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        利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

        2021-03-11 00:00:12李喜才
        天府?dāng)?shù)學(xué) 2021年18期
        關(guān)鍵詞:單調(diào)性導(dǎo)數(shù)

        李喜才

        摘 要:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個最重要的性質(zhì),沒有之一,也是高考重點考察內(nèi)容,對于熟悉的基本初等函數(shù)單調(diào)性,我們是容易確定的,但對一些超越函數(shù),特別是含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,就不那么容易確定了,這時就需要借助導(dǎo)數(shù)這個工具來研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,本文介紹利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性分三種類型。

        關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù);參數(shù)函數(shù);單調(diào)性

        利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟:(1)先確定定義域;(2)求導(dǎo),找出所需函數(shù);(3)確定參數(shù)分類討論的臨界值;(4)分析導(dǎo)函數(shù)零點,畫出導(dǎo)函數(shù)圖像。

        類型一;導(dǎo)函數(shù)為含參的“一次函數(shù)”類型

        例1.(2015年新課標全國Ⅱ卷)已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性.

        分析:函數(shù)定義域為,,令

        決定導(dǎo)函數(shù)符號的部分是,是一次函數(shù)類型,所以分類討論情況分為以下三類;

        解:函數(shù)定義域為,,令

        當(dāng)時,由,得,

        即,則在上單調(diào)遞增

        當(dāng)時,①當(dāng)時,,即,所以在上單調(diào)遞增,

        ②當(dāng)時,,即,所以在上單調(diào)遞減。

        綜上,當(dāng),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

        例2(2012年新課標全國卷)已知函數(shù),(1)求的單詞區(qū)間。

        分析:,觀察函數(shù)的圖像,共同點:定義域內(nèi)單調(diào)性明確,函數(shù)最多有一個零點,令,所以可以看成是“一次函數(shù)”類型

        解:函數(shù)的定義域為R,,令,則,又因為,所以分類討論的臨界值為0,分類討論情況為以下三類:

        當(dāng)時,所以的單調(diào)增區(qū)間為,無單調(diào)遞減區(qū)間;

        當(dāng)時,若,則.當(dāng)時,,當(dāng),

        所以的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為

        綜上,當(dāng),的單調(diào)增區(qū)間為,無單調(diào)遞減區(qū)間;

        當(dāng)時,的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為

        類型二:導(dǎo)函數(shù)為含參的“二次函數(shù)”類型

        例3(2018年新課標全國Ⅰ卷)已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性。

        分析:函數(shù)的定義域為,,決定導(dǎo)函數(shù)符號的部分是,是二次型函數(shù)

        解:函數(shù)的定義域為,,令

        (觀察導(dǎo)函數(shù)表達式)

        當(dāng)時,即,所以在單調(diào)遞減

        當(dāng)時

        ①當(dāng),即時,有兩個不等實根,即

        ①當(dāng),所以在和單調(diào)遞減;②當(dāng)時,,在單調(diào)遞增。

        綜上,當(dāng)時,在單調(diào)遞減;

        當(dāng)時,在和單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增。

        例4.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

        分析:,

        是“一次函數(shù)”類型

        故可看成“二次函數(shù)”類型。當(dāng)時,,由,找到分類討論的臨界值為0.

        解:函數(shù)的定義域為R,,

        當(dāng)時,,的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為

        當(dāng)時,時,(比較導(dǎo)函數(shù)零點的大?。?/p>

        ①當(dāng),即時,的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為

        ②當(dāng),即時,的單調(diào)遞增區(qū)間為,無遞減區(qū)間。

        ③當(dāng),即時,的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為

        綜上,當(dāng)時,的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為

        當(dāng)時,的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為

        當(dāng)時,的單調(diào)遞增區(qū)間為,無遞減區(qū)間,

        當(dāng)時,的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為

        類型三:導(dǎo)函數(shù)為含參的“其它函數(shù)”類型,需二次求導(dǎo)轉(zhuǎn)化到前兩種類型

        例5.已知函數(shù),若函數(shù)在區(qū)間上有最值,求實數(shù)的取值范圍。

        分析:,不是“二次函數(shù)”類型,二次求導(dǎo)化為“一、二次函數(shù)”類型

        解:函數(shù)的定義域為,,令

        當(dāng)時,,即在上遞減,此時,要函數(shù)在區(qū)間上有最值,則只需有零點即可,即,即

        當(dāng)時,,

        ①當(dāng)時,,在時恒成立,即在上單調(diào)遞增,,

        即,即在上單調(diào)遞減,不存在最值,舍去

        ②當(dāng)時,,時,恒成立,即單調(diào)遞減,,

        即,即在上單調(diào)遞減,不存在最值,舍去。

        ③當(dāng)時,,即在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,,即,即在上單調(diào)遞減,不存在最值,舍去。

        綜上,實數(shù)的取值范圍是.

        參考文獻:

        [1]龔亮亮. 例談利用導(dǎo)數(shù)判斷帶參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性[J]. 數(shù)理化解題研究,2019,(19):14-15.

        [2]嚴厚飛. 利用導(dǎo)數(shù)求解含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性問題的策略[J]. 高考,2018,(35):192.

        [3]李揚. 例談如何利用導(dǎo)數(shù)來判斷含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性[J]. 數(shù)學(xué)大世界(教師適用),2011,(08):57-58.

        2019501186224

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