趙 振
(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院,北京100191)
經(jīng)典力學(xué)中,分析力學(xué)采用理想約束的概念實現(xiàn)了對矢量力學(xué)的“降維”處理。而理想約束概念的形成也經(jīng)歷了相當(dāng)長的歷史[1]。從物體間相互作用的基本概念來講,分析力學(xué)把矢量力學(xué)的“力”轉(zhuǎn)變?yōu)椤傲Α?在“約束” 上“做功”。如果所研究約束(組) 的約束力在系統(tǒng)任意虛位移上所做虛功之和為零,此約束(組) 成為理想約束(組)[2-4]。為了描述清楚理想約束,分析力學(xué)引入了虛位移的概念。虛位移建立在約束的概念之上,為給定瞬時,約束容許的任何微小位移,也可以采用兩組在給定同一時刻、同一位形,且在相等時間間隔內(nèi)完成的可能微小位移之差來給出[2,4]。如果約束為理想的,其約束力可以不出現(xiàn)在系統(tǒng)的動力學(xué)方程中,這樣,系統(tǒng)就實現(xiàn)了簡化。因此,判斷約束是否為理想對于動力學(xué)系統(tǒng)的簡化十分重要。
如果一個質(zhì)點沿不含摩擦的光滑表面運動,此表面視作理想約束易于理解。然而,如果是兩個外形光滑的剛體接觸,判斷接觸是否能夠視為理想約束并不“顯然”。分析力學(xué)在講述形狀光滑的兩剛性面保持點接觸時,從接觸點的可能微小位移在接觸點法方向的分量相等的條件,推導(dǎo)出法向接觸力為理想約束力;而純滾動時,接觸點的相對速度為零,可以推導(dǎo)出純滾動時的接觸力為理想約束力[1]。至于為什么接觸點法向相對速度為零并不清楚。為了進(jìn)一步明確接觸時可能微小位移在接觸點法方向的分量相等,以及接觸點相對速度為零的條件,本文從兩物體外沿保持點接觸具有的幾何特征出發(fā)[5-6],推導(dǎo)上述結(jié)論。兩形狀光滑的剛性曲面保持點接觸時的幾何特征滿足:
(1) 兩個接觸點具有相同的空間位置;
(2) 剛性面在接觸點處相切。
本文從上述兩個條件出發(fā),給出無摩擦和純滾動時接觸力所做虛功為零的結(jié)論。
如圖1 所示。兩曲面視為兩個剛體的外沿,曲面參數(shù)坐標(biāo)分別設(shè)為ξ1,ξ2和ζ1,ζ2。兩曲面接觸于C 點,記C1在剛體1 上,C2在剛體2 上。法向量n,切平面為T,坐標(biāo)原點設(shè)為O。兩曲面上點的位置總可以表示為r1(q1,q2,··· ,qn,ξ1,ξ2,t)和r2(q1,q2,··· ,qn,ζ1,ζ2,t)[5-6],其中q1,q2,··· ,qn為曲面所在系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。根據(jù)接觸的幾何特征(1),兩個曲面,r1(q1,q2,··· ,qn,ξ1,ξ2,t) 和r2(q1,q2,··· ,qn,ζ1,ζ2,t) 接觸于一點,接觸點位置滿足
圖1 兩曲面接觸于C 點
由于接觸點法向單位矢量為 n,根據(jù)幾何特征(2),接觸點處滿足
如果兩個曲面保持點接觸,式(1) 和式(2) 一直成立。可對式(1) 求導(dǎo)數(shù),不僅考慮廣義坐標(biāo)的變化,還考慮接觸點的變化,得
在每一時刻,接觸點對應(yīng)的物質(zhì)點是明確的。在物質(zhì)點不變的條件,即(ξ1,ξ2)和(ζ1,ζ2)不變,可以定義這兩個接觸物質(zhì)點的相對速度為
把式(4) 代入式(3) 可得
由于式(2) 和式(5) 兩邊點乘n 可得
這樣,我們從兩形狀光滑的剛性曲面保持點接觸時的幾何特征出發(fā)推導(dǎo)出接觸點法向相對速度為零。下面就可按照分析動力學(xué)[1]中的推導(dǎo)過程,判斷接觸約束的理想性。
根據(jù)兩個接觸點的虛位移為任意兩個等時可能微小位移之差,接觸點相對虛位移為[2]
如果點接觸無摩擦,接觸力可以設(shè)為Fn1=λn,F(xiàn)n2=-Fn1。接觸力的虛功為
因此,根據(jù)式(6),無摩擦?xí)r,形狀光滑的兩剛性曲面點接觸的約束為理想約束。
如果點接觸含有摩擦,但為純滾動,接觸點的相對速度除了法向滿足式(6)外,切向速度也為零,即vτ=vr-vr·n=0,于是
設(shè)接觸力FC1和FC2=-FC1。根據(jù)式(7),它們的虛功之和為
因此,根據(jù)式(9),純滾動時,形狀光滑的兩剛性曲面點接觸約束為理想約束。
本文從兩物體接觸于一點所構(gòu)成的共點相切的幾何特征出發(fā),推導(dǎo)出接觸點相對法向速度為零,然后根據(jù)無摩擦和純滾動的條件,進(jìn)一步獲得接觸約束為理想約束的結(jié)論。相對于以往,本文推導(dǎo)過程的前提條件更加明確。