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        巧用“轉(zhuǎn)化” 一招制勝

        2021-03-12 09:02:50文李愛(ài)民
        初中生世界 2021年11期
        關(guān)鍵詞:轉(zhuǎn)化

        文李愛(ài)民

        所謂“轉(zhuǎn)化”,就是將一個(gè)問(wèn)題的解決轉(zhuǎn)向另一個(gè)問(wèn)題的解決,以達(dá)到化生疏為熟悉,化復(fù)雜為簡(jiǎn)單,化抽象為直觀的目的的數(shù)學(xué)方法。初中階段,我們就借助轉(zhuǎn)化的思想方法學(xué)習(xí)了不同類型方程的解法。首先,我們利用等式的性質(zhì)歸納出一元一次方程的解法;接著,通過(guò)消元將解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程,通過(guò)降次將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程,通過(guò)去分母將解分式方程轉(zhuǎn)化為解整式方程。下面,老師再舉一些例子,讓同學(xué)們感受“轉(zhuǎn)化”在方程和不等式中的應(yīng)用。

        一、通過(guò)“換元”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

        例1若(a2+b2)2-2(a2+b2)-3=0,則代數(shù)式a2+b2的值為( )。

        【分析】將a2+b2看成整體,通過(guò)換元可以將原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解。

        解:設(shè)a2+b2=x,則原方程變形為x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1。因?yàn)閍2+b2≥0,即x≥0,所以x=3,所以a2+b2=3,所以答案為D。

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查用換元法解一元二次方程,解題的關(guān)鍵是能想到將a2+b2整體設(shè)元,同時(shí)還要注意a2+b2的取值范圍。

        二、通過(guò)“數(shù)形結(jié)合”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

        1.以形助數(shù)。

        圖1

        【分析】已知點(diǎn)A、B,可以用待定系數(shù)法求出兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式,這樣就可以得到一個(gè)明確的不等式,但求解過(guò)程比較復(fù)雜。仔細(xì)觀察,不難發(fā)現(xiàn):解不等式實(shí)際上是比較兩個(gè)函數(shù)的大小,借助圖像可以簡(jiǎn)單直觀地得到答案。

        解:因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)相交于點(diǎn)A、B,所以當(dāng)x=-2 和x=1 時(shí),兩個(gè)函數(shù)值相等。因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的自變量x≠0,所以比較兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系可以將自變量x分成4 個(gè)部分,分別是:x<-2、-2<x<0、0<x<1、x>1。觀察函數(shù)圖像,不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)x<-2 或0<x<1 時(shí),一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方,即kx+b>所以本題的答案為D。

        【點(diǎn)評(píng)】本題以數(shù)的形式出示問(wèn)題,表面是解不等式,但發(fā)現(xiàn)直接求解比較困難。因此,我們可以借助函數(shù)的背景,從形的角度入手,將其轉(zhuǎn)化成比較兩個(gè)函數(shù)大小的問(wèn)題。函數(shù)與方程、不等式有著密切的關(guān)系,當(dāng)出現(xiàn)以函數(shù)為背景的方程、不等式問(wèn)題時(shí),往往可以借助函數(shù)圖像解決。

        2.以數(shù)解形。

        例3若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則一次函數(shù)y=kx+b 的大致圖像可能是( )。

        【分析】由根的判別式可以求出kb的范圍,再結(jié)合一次函數(shù)圖像與k、b 的關(guān)系可以確定出大致的圖像。

        解:因?yàn)橐辉畏匠蘹2-2x+kb+1=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以根的判別式Δ>0,所以4-4(kb+1)>0,解不等式得kb<0,所以k 與b 異號(hào),即k>0,b<0或k<0,b>0。當(dāng)k>0,b<0時(shí),一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限;當(dāng)k<0,b>0 時(shí),一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象限,所以選B。

        【點(diǎn)評(píng)】本題求一次函數(shù)的圖像,是形的問(wèn)題,但一次函數(shù)的圖像由k、b 決定,必須依靠數(shù)的計(jì)算,所以轉(zhuǎn)化為解不等式的問(wèn)題。

        三、通過(guò)“分類討論”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

        例4若關(guān)于x的方程(a-1)x2+3x-2=0有實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍。

        【分析】因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)(a-1)不確定,所以方程的類型不確定。先對(duì)(a-1)進(jìn)行討論,確定是何種方程,再分別求解。

        【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分類討論思想。通過(guò)對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論,我們將原方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程和一元二次方程,達(dá)到化含糊為清晰的效果,能有效考查思維的嚴(yán)密性。

        四、通過(guò)“構(gòu)造”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

        例5若實(shí)數(shù)a≠b,且a、b分別滿足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,求 代 數(shù) 式a2b+ab2的值。

        【分析】我們觀察兩個(gè)等式中系數(shù)的特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)可以構(gòu)造出一元二次方程,再借助根與系數(shù)的關(guān)系求出代數(shù)式的值。

        解:因?yàn)閍、b分別滿足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,并且a≠b,所以a、b可以看成方程x2-8x+5=0 的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以a+b=8,ab=5,所以a2b+ab2=ab(a+b)=5×8=40。

        【點(diǎn)評(píng)】我們?nèi)绻氨┝Α苯獬鯽、b的值,再求解代數(shù)式的值,會(huì)發(fā)現(xiàn)解題過(guò)程比較復(fù)雜,而且計(jì)算量大,容易出錯(cuò)。通過(guò)逆用根的意義構(gòu)造一元二次方程,能巧妙地將問(wèn)題轉(zhuǎn)化,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的效果。

        方程和不等式是“數(shù)與代數(shù)”的核心內(nèi)容,是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型,是解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具。所以同學(xué)們要掌握方程和不等式的基本概念、性質(zhì)、解法、應(yīng)用,更要能感悟其中隱藏的“轉(zhuǎn)化”的思想方法,并善于將這種方法遷移到其他知識(shí)的學(xué)習(xí)中,這將對(duì)我們的學(xué)習(xí)有很大幫助。

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