何圖形和數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，包括圖形、已知和求證三個(gè)部分。在教學(xué)中，可增加小組合作時(shí)問(wèn)，組內(nèi)學(xué)生互相幫助，完成轉(zhuǎn)換，進(jìn)入下一證明環(huán)節(jié)。轉(zhuǎn)化文字語(yǔ)言為符號(hào)語(yǔ)言并證明基本事實(shí)，是本節(jié)課的重點(diǎn)，要求學(xué)生會(huì)證明命題，能規(guī)范寫(xiě)出證明過(guò)程。特別要注意的是，在證明過(guò)程中務(wù)必要求學(xué)生每一步推理都有理有據(jù)。

在學(xué)生完成一個(gè)完整的證明后，需及時(shí)進(jìn)行鞏固。

1.已知：如圖2，直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，EH平分∠AEF，F(xiàn)G平分∠EFD。 求證：EH∥FG。

2.已知：如圖3，直線AB、CD被直線EF所截 ，AB∥CD ， EP平分∠FEB ， FP平分∠EFD 。

求證 ： EP⊥FP 。

以上題目均可安排兩種練習(xí)，分別是證明過(guò)程的練習(xí)和將已知求證轉(zhuǎn)化成文字語(yǔ)言的練習(xí)，幫助學(xué)生及時(shí)鞏同復(fù)習(xí)。

設(shè)計(jì)思路：經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)后，可寫(xiě)出完整的證明過(guò)程，并且嘗試用一句話概括這個(gè)問(wèn)題的條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成精練的文字語(yǔ)言;這一環(huán)節(jié)中，題目難度略有上升，既可以幫助學(xué)生鞏固所學(xué)，又可以引導(dǎo)學(xué)生做適當(dāng)提升。

三、隨堂練習(xí)與檢測(cè)

題目可以從教材中選擇，注意由淺入深，既能幫助學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)新知識(shí)的信心，又能提升學(xué)習(xí)效果。

設(shè)計(jì)思路：練習(xí)與檢測(cè)設(shè)置多種題型的題目，注意難度有梯度。關(guān)注學(xué)生規(guī)范寫(xiě)出證明的過(guò)程，且在證明過(guò)程中，能做到推理嚴(yán)謹(jǐn)、書(shū)寫(xiě)規(guī)范。

四、課堂小結(jié)

小結(jié)的形式可多樣，要包含的內(nèi)容有：

（1）陳述證明、推理、事實(shí)依據(jù)的概念;

（2）引導(dǎo)學(xué)生在證明時(shí)做到：注意前因后果，做到言“形”一致;

（3）強(qiáng)調(diào)言之有理，落筆有據(jù)。

筆者會(huì)再次強(qiáng)調(diào)說(shuō)理的重要性，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，既可以利用反例來(lái)說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，也可以借助已有的知識(shí)和方法從正面說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是正確的。“說(shuō)理”是確認(rèn)一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確的有力工具。