福建省廈門市廈門實(shí)驗(yàn)中學(xué)(361116) 吳俊英

引言

直觀想象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵組成,是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段,是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).在數(shù)學(xué)解題中,直觀想象更是不可或缺的重要思維與工具.很多看似復(fù)雜,無(wú)從下手的數(shù)學(xué)問(wèn)題,借助直觀想象就可能很容易獲得解題的捷徑.高三二輪復(fù)習(xí)時(shí)間緊,任務(wù)重,教學(xué)時(shí)可以聚焦一個(gè)具體考點(diǎn)(重點(diǎn)、熱點(diǎn)或難點(diǎn)),以微專題的形式組織教學(xué)活動(dòng),一個(gè)微專題占用1-2 課時(shí).微專題學(xué)習(xí)可以有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性,從本質(zhì)上提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文以圓錐曲線軌跡方程為例,談?wù)勚庇^想象素養(yǎng)視角下的微專題教學(xué)實(shí)踐.

1 教學(xué)診斷分析

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何的重要內(nèi)容.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件,用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問(wèn)題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義,性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握,還充分考查了直觀想象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),因此這類問(wèn)題成為高考命題的熱點(diǎn),也是學(xué)生的一大難點(diǎn).學(xué)生在解決解析幾何有關(guān)問(wèn)題的時(shí)候,存在以下幾種問(wèn)題: (1)識(shí)圖、作圖、用圖意識(shí)薄弱,解題時(shí)沒(méi)有養(yǎng)成作出草圖或相對(duì)準(zhǔn)確圖像的意識(shí);(2)平面幾何知識(shí)較弱,無(wú)法充分挖掘幾何條件,結(jié)合平面幾何知識(shí),減少計(jì)算量.(3)對(duì)題目中條件的含義理解不清,無(wú)法選擇選擇簡(jiǎn)便的方法實(shí)現(xiàn)幾何條件代數(shù)化或者代數(shù)條件幾何化;(4)對(duì)不同題型相應(yīng)的方法選擇較盲目,多憑感覺(jué)而沒(méi)有養(yǎng)成解決一類問(wèn)題的思考路線.

2 歸納知識(shí)結(jié)構(gòu)

本節(jié)內(nèi)容要求學(xué)生正確理解曲線與方程的概念,會(huì)用解析幾何的基本思想和坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題,用方程的觀點(diǎn)實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題的代數(shù)化解決,并能根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒?教學(xué)時(shí)可以借助思維導(dǎo)圖,由學(xué)生自主歸納求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟及求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的思維出發(fā)點(diǎn)和思考路線.

設(shè)計(jì)意圖: 經(jīng)過(guò)一輪復(fù)習(xí),高三學(xué)生應(yīng)能明確求軌跡方程中“建系設(shè)點(diǎn)、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡(jiǎn)、限制說(shuō)明”五個(gè)基本步驟以及求曲線的軌跡方程的常用方法: 直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法等.但學(xué)生對(duì)于方法的選擇更多只停留于利用方法簡(jiǎn)單機(jī)械的操作,而對(duì)其背后的思維出發(fā)點(diǎn)還不甚清楚.通過(guò)知識(shí)歸納幫助學(xué)生進(jìn)一步理順解題思路.

3 例題及變式練習(xí)

以高考題為例重點(diǎn)說(shuō)明求點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題的常見(jiàn)解法,再通過(guò)變式練習(xí)強(qiáng)化,達(dá)到能力遷移.教師在課前學(xué)案中要求學(xué)生先對(duì)例題進(jìn)行求解,并嘗試一題多解,體會(huì)不同方法在求解時(shí)計(jì)算量的不同,作出優(yōu)劣判斷,體會(huì)圖形在解題中的作用.

圖1 例1 示意圖

圖2 例1 簡(jiǎn)化圖

例1(2016 全國(guó)卷I理科數(shù)學(xué)第20 題節(jié)選) 設(shè)圓x2+y2+ 2x ?15 = 0 的圓心為A, 直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程.

設(shè)計(jì)意圖: 強(qiáng)調(diào)全國(guó)卷盡量不給圖的特點(diǎn),要求學(xué)生通過(guò)審題自己作圖,結(jié)合圖形從整體角度理解題意尋找解題思路.強(qiáng)化學(xué)生作圖能力.如圖1,一般學(xué)生在畫圖時(shí)也會(huì)畫出直角坐標(biāo)系,本題中可引導(dǎo)學(xué)生作圖時(shí)先不畫直角坐標(biāo)系如圖2,更易看出各個(gè)幾何量之間的代數(shù)關(guān)系.

