馬正芳 何章鳴 (.南雅湘江中學(xué),湖南 長(zhǎng)沙 4008 .國(guó)防科技大學(xué)文理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 4007)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)學(xué)科的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值及數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明發(fā)展中的作用，使其逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀(guān).同時(shí)，《2016年高考考試大綱(修訂版)》中增加了數(shù)學(xué)文化的要求，重申了數(shù)學(xué)文化的重要性，使數(shù)學(xué)文化成為高考的重要考點(diǎn)之一.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也提出教材應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)文化融入學(xué)習(xí)內(nèi)容中.因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師可以適當(dāng)?shù)亟榻B數(shù)學(xué)科學(xué)研究的成果，開(kāi)拓學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神.高中數(shù)學(xué)立體幾何部分蘊(yùn)含了一些數(shù)學(xué)文化，本文就此來(lái)簡(jiǎn)單分析一下.

一、數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵

作為學(xué)科文化中的一類(lèi)，數(shù)學(xué)文化被人們廣泛認(rèn)識(shí)和認(rèn)同的時(shí)間要早于物理文化、化學(xué)文化等學(xué)科文化.與其他學(xué)科不同，數(shù)學(xué)學(xué)科所研究的不是具體的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)或者組織屬性，而是從自然界眾多物質(zhì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)關(guān)系和數(shù)學(xué)性質(zhì).換言之，諸如點(diǎn)、線(xiàn)(包括直線(xiàn)和線(xiàn)段)、面、體等數(shù)學(xué)學(xué)科中的概念及其關(guān)系是對(duì)自然界和人類(lèi)社會(huì)發(fā)展過(guò)程中的多種多樣的現(xiàn)象進(jìn)行抽象提取而得出的數(shù)學(xué)規(guī)律.

目前,關(guān)于數(shù)學(xué)文化的概念，學(xué)術(shù)界并沒(méi)有形成一致性的觀(guān)點(diǎn)，但不同學(xué)者從研究與實(shí)踐的層面給出了相應(yīng)的看法.有人認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)科中的各類(lèi)思想、方法以及數(shù)學(xué)活動(dòng)中所涉及的語(yǔ)言、思維方式、歷史等均屬于數(shù)學(xué)文化的范疇[1-3].也有人認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展過(guò)程中衍生出來(lái)的思想、精神、知識(shí)、方法、技術(shù)、理論等內(nèi)容，是相關(guān)文化領(lǐng)域在數(shù)學(xué)學(xué)科的具體體現(xiàn).更有人認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是從具體的數(shù)學(xué)知識(shí)和其應(yīng)用中提取出來(lái)的文化元素，是能對(duì)人的數(shù)學(xué)思維和行為習(xí)慣產(chǎn)生深刻影響的內(nèi)容.

學(xué)術(shù)界和教育界關(guān)于數(shù)學(xué)文化的認(rèn)知尚處于深化階段，學(xué)生和教師對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)也多是伴隨數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐而自然產(chǎn)生的，這就使得許多人并未真正理解數(shù)學(xué)文化的精髓，進(jìn)而限制了他們對(duì)數(shù)學(xué)文化的概念認(rèn)知.對(duì)應(yīng)到高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，雖然沒(méi)有明確對(duì)數(shù)學(xué)文化進(jìn)行教學(xué)的內(nèi)容，但通過(guò)分析《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》可以發(fā)現(xiàn)，文化素質(zhì)培養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項(xiàng)基本內(nèi)容和要求.總體而言，高中階段的數(shù)學(xué)文化主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教材中，一般為兩個(gè)方面，一方面：數(shù)學(xué)精神的培養(yǎng).在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有選擇性地向?qū)W生介紹一些數(shù)學(xué)家的人生經(jīng)歷，展示其在數(shù)學(xué)探索道路上所形成的不畏艱難、勇于進(jìn)取的精神；另一方面：數(shù)學(xué)文化的滲透.教師在編寫(xiě)數(shù)學(xué)課程教案時(shí)，要將與教材相關(guān)的數(shù)學(xué)文化合情合理地進(jìn)行展示.換言之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)文化不僅涵蓋高中數(shù)學(xué)中的基本數(shù)學(xué)知識(shí)及其應(yīng)用、數(shù)學(xué)發(fā)展史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)活動(dòng)、數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)觀(guān)念、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)美，也包含數(shù)學(xué)家的人生經(jīng)歷及科學(xué)精神，甚至數(shù)學(xué)典故、數(shù)學(xué)作文、數(shù)學(xué)游戲等都是數(shù)學(xué)文化所包含的內(nèi)容[4].當(dāng)然，數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵也會(huì)隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展而不斷完善，并且在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮越來(lái)越重要的作用.受知識(shí)、思維等因素的影響，不同的人或者同一人在不同時(shí)間段內(nèi)，對(duì)數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的理解往往也存在一定的偏差，因此，對(duì)數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的理解，要從數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況入手，將數(shù)學(xué)文化理解為數(shù)學(xué)課程中的一種內(nèi)在的思想品質(zhì)和行為精神.

