江蘇省太倉市明德高級中學(215400) 江海華

章建躍先生指出:“學科育人”的關(guān)鍵是要發(fā)揮學科的內(nèi)在力量.這個內(nèi)在力量是一種聚焦在人的全面發(fā)展上的“合力”,是以學科知識為根基的.把數(shù)學教好是落實數(shù)學核心素養(yǎng)的前提,讓數(shù)學課堂更有“數(shù)學味道”是發(fā)揮“數(shù)學育人”的一項有效手段.大量教學實例表明,部分教師容易忽視概念教學的極端重要性,往往簡單片面的采用“一個定義、三項注意、幾個例題、大量練習”的解題教學來代替概念教學,仍舊以“會解題才是硬道理”的應(yīng)試思路來指導數(shù)學教學,從某種程度上說,這不是真正的數(shù)學教學,恰恰是極為低級和短視的做法,這種局面必須得到徹底的改變.數(shù)學教學如果總是形式化地教數(shù)學概念,而忽視了概念背后蘊含的一系列數(shù)學思想與方法,學生長期缺乏這種潛移默化的熏陶,落實“學生發(fā)展核心素養(yǎng)”的任務(wù)就是空談.努力提升數(shù)學課堂的“數(shù)學味道”,首先應(yīng)充分闡述研究該“數(shù)學概念”的必要性,關(guān)鍵是在建立相關(guān)概念的聯(lián)系的過程中,要注意對學生批判性思維的培養(yǎng),教師要對某些知識難點多問為什么,盡量減少告訴學生是什么,在辨析和交流中實現(xiàn)“概念的精細化”理解.需要強調(diào)的是,試圖不求甚解的運用那些高大上的理論來指導數(shù)學教學,教師是不能在課堂中自覺有效的落實“數(shù)學育人”的目的的.嘗試用具體的數(shù)學案例為載體,以學生之道讓他們經(jīng)歷完整的“發(fā)現(xiàn)問題—研究問題—辨析性質(zhì)—應(yīng)用拓展”過程,有意識地培養(yǎng)學生學會用數(shù)學的眼光觀察問題,用數(shù)學的思維思考問題,能用數(shù)學的方法認識問題和解決問題,才是“數(shù)學育人”的可操作性表達.

數(shù)是中學數(shù)學中一個最基本的概念,它的涵義在不同階段實際是不同的,經(jīng)歷了一個長期發(fā)展的過程,從大體上看,是由自然數(shù)到整數(shù)、有理數(shù)、然后是實數(shù)再到復數(shù),這個過程反映了人類對客觀世界認識的不斷深入.由于教材中并沒有明確指出數(shù)的概念的發(fā)展歷程,學生對數(shù)系擴充的歷史背景也不甚清楚.而復數(shù)的引入是數(shù)系擴充過程中純粹創(chuàng)造性的理論,不僅具有數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程的典型性,而且也是數(shù)學從內(nèi)部需求出發(fā)逐步完善發(fā)展成一套完備的科學體系的典型課例.接下來,筆者試圖通過“復數(shù)的引入與數(shù)系的擴充”課例談?wù)剬Α坝袛?shù)學味道”的課堂的理解.

1 “有數(shù)學味道”的課堂要體現(xiàn)“以思為核, 以導為先”的設(shè)計理念

1.1 直面問題情境,自然提出數(shù)學問題

隨著研究實際問題及某些純數(shù)學問題發(fā)現(xiàn),若僅局限在整數(shù)的范圍內(nèi),有些問題幾乎是無法處理的.例如,在解決一個實際問題中列出了一個二次方程ax2+bx+c= 0.這個方程有沒有解就與未知量所代表的對象有關(guān),即與自變量所允許的取值范圍有關(guān).又如,任意兩個整數(shù)的商不一定是整數(shù),這就是說,限制在整數(shù)的范圍內(nèi),除法不是普遍可以做的,而在有理數(shù)范圍內(nèi),只要除數(shù)不為零,除法總是可以做的.因此, 在數(shù)的不同的范圍內(nèi)同一個問題的回答可能是不同的.這類問題的研究促進了人們在數(shù)的認識上的不斷深化.出于這種目的,我們就有必要研究實數(shù)系進一步擴充的問題.

