芮招彪，程潘紅，劉相國

（1.巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽巢湖238000；2.上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海200093）

2013年10月，人民銀行宣布建立貸款基礎(chǔ)利率（Loan Prime Rate,LPR）集中報價和發(fā)布機(jī)制以進(jìn)一步推進(jìn)利率市場化，完善金融市場基準(zhǔn)利率體系。為提高利率傳導(dǎo)效率，打破貸款利率隱性下限，推動降低企業(yè)融資成本，2019年8月17日人民銀行發(fā)布改革完善貸款市場報價利率形成機(jī)制公告，并將貸款基礎(chǔ)利率更名為貸款市場報價利率，英文名LPR保持不變。2019年12月28日，人民銀行發(fā)布《中國人民銀行公告[2019]第30號》，公告規(guī)定各金融機(jī)構(gòu)自2020年1月1日起不得和借款人簽訂參考貸款基準(zhǔn)利率定價的浮動利率貸款合同。對于已經(jīng)簽訂參考貸款基準(zhǔn)利率定價的存量貸款客戶，自2020年3月1日起，各金融機(jī)構(gòu)需與借款人就其定價基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換條款進(jìn)行協(xié)商，將原利率定價方式或者轉(zhuǎn)換為以LPR為定價基準(zhǔn)加點(diǎn)形成，或者轉(zhuǎn)換為固定利率，且貸款客戶只有一次轉(zhuǎn)換權(quán)，轉(zhuǎn)換之后不能再次轉(zhuǎn)換。同時，為督促各銀行運(yùn)用LPR定價，人民銀行將各銀行執(zhí)行新LPR定價的執(zhí)行水平納入宏觀審慎評估體系（Macro Prudential Assessment,MPA）考核中[1-2]。

以前購房者在銀行辦理住房抵押按揭貸款時，只需在等額本金和等額本息兩者之間做出選擇即可，現(xiàn)在還需在LPR定價利率和固定貸款利率之間做出抉擇。對于有房貸的人而言，自2020年3月1日起還需和銀行就定價基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換條款進(jìn)行協(xié)商。在新的LPR利率定價機(jī)制下，房貸究竟選擇固定利率好還是浮動利率優(yōu)？張良財[3]基于貨幣時間價值對等額本金和等額本息這兩種還款方式進(jìn)行了系統(tǒng)地比較和分析。陳雄兵[4]運(yùn)用數(shù)列思想和基本金融理論闡述了兩種還款方式的邏輯和內(nèi)涵，并提供了兩種還款方式下利息計(jì)算的簡便方法。趙林茂[5]通過對等額本金與等額本息兩種還款方式的差異性進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)貸款本金相等、利率相同、在相同的還款期內(nèi)，表面上看等額本金要比等額本息還款方式合算，但在考慮資金的時間價值后，實(shí)際兩者的總還款額相差并不大，反而等額本息法更有利于房貸者。鄭澤星[6]認(rèn)為等額本金法和等額本息法兩種還款方式雖然有利于銀行保持穩(wěn)定的現(xiàn)金流和及時了解借款人還款能力，但對現(xiàn)金流不穩(wěn)定的客戶容易造成還款壓力。邵磊[7]研究發(fā)現(xiàn)，從美國、日本和中國香港等個人住房按揭貸款業(yè)務(wù)的實(shí)際情況看，等比累進(jìn)還款法和等額累進(jìn)還款法是國際上十分通行的兩種消費(fèi)信貸形式，尤其受到新婚夫婦和開始創(chuàng)業(yè)的年輕人的歡迎，但這兩種方式計(jì)算復(fù)雜，加上計(jì)算機(jī)設(shè)置等多種原因，目前在國內(nèi)還較少被銀行采用。因此，本文運(yùn)用精算理論對個人住房貸款創(chuàng)新還款方法進(jìn)行研究，為金融機(jī)構(gòu)優(yōu)化金融服務(wù)提供參考。

1 預(yù)備知識

1.1 年金

年金是一系列按照相等的時間間隔支付的款項(xiàng)。年金按照不同的標(biāo)準(zhǔn)可以進(jìn)行不同的分類。將付款時間間隔相等、每次付款額度相等、整個付款期內(nèi)利率不變且計(jì)息頻率與付款頻率相等的年金稱為標(biāo)準(zhǔn)型年金，年金的變化形式稱為一般型年金[8]。按照現(xiàn)金流發(fā)生的時點(diǎn)不同，可將年金劃分為期末年金與期初年金。期末年金是指每期的現(xiàn)金流發(fā)生在期末，如工資、利息收入、按揭還款等都是期末年金。期初年金是指每期的現(xiàn)金流發(fā)生在期初，如生活中的房租、生活費(fèi)支出、保險繳費(fèi)等都是期初年金[9]。

1.2 現(xiàn)值與終值

現(xiàn)值是未來某一時刻的一定數(shù)量貨幣在現(xiàn)在時刻的價值。終值是現(xiàn)在時刻的一定數(shù)量貨幣在未來某一時刻的價值。假設(shè)一個n期年金，每期期末付款額為1，每期利率為i，所有付款在時間0時的現(xiàn)值之和稱為期末年金現(xiàn)值，用符號表示；所有付款在時間n時的積累值之和稱為期末年金終值，用符號表示，則有