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的體現(xiàn)

培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育中的重要內(nèi)容，也是高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中貫徹素質(zhì)教育理念的內(nèi)在要求.對(duì)于教學(xué)主體，尤其是教師來(lái)說(shuō)，需要重點(diǎn)把握數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的具體體現(xiàn).結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，數(shù)學(xué)文化主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面.

1.科學(xué)價(jià)值

法國(guó)數(shù)學(xué)家高斯曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后.”意在表明數(shù)學(xué)較高的地位及其對(duì)科學(xué)發(fā)展的重要性.高中數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值主要體現(xiàn)為抽象性和邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性.在“立體幾何”一章中，抽象性體現(xiàn)為將日常生活中的空間場(chǎng)景抽象概括為圖形，運(yùn)用點(diǎn)、線(xiàn)和面進(jìn)行描述，而邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性則是指在4個(gè)公理的邏輯基礎(chǔ)下，對(duì)4個(gè)判定定理、4個(gè)性質(zhì)定理以及等角定理進(jìn)行了嚴(yán)格的推理驗(yàn)證，而后再將它們作為工具進(jìn)行應(yīng)用.教材在編寫(xiě)上也是從生活中常見(jiàn)的柱、錐、體出發(fā)，逐步走向更加抽象的概念，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.另外，由于數(shù)學(xué)作為一種工具被廣泛地應(yīng)用于各門(mén)學(xué)科，“盡心盡力”地發(fā)揮著所特有的服務(wù)功能，所以，有人將數(shù)學(xué)視為“科學(xué)的仆人”.立體幾何可抽象上升為空間解析幾何，其重點(diǎn)在于提升學(xué)生的直觀(guān)想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.應(yīng)用價(jià)值

數(shù)學(xué)不只是存在于紙上的符號(hào)，更重要的是在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中的應(yīng)用意義，而數(shù)學(xué)的發(fā)展作為數(shù)學(xué)文化中的重要一環(huán)，受到學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的影響.對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)的內(nèi)容最終落腳于應(yīng)用，一旦知識(shí)無(wú)法使用，學(xué)生就會(huì)十分沮喪，甚至放棄知識(shí)的學(xué)習(xí).但立體幾何這部分內(nèi)容能很好地被學(xué)生在實(shí)際生活中使用，從而激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.例如，教室的門(mén)閂之所以可以把門(mén)固定，運(yùn)用的就是基本公理2，即過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.兩個(gè)門(mén)軸和另一側(cè)的門(mén)閂，可以抽象為不共線(xiàn)的三點(diǎn)，這就是我們身邊的數(shù)學(xué).在教學(xué)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩直線(xiàn)平行時(shí)，教師可以采用中國(guó)現(xiàn)代作家茅盾的著名散文《白楊禮贊》作為導(dǎo)入.在聆聽(tīng)和觀(guān)看中，學(xué)生不僅能觀(guān)察到平坦的大地上傲然挺立的這一排排白楊樹(shù)之間的位置關(guān)系，還能體會(huì)到堅(jiān)持抗日戰(zhàn)爭(zhēng)的北方農(nóng)民所代表的質(zhì)樸、堅(jiān)強(qiáng)、力求上進(jìn)的精神.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)升華品質(zhì)，潛移默化地接受了思政教育.此外，根據(jù)異面直線(xiàn)既不平行也不相交的性質(zhì)，人們創(chuàng)造了人行天橋和立交橋，大大減輕了交通的擁堵；利用線(xiàn)面垂直的判定定理來(lái)檢驗(yàn)建筑物的墻體是否合格等，也是立體幾何的實(shí)際應(yīng)用.

3.人文價(jià)值

數(shù)學(xué)的歷史是一部充滿(mǎn)創(chuàng)新的著作，經(jīng)歷了大量的里程碑式的定義與定理：從有理數(shù)到無(wú)理數(shù)，從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)，從笛卡爾的解析幾何到牛頓、萊布尼茲的微積分的理論等等，所以，數(shù)學(xué)被稱(chēng)為“創(chuàng)造性的藝術(shù)”.在教學(xué)中，教師要充分挖掘數(shù)學(xué)文化中所蘊(yùn)含的創(chuàng)新價(jià)值，鼓勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新，進(jìn)而創(chuàng)造性地解決各種問(wèn)題.例如，立體幾何中對(duì)祖暅原理進(jìn)行了詳細(xì)介紹，這比其他國(guó)家要早一千多年，在歐洲直到17世紀(jì)，才被意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里提出.充分地向?qū)W生展示中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史中的優(yōu)秀成果和數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神，不僅能增強(qiáng)學(xué)生的民族自信心，還能激發(fā)學(xué)生超越前輩的激情.許多數(shù)學(xué)史料都能夠讓學(xué)生看到我們的國(guó)家和民族在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的巨大成就，進(jìn)而激發(fā)他們的民族自豪感和愛(ài)國(guó)主義情感，同時(shí)也能讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從來(lái)都不是一蹴而就的，它是一個(gè)長(zhǎng)久的過(guò)程，需要持之以恒的毅力和頑強(qiáng)拼搏的精神.當(dāng)然，這對(duì)任何一個(gè)科目的學(xué)習(xí)都是適用的，沒(méi)有人能隨隨便便成功，成功需要付出加倍的努力.