1.2 類比實數(shù)結(jié)構(gòu),合理構(gòu)建數(shù)學模型(新數(shù)集)

當然, 可以直接引入一個新數(shù)i, 使得該數(shù)是方程x2+1=0 的解,即i2=?1.再把這個新數(shù)添加到實數(shù)集中,為了方便起見,當我們把這些數(shù)當作整體來考慮的時候,常稱它為一個數(shù)的集合,簡記作A,那么方程x2+1=0 在A中有解.需要強調(diào)的是,在教學過程中,教師要指出實數(shù)集與新集合A的區(qū)別,本質(zhì)上絕對不是多一個元素的問題.數(shù)不僅僅是一個符號,還應(yīng)關(guān)注該數(shù)集中的元素所滿足的一系列代數(shù)法則.我們從數(shù)集A出發(fā),希望新引進的數(shù)i和實數(shù)之間仍能像實數(shù)系那樣進行加法和乘法運算.先約定: 把實數(shù)a與新加入的數(shù)i相加,結(jié)果記作a+i,把實數(shù)b與i相乘,結(jié)果記作bi,把實數(shù)a與實數(shù)b和i相乘的結(jié)果相加,結(jié)果記作a+bi.容易發(fā)現(xiàn),按照上述定義的加法與乘法法則,運算律仍然成立,從而這些運算的結(jié)果都可以寫成a+bi(a,bmathrminR)的形式.特別的,實數(shù)a和數(shù)i,都可以看作是a+bi(a,b ∈R)這樣的形式,此時若把所有這樣的數(shù)都添加到數(shù)集A中,則該新數(shù)集可記作C={a+bi|a,b ∈R}, 從數(shù)的表示方法上, 實現(xiàn)了從實數(shù)系到更大數(shù)系的擴充.在數(shù)集C中任取a+bi,c+di(a,b,c,d ∈R),我們規(guī)定:a+bi與c+di相等的充要條件是a=c且b=d.因此,接下來的工作是先構(gòu)建擴充后的數(shù)集C中的代數(shù)結(jié)構(gòu),再進一步研究其代數(shù)性質(zhì).

一般地,在數(shù)學中,關(guān)于數(shù)的加減乘除運算的性質(zhì)通常稱為數(shù)的代數(shù)性質(zhì).而代數(shù)所研究的問題又主要涉及數(shù)的代數(shù)性質(zhì).事實上,這方面的大部分性質(zhì)是有理數(shù)、實數(shù)的全體所共有的.因此,我們?nèi)韵Ｍㄟ^在數(shù)集A中新定義加法、減法、乘法、除法運算,使數(shù)集A滿足的代數(shù)性質(zhì)與有理數(shù)集、實數(shù)集所滿足的代數(shù)性質(zhì)保持一致.這是數(shù)學推廣的一個基本思想: 使得在原來的范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立.

基于上述設(shè)想,教材中對復數(shù)集中的加法、減法、乘法、除法法則作如下規(guī)定: 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個復數(shù), 那么稱z1+z2為復數(shù)z1與復數(shù)z2的和, 仍用符號“+”表示復數(shù)的加法:z1+z2= (a+bi)+(c+di) =(a+c)+(b+d)i.

很明顯,這兩個復數(shù)的和仍是一個確定的復數(shù).容易驗證,復數(shù)的加法也滿足交換律、結(jié)合律,與實數(shù)間的加法滿足的性質(zhì)相同.這是很容易通過類比實數(shù)的加法法則想到的.只需要給學生強調(diào): 兩復數(shù)的加法相當于實部與實部相加,虛部與虛部相加.