假設(shè)一個n期年金，每期期初付款額為1，每期利率為i，所有付款在時間0時的現(xiàn)值之和稱為期初年金現(xiàn)值，記為，各期付款在第n期期末的積累值之和稱為期初年金終值，記為，則有

2 還款模型

假設(shè)貸款金額為M元，貸款時間為N年，每年分β期還款，貸款年利率為α，第n期應(yīng)還本金A(n)元，應(yīng)付利息B(n)元，期供C(n)元，根據(jù)實(shí)際情況有A(n)+B(n)=C(n)。

2.1 隨機(jī)還款模型

假設(shè)借款人未來的本金還款計(jì)劃為A(1),A(2),A(3),…,A(β×N)，其中，A(i)≥0，i=1,2,3,…,β×N。由于貸款利息由本金產(chǎn)生，故

一般地，

這里k表示最后一次還款的期數(shù)。若k＜β×N，說明貸款者提前還款，貸款合同自動終止；若k=β×N，說明貸款者正常按期還款，最后一期將剩余本金及相應(yīng)利息全部還清。在整個貸款還款過程中，由于（剩余）本金不為0，故每期所還利息必須足額，即必須有B(i)＞0，但期供中的本金部分可以為0，即有A(i)≥0。

由式（1）進(jìn)一步有一般還款模型中本金以及利息的關(guān)系式：

結(jié)合式（1）（3）得

以上得到了貸款償還過程中本金與利息、本金與期供關(guān)系的更一般表達(dá)式，且式（4）具有很強(qiáng)的直觀意義，即利息會隨著貸款本金的減少而逐漸降低。

2.2 等額累進(jìn)（退）還款模型

等額累進(jìn)（退）還款法[10]是將整個還款期按一定的時段劃分，每個時間段比上一時間段多（少）還約定的固定金額，而每個時間段內(nèi)每月需以相同的償還額歸還貸款本息的一種還款方式。

等額本金還款法與等額本息還款法的差別：等額本金每月的本金固定不變，等額本息每月的本息和固定不變。本文僅討論在本金的基礎(chǔ)上多（少）還約定的固定金額或固定比例，期供暫不考慮。

一般地，設(shè)A(n)=A(1)+(n-1)d,n=1,2,3,…,β×N，其中，A(n)≥0，n=1,2,3,…,β×N，且滿足=M。整理得

其中，d的大小由借款人和銀行商定且必須滿足約束條件式（2），將d代入式（5）可得A(1)的值。顯然d＞0時為等額累進(jìn)還款法，d＜0時為等額累退還款法，d=0時為等額本金還款法。

根據(jù)式（4）有B(1)-B(n)=，因此

特殊地，當(dāng)d=0時，可得等額本金還款方式下本金、利息和期供的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為

2.3 等比累進(jìn)（退）還款模型

等比累進(jìn)（退）還款法[10]是將整個還款期按一定的時段劃分，每個時間段比上一時間段多（少）還約定的固定比例，而每個時間段內(nèi)每月需以相同的償還額歸還貸款本息的一種還款方式。

一般地，設(shè)A(n)=A(1)qn-1，這里A(1)＞0,q＞0，且滿足=M，即有

q的大小由借款人和銀行商定，將q代入式（6）可得A(1)的值。顯然，q＞1時為等比累進(jìn)還款法，q＜1時為等比累退還款法，q=1時為等額本金還款法。特別地，當(dāng)時，為等額本息還款法。

3 實(shí)證分析

某購房者準(zhǔn)備向銀行貸款100萬購置住房，貸款期限為30年，每月按時還款，貸款年利率為5.88%。

3.1 傳統(tǒng)還款方式

等額本金還款法和等額本息還款法是兩種傳統(tǒng)的還款方式。分析這兩種還款方式下期供、本金與利息的變化趨勢對于借款人做出還款決策具有重要意義，結(jié)果分別如圖1和圖2所示。

圖1 等額本金還款法

圖2 等額本息還款法

由圖1可知，等額本金還款方式下，期供和利息走勢為平行線，兩條平行線間的距離為本金，即本金為常函數(shù)，與等額本金法的定義相符。由圖2可知，等額本息還款方式月供走勢為與x軸平行的一條直線，即每期還款金額固定，與實(shí)際相符。

為利于購房者選擇合適的還款方式，對等額本金和等額本息還款方式下的本金（圖3）和利息（圖4）做比較分析。

圖3 兩種還款方式本金對比

圖4 兩種還款方式利息對比

由圖3可知，在還款初期，等額本息還款方式較等額本金還款方式本金部分較少，但兩者利息前期幾乎相同（等額本息略高一點(diǎn)，參見圖4），因而選擇等額本息還款方式前期還款壓力較等額本金還款方式壓力小。由圖4可知，在借款人不提前還款的條件下，等額本金還款方式的總利息比等額本息還款方式的總利息少，利息差值為陰影部分面積。