表1: 常見(jiàn)曲線的特征

解題時(shí)從條件中判斷出點(diǎn)的軌跡為學(xué)過(guò)的圖形,則可先判定軌跡形狀,再通過(guò)確定相關(guān)曲線的要素(如表1 所示),求出曲線方程.解題時(shí)要從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的位置關(guān)系角度理解問(wèn)題,去探究目標(biāo)“證明為定值”的證明思路.定義是數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的起點(diǎn),圓錐曲線的定義蘊(yùn)含了豐富的幾何內(nèi)涵,對(duì)問(wèn)題的理解與思考具有深刻的意義,所以運(yùn)用定義中蘊(yùn)含的幾何特征進(jìn)行解題,經(jīng)常是有效的解題思路.分析、說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種特殊曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)的定義或特征,則可根據(jù)定義采用設(shè)方程,求方程系數(shù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

變式練習(xí)1: 點(diǎn)Q(6,0),點(diǎn)P在E的軌跡上移動(dòng),求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.

變式練習(xí)2: 求CD中點(diǎn)的軌跡方程.

追問(wèn): 直線l與E的軌跡的交點(diǎn)記為G,H,求GH中點(diǎn)軌跡方程.

變式練習(xí)3: 已知點(diǎn)E(1,0),已知拋物線C:y2= 2x,過(guò)點(diǎn)E的動(dòng)直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),線段A,B的中點(diǎn)為M,求M的軌跡方程.

設(shè)計(jì)意圖: (1) 如果軌跡動(dòng)點(diǎn)M(x,y) 依賴于另一動(dòng)點(diǎn)P(a,b), 而P(a,b)又在某已知曲線上, 則可先列出關(guān)于x,y,a,b的方程組,利用x,y表示出a,b把a(bǔ),b代入已知曲線方程便得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程(如變式1).(2)解題時(shí)有時(shí)要借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì): 有時(shí)動(dòng)點(diǎn)規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯,這時(shí)可借助平面幾何中的有關(guān)定理、性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等,從而分析出其數(shù)量的關(guān)系,這種借助幾何定理的方法是求動(dòng)點(diǎn)軌跡的重要方法.(如變式2 可利用垂徑定理推出軌跡為圓進(jìn)而利用圓的定義進(jìn)行求解).(3)變式練習(xí)3 與前面不同,不易寫出動(dòng)點(diǎn)M在移動(dòng)時(shí)所滿足的幾何條件,但可以發(fā)現(xiàn),動(dòng)直線AB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)是引起動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)的M原因,因此可以用直線AB斜率過(guò)渡,進(jìn)行求解.

在求軌跡方程時(shí),如果不容易得出動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件,也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn),但卻較容易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn))該動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)的原因是受到另一個(gè)變量(角度,斜率,比值,截距或時(shí)間等)的影響,即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化,我們稱這個(gè)變量為參數(shù),由此建立軌跡的參數(shù)方程,這種方法叫參數(shù)法(或設(shè)參消參法),如果需要得到軌跡的普通方程,只要消去參數(shù)即可.在選擇參數(shù)時(shí),選用的參變量可以具有某種物理或幾何性質(zhì),如時(shí)間,速度,距離,角度,有向線段的數(shù)量,直線的斜率及點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)等,也可以沒(méi)有具體的意義,還要特別注意選定的參變量的取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響.

總之,在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題時(shí),從以下兩方面進(jìn)行思考:

(1)尋求約束動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)的幾何條件.(2)尋求引起動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)的原因,借助動(dòng)因找到動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系.

例2(2016 全國(guó)卷Ⅲ文科數(shù)學(xué)第20 題節(jié)選)已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn).若?PQF的面積是?ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程.

圖3 例2 示意圖

圖4 例4 示意圖

設(shè)計(jì)意圖: 如圖3, 借助圖形分析,S?P QF=可以由 面積關(guān)系發(fā)現(xiàn)直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)E(1,0)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為例題1 變式練習(xí)3.同樣的,在作圖時(shí)可先不畫y軸,減少干擾,便于觀察各幾何量直接的關(guān)系.

變式練習(xí)1: 設(shè)點(diǎn)A、B為拋物線C:y2=2x上除原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),已知OA⊥OB,OM⊥AB,求點(diǎn)M的軌跡方程,并說(shuō)明它表示什么曲線.