類比實數(shù)集中減法的意義,規(guī)定,復數(shù)的減法是加法的逆運算,即把滿足(c+di)?(x+yi)=a+bi的復數(shù)x+yi叫做復數(shù)a+bi減去復數(shù)c+di的差,記作(a+bi)?(c+di),仍用符號“?”表示復數(shù)的減法.根據(jù)復數(shù)相等的定義得到(a+bi)?(c+di) = (a ?c)+(b ?d)i,這就是復數(shù)的減法法則.容易發(fā)現(xiàn)減法法則僅基于兩復數(shù)相等和復數(shù)的加法法則的規(guī)定就可以得到.由此可見,兩個復數(shù)的差也是一個確定的復數(shù).

進一步地, 規(guī)定復數(shù)的乘法法則為: 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個復數(shù),稱z1·z2為復數(shù)z1與復數(shù)z2的積,仍用符號“·”表示復數(shù)的乘法,也可省略.

發(fā)現(xiàn)兩個復數(shù)相乘類似于兩個多項式相乘,積是一個確定的復數(shù).由于兩復數(shù)的乘法法則比較復雜,筆者認為,在教學過程中,教師應(yīng)當詳細驗證復數(shù)的乘法對交換律、結(jié)合律,且乘法對加法的分配律是否滿足,當然,這都是對復數(shù)的加法、乘法而言.否則,若不加證明的就認為復數(shù)可以直接繼承實數(shù)的一系列性質(zhì),那我們教授這堂課的意義在哪? 強化計算能力嗎? 需要強調(diào)的是,對于數(shù)學中的一系列定義,教師在課堂中要有意識的帶領(lǐng)學生共同去探討辨析新舊概念的區(qū)別與聯(lián)系,切不可走馬觀花,草草了事.

類比實數(shù)的除法是乘法的逆運算, 這里也規(guī)定復數(shù)的除法是乘法的逆運算.規(guī)定復數(shù)的除法法則是:(a+bi)÷(c+di) =稱為復數(shù)z1與復數(shù)z2的商, 仍用符號“÷”表示復數(shù)的除法.由此可見,兩個復數(shù)相除(除數(shù)不為0),所得的商仍是一個確定的復數(shù).

于是,我們在復數(shù)集上重新定義了加法、減法、乘法、除法.對于兩復數(shù)的加法、減法、乘法法則的規(guī)定是容易想到和理解的,這里只對除法法則進行說明,以試圖解釋復數(shù)的除法法則的發(fā)現(xiàn)契機.

一方面,因為

所以,教材中這樣規(guī)定的除法確實是乘法的逆運算.

另一方面,那這樣的規(guī)定是基于怎樣的發(fā)現(xiàn)呢?

首先, 怎么規(guī)定一個虛數(shù)除以一個實數(shù)呢? 以(a+bi)÷3 為例: 一方面, (a+bi)÷3 =·(a+bi) =這是按照規(guī)定的乘法法則得到的結(jié)果; 另一方面, 按照規(guī)定的除法法則得到的結(jié)果是和按照乘法法則得到的結(jié)果一致.換句話說,這樣規(guī)定的除法法則和之前定義的乘法法則是不沖突的,這是數(shù)學中新定義需要滿足的最基本的要求.

基于上述虛數(shù)除以實數(shù)的規(guī)律,我們還發(fā)現(xiàn),按照教材所給的除法法則規(guī)定,復數(shù)的除法可以這樣算: 先把(a+bi)除以(c+di)寫成然后分母實數(shù)化, 得到

需要說明的是,這里c+di?=0,即c,d不同時為0,這時(c+di)(c ?di) =c2?d2i2=c2+d2?= 0,進一步說明了這樣算也是合理的.因此,在教學過程中,對于新定義的運算,除了要說明定義的合理性,還需進一步說明基于新定義可以衍生出哪些新結(jié)論,在論證過程中能夠提供哪些便于操作的方式方法.這也是一個新知識能否得到廣泛推廣應(yīng)用的重要因素之一.