3.2 創(chuàng)新還款方式

等額本金還款法和等額本息還款法的每月還款金額在還款期內(nèi)分布均勻，這對現(xiàn)金流不穩(wěn)定的客戶容易造成還款壓力。而等額累進(jìn)（退）法和等比累進(jìn)（退）法可以根據(jù)借款人未來的收入預(yù)期分布，適當(dāng)調(diào)整d和q值，改變未來還款現(xiàn)金流，為借款人打造“量身制定”的還款方式。

對于等額累進(jìn)（退）還款方式，根據(jù)定義知，本金在整個還款期間呈等額遞增（等額遞減）趨勢，對于等額累進(jìn)（退）還款法，應(yīng)要求本金在整個還款期間都應(yīng)滿足約束條件式（2）。不妨取d=10和d=-10，經(jīng)Matlab運(yùn)行結(jié)果如圖5、圖6所示。

圖5 等額累進(jìn)，d=10

圖6 等額累退，d=-10

由圖5可知，等額累進(jìn)還款法由于前期所還本金較少，利息在期供中占很大比重，且利息隨著貸款本金的減少而逐漸降低，大約在200期左右，期供中本金與利息相等。從期供的現(xiàn)金流可以看出，前期呈遞增趨勢，說明利息降低的幅度小于本金增加的幅度；后期呈遞減趨勢，說明利息降低的幅度大于本金增加的幅度；整個還款期間，本金增加幅度不變。由圖6可知，對于等額累退還款法，由于本金呈遞減趨勢，而利息隨著貸款余額的減少而逐漸降低，因此，等額累退還款法在整個還款期間，期供呈單調(diào)遞減趨勢。

對于等比累進(jìn)（退）還款方式，本金在整個還款期間呈等比遞增（遞減）趨勢，為敘述方便，這里分別取q=1.01和q=0.99，經(jīng)Matlab運(yùn)行結(jié)果如圖7、圖8所示。

圖7 等比累進(jìn)，q=1.01

圖8 等比累退，q=0.99

由圖7可知，等比累進(jìn)還款法在整個還款期間，期供呈單調(diào)遞增趨勢，即前期少還、后期多還，特別適合新婚夫婦或者事業(yè)剛剛起步的年輕人。由圖8可知，等比累退還款法在整個還款期間，月供呈單調(diào)遞減趨勢，前期還款壓力大，后期則越還越少，大約在250期之后，利息幾乎為0，適合即將退休的中老年貸款者。

3.3 利率選擇建議

對于已經(jīng)有房貸的購房者，到底選擇LPR浮動利率還是固定利率呢？由隨機(jī)還款模型知，借款人向銀行借款，融資成本主要取決于利息的多寡，而利息是由貸款本金產(chǎn)生，結(jié)合當(dāng)前降低實(shí)體經(jīng)濟(jì)融資成本的背景下，LPR存在下行空間。因此，如果貸款余額較少，選擇等額本金還款方式或打算提前還款的借款人，則無妨選LPR，短期內(nèi)會減少房貸成本；如果貸款余額較多、月供捉襟見肘或者選擇等額本息還款方式且計(jì)劃長期還款的，可能固定利率更合適。總而言之，兩種利率方式各有利弊，關(guān)鍵取決于借款人對未來利率走勢的判斷。

4 小結(jié)

等額累進(jìn)（退）還款法和等比累進(jìn)（退）還款法主要適用于未來收入預(yù)期有較大變動的人群。對于希望前幾年少還、后幾年多還的借款人，可以采用d＞0的等額累進(jìn)還款法或者q＞1的等比累進(jìn)還款法。而對于希望前期多還、后期少還的借款人，可以采用d＜0的等額累退還款法、0＜q＜1的等比累退還款法或者傳統(tǒng)的等額本金還款方式。當(dāng)然，d或q的取值要符合實(shí)際情況且應(yīng)兼顧還款人的未來現(xiàn)金流。

以客戶為中心，為客戶提供多元化的金融服務(wù)是銀行最有力的競爭手段。遞增還款法前期收回本金較少，銀行有更多的生息資產(chǎn)；遞減還款法前期收回本金較多，貸款風(fēng)險小，銀行資金利用率高。但是銀行推出新的產(chǎn)品也必將承擔(dān)一定的費(fèi)用和產(chǎn)品自身存在的風(fēng)險。本文運(yùn)用精算理論得出的幾種創(chuàng)新還款方式的精算公式可為銀行創(chuàng)設(shè)新產(chǎn)品提供參考。由于住房按揭貸款有房產(chǎn)做抵押，銀行的風(fēng)險主要來源于抵押物變現(xiàn)的難易程度。創(chuàng)新還款方式較傳統(tǒng)還款方式的風(fēng)險在于回收資金的平均時間不同而導(dǎo)致的流動性風(fēng)險。因此，如果能夠較好地控制流動性風(fēng)險，推出多樣化還款方式就不存在障礙。