4.美學(xué)價(jià)值

數(shù)學(xué)從邏輯性、抽象性、對(duì)稱(chēng)性和簡(jiǎn)潔性等方面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.正因?yàn)槿绱?，很多?shù)學(xué)家都認(rèn)為數(shù)學(xué)是美學(xué).著名數(shù)學(xué)家巴拿赫說(shuō)：“數(shù)學(xué)是最美的，也是最有力的人類(lèi)創(chuàng)造.”而數(shù)學(xué)的理性美就是數(shù)學(xué)文化的精髓所在.當(dāng)然，數(shù)學(xué)還可以體現(xiàn)形式美、對(duì)稱(chēng)美，最直接的體現(xiàn)就是立體幾何圖形：正方體、球體、圓柱等.在教學(xué)過(guò)程中，黑板上優(yōu)美的圖形、工整的板書(shū)都會(huì)給學(xué)生以美的享受，便于學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有的美來(lái)創(chuàng)造屬于自己的美.研究數(shù)學(xué)美，一方面，學(xué)生可以通過(guò)欣賞和感受美來(lái)提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；另一方面，學(xué)生可以借助數(shù)學(xué)美的方式和標(biāo)準(zhǔn)來(lái)研究和解決問(wèn)題.例如，2021年全國(guó)卷Ⅰ第3題，此題考查圓錐的立體圖與展開(kāi)圖，體現(xiàn)了圖形的美.將空間圖形平面化是有效解決問(wèn)題的方法.當(dāng)然，也有很多情況是先將平面圖形通過(guò)折疊成立體圖形，再研究其性質(zhì)，這也是考查空間想象能力的常用方法.

三、數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用

在高考中,如何考查立體幾何中的數(shù)學(xué)文化呢？不妨以2020年全國(guó)卷Ⅰ第3題為例.如下圖所示，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為( ).

胡夫金字塔

這道題以胡夫金字塔作為引入，沒(méi)有給定任何具體的數(shù)值，要求的其側(cè)面三角形底邊上的高和底面正方形的邊長(zhǎng)的比值也是一個(gè)固定值，由此可見(jiàn)，這個(gè)固定值和具體的四棱錐的某個(gè)邊長(zhǎng)沒(méi)有直接關(guān)聯(lián)，因此，容易想到設(shè)定一些未知數(shù)作為中間過(guò)渡量來(lái)表示題目里的一些幾何關(guān)系，即“設(shè)而不求”的思想.利用已知條件建立待定未知數(shù)之間的幾何關(guān)系，利用方程思想解出答案.對(duì)于這種考查學(xué)生應(yīng)變能力以及思維轉(zhuǎn)變能力的題目，在未來(lái)的高考中會(huì)不斷出現(xiàn).但是，萬(wàn)變不離其宗，就算考到一些數(shù)學(xué)文化，例如本題中的胡夫金字塔，或者是2019年高考數(shù)學(xué)選擇題中的斷臂維納斯雕像，我們都可以先將其轉(zhuǎn)化為與數(shù)學(xué)相關(guān)的幾何圖形，再將數(shù)據(jù)代入幾何圖形中，最后用公式進(jìn)行計(jì)算.

四、結(jié)論

一位數(shù)學(xué)教育家說(shuō)：“不管人們從事什么工作，深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)的思想精神、數(shù)學(xué)的思維方法和看問(wèn)題的著眼點(diǎn)等，都會(huì)隨時(shí)隨地產(chǎn)生作用，使人們終身受益.”數(shù)學(xué)教育不僅僅是知識(shí)的傳授、能力的培養(yǎng)，更是一種文化、一種精神的傳播.因此，數(shù)學(xué)文化必須走進(jìn)課堂，滲透到課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中.作為教師，要不斷提高自身文化修養(yǎng)，深挖課內(nèi)教材，結(jié)合課外素材，將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)有機(jī)地融合，潛移默化地影響學(xué)生，從而提高學(xué)生的綜合素質(zhì).利用立體幾何講好數(shù)學(xué)故事、開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)，能夠提升學(xué)生的品德修養(yǎng)、空間想象能力、邏輯推理能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，為高等教育奠定夯實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).