1.3 探討定義新形式,發(fā)現(xiàn)數(shù)學實質(zhì)

部分老師認為教材中對復數(shù)的加法、減法、乘法、除法運算規(guī)定是為了讓全體復數(shù)組成的數(shù)集成為數(shù)域,實質(zhì)上這種想法是片面的.

一般地,設(shè)P是由一些復數(shù)所組成的集合,其中包括0或1.如果P中任意兩個數(shù)(這兩個數(shù)可以相同)的和、差、積、商(除數(shù)不為零)仍然是P中的數(shù),那么P就稱為一個數(shù)域.顯然,全體有理數(shù)組成的集合、全體實數(shù)組成的集合都是數(shù)域.這兩個數(shù)域我們分別用字母Q,R來代表.但全體整數(shù)所組成的集合就不是數(shù)域,因為不是任意兩個整數(shù)的商都是整數(shù).在數(shù)學中,如果數(shù)的集合P中任意兩個數(shù)作某一運算的結(jié)果都仍在P中,我們就說數(shù)集P對這個運算是封閉的.因此,數(shù)域的定義也可以說成,如果一個包含0,1 在內(nèi)的數(shù)集P對于加法、減法、乘法與除法(除數(shù)不為0)是封閉的,那么P就稱為一個數(shù)域.

實際上,若對兩復數(shù)的加法、減法、乘法、除法法則按如下規(guī)定: 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個復數(shù),

加法: (a+bi)+(c+di)=2(a+c)+2(b+d)i;

減法: (a+bi)?(c+di)=

乘法: (a+bi)(c+di)=2(ac ?bd)+2(ad+bc)i;

除法: (a+bi)÷(c+di)=+

易驗證,復數(shù)集對于上述新規(guī)定的加法、減法、乘法、除法法則也是封閉的(但不滿足運算律),因此教材中的定義方式并不是使復數(shù)集成為數(shù)域的必要條件.既然是這樣,那教材中的定義方式究竟有何好處呢?

一方面, 將復數(shù)集中定義的運算法則按照教材定義后, 不僅將實數(shù)集進行了擴充, 而且將虛數(shù)運算與實數(shù)運算進行了很好的融合.否則, 若按照新定義, 當兩復數(shù)均退化為實數(shù)時, 按照復數(shù)集中定義的加法, 得到(a+0i)+(b+0i) = 2(a+b),與按照實數(shù)集中定義的加法得到的結(jié)果不一致,不利于后續(xù)對復數(shù)集的研究.從某種意義上說,這種推廣虛有其表,僅是形式上的不同,至于這種新定義的意義在哪? 或者說按照這種新定義的復數(shù)運算有何其他的應(yīng)用,還尚不清楚.

另一方面,按照教材中對于兩個復數(shù)加法、減法、乘法、除法的法則規(guī)定,復數(shù)充分發(fā)揮了它的工具屬性,能夠和數(shù)學物理的相關(guān)理論產(chǎn)生充分的聯(lián)系,爆發(fā)無窮的威力,各類經(jīng)典教材都有詳細論述,筆者在這里不再展開.

需要說明的是,上述對于數(shù)系擴充的問題探究難免掛一漏萬,牽涉其中的細節(jié)也并非三言兩語能夠表達,筆者認為,對于充分影響數(shù)學進程的典型案例,教師應(yīng)該有意識、有能力、有決心引領(lǐng)學生加以探討,或許最終并不能徹底搞清楚各種緣由,但是這一過程確是體驗數(shù)學樂趣的必由之路.

2 創(chuàng)設(shè)“有數(shù)學味道”的課堂的三個角度

2.1 選擇的探究內(nèi)容要立足數(shù)學基礎(chǔ)

從某種程度來說,傳統(tǒng)的教學方法更加傾向于教師掌控一切,他們并不鼓勵學生在課堂中將習得的知識亦或是產(chǎn)生的疑問經(jīng)過自己的加工思考表述出來,而這恰恰是教師了解學生數(shù)學基礎(chǔ)的重要途徑和手段.我們并不否認,教師只有對數(shù)學的內(nèi)容知識間實質(zhì)性的邏輯關(guān)聯(lián)有了深入的研究之后,在課堂教學中才能抓住問題的核心,但這一切都應(yīng)基于學生理解知識的層面之上.從某種意義上講,數(shù)學知識與教學知識是并列的關(guān)系,而學生的數(shù)學基礎(chǔ)是教學知識得以充分發(fā)揮的必要保證.只有保持師生之間的“同頻段”溝通,具有思維交互性的數(shù)學課堂才得以真正建立.通俗的說,就是教師設(shè)計的“怎么教”應(yīng)該是基于真正了解學生到底是“怎么學”的基礎(chǔ)之上的,雖然每個學生都有自己獨特的理解數(shù)學知識的角度和方式,但是并不意味著教師在備課過程中就要完全忽視學生的感受,一味的追求課堂教學的“高、精、深、順”.數(shù)學教學必須以學生的認知基礎(chǔ)為出發(fā)點,才能引導學生用數(shù)學的思維去思考問題,否則只能是“外行看熱鬧”,又或者甚至只是教師的個人表演.

2.2 設(shè)計的探究過程要體現(xiàn)數(shù)學深度

數(shù)學課堂要體現(xiàn)深度并不是讓教師只去教授那些晦澀難懂的學科理論知識,大量歷史實踐表明,那些經(jīng)典著作以外的真正原創(chuàng)的新結(jié)果的火花往往就誕生在某個具有啟發(fā)性與挑戰(zhàn)性的探究活動之中.很難想象一個缺乏對數(shù)學深層認知的教師能夠設(shè)計出具有針對性、高質(zhì)量的探究活動,更不消讓他引導學生的數(shù)學思考.有深度的數(shù)學課堂不能缺少具備扎實“四基”的老師,否則在知識的發(fā)生、發(fā)展、形成過程中,會缺乏對教學重難點和本質(zhì)屬性的足夠敏感性,并逐步喪失話語權(quán).特別是在處理某些知識的關(guān)鍵節(jié)點處,不能試圖完全放手讓學生獨立發(fā)現(xiàn),恰恰需要教師在宏觀把控的基礎(chǔ)上設(shè)計出直面問題本質(zhì)的具有數(shù)學思維性的探究活動,而這一切得以實施的前提是教師自己要先知道怎么思考,教師自己要先成為發(fā)現(xiàn)者.

2.3 提出的探究問題要聚焦數(shù)學本質(zhì)

數(shù)學不是算術(shù),它更是一種思想,一種解決思路.教師在教授復數(shù)的一系列運算性質(zhì)及運算定律的過程中,一方面要很好的向?qū)W生闡述為何要將實數(shù)集擴充到復數(shù)集的原因,搞清楚研究虛數(shù)的動機;另一方面,不能照本宣科,簡單的類比實數(shù)的結(jié)構(gòu),直接給出虛數(shù)的加法、減法、乘法、除法法則,反而在復數(shù)的運算技巧上大講特講.盡管學生能夠熟練掌握這一套運算方法,但這就完全背離了本堂課的初衷.筆者認為一個很重要的原因就是教師在教學過程中,容易不自覺地將自己的意志強加在學生之上,直接類比,忽視必要的探究過程.從某種程度上說,這是錯誤的將解題教學代替了概念教學.既然是這樣,我們又怎么能去苛求學生在獨立做題的時候,怎么全然不去分辨兩者的區(qū)別,直接套用老師課上的方式方法.因此,在探究過程中,教師要有意識的引導學生學會用數(shù)學的語言去清晰明確的描述問題,在立足事實的基礎(chǔ)上學會用數(shù)學的思維去演繹思考,在做出判斷之前具有論證要言之有據(jù)的意識.只有這樣,課堂教學才更有可能觸及問題的數(shù)學本質(zhì),所設(shè)計的一系列探究方法才能真正提升學生的思維品質(zhì).