設(shè)計(jì)意圖: 本例中動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件無(wú)法直接代數(shù)化,可以尋求引起動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)的原因.解法一以O(shè)A斜率為參數(shù)進(jìn)行求解,解法二以AB斜率為參數(shù)進(jìn)行求解,解法三借助幾何畫板進(jìn)行演示,可以發(fā)現(xiàn)直線AB恒過(guò)拋物線的定點(diǎn)E(2,0),由OM⊥AB,得M在以O(shè)E為直徑的圓上(O點(diǎn)除外).

變式練習(xí)2: (2013年高考遼寧卷理科數(shù)學(xué)第20 題)如圖4 所示, 拋物線C1:x2= 4y,C2:x2=?2py(p ＞0),點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線C2上, 過(guò)M作C1的切線, 切線為A,B(M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O),當(dāng)x0= 1?√時(shí),切線MA的斜率為

(1)求p的值;(2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程.

設(shè)計(jì)意圖: 再次鞏固參數(shù)法.明確當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的幾何條件直接代數(shù)化存在困難時(shí),可以借助因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)移動(dòng)的原因建立動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的練習(xí),從而解決問(wèn)題.

4 強(qiáng)化作圖意識(shí)

具體操作: 教師課堂上注意使用尺規(guī)規(guī)范作圖,示范指導(dǎo)如何結(jié)合作圖過(guò)程讀題、理解題意,如何將試題信息匯集于圖,如何用圖思考、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的方法,并要求學(xué)生當(dāng)堂將各例題及變式練習(xí)再作圖感悟,通過(guò)審題自己作圖,結(jié)合圖形從整體角度理解題意尋找解題思路.

設(shè)計(jì)意圖: 幾何直觀是通過(guò)圖形的生動(dòng)性與形象性直觀清晰地描述數(shù)學(xué)問(wèn)題,分析數(shù)學(xué)問(wèn)題,從而實(shí)現(xiàn)抽象思維與形象思維間的轉(zhuǎn)換,將某些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化,幫助人們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì),所以在處理解析幾何問(wèn)題時(shí),除了運(yùn)用代數(shù)方程外,充分挖掘幾何條件,結(jié)合平面幾何知識(shí),這往往能減少計(jì)算量.關(guān)注平面幾何知識(shí)方法與性質(zhì)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用,關(guān)注幾何圖形(特別是三角形)相關(guān)方法在運(yùn)算中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)試題中很多圖形性質(zhì)就和“平幾”知識(shí)相關(guān)聯(lián),要抓住關(guān)鍵,適時(shí)引用,問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.另要解題時(shí)應(yīng)留心失誤.在求軌跡方程中易出錯(cuò)的是對(duì)軌跡純粹性及完備性的忽略,因此,在求出曲線方程的方程之后,應(yīng)仔細(xì)檢查有無(wú)“不法分子”摻雜其中,將其剔除(如例題1 及其變式練習(xí)1,例題2 的變式練習(xí)1均應(yīng)注意排除個(gè)別點(diǎn));另一方面,又要注意有無(wú)“漏網(wǎng)之魚(yú)”仍逍遙法外,要將其“捉拿歸案”.求出軌跡后,一般畫出所求軌跡,這樣更易于檢查是否有不合題意的部分或漏掉的部分.

5 教學(xué)實(shí)施建議

(1)重視直觀圖形的教學(xué)

希爾伯特說(shuō):“要幫助我們的學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形來(lái)描述和刻畫問(wèn)題, 學(xué)會(huì)用圖形去發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路.”直觀想象在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中扮演重要角色,教師應(yīng)重視基本圖形的教學(xué),認(rèn)為課堂上應(yīng)給學(xué)生提供探究的機(jī)會(huì),讓學(xué)生在探索幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征中形成幾何直觀,體會(huì)直觀抽象;通過(guò)圖形、符號(hào)語(yǔ)言的表達(dá)與交流發(fā)展學(xué)生幾何直觀和空間想象、合情推理的能力;通過(guò)畫圖感悟、探究本質(zhì)、構(gòu)建模型來(lái)凸顯課堂教學(xué)結(jié)構(gòu);通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)用圖意識(shí),錘煉學(xué)生畫圖技能,提高學(xué)生識(shí)圖能力,培養(yǎng)學(xué)生以形助數(shù)能力,進(jìn)而提高學(xué)生幾何直觀素養(yǎng).

(2)合理設(shè)置微專題

教師要善于從學(xué)生學(xué)情出發(fā),根據(jù)學(xué)習(xí)需要,以具體知識(shí)或方法為中心,通過(guò)一條清晰的主線將問(wèn)題串聯(lián)起來(lái),圍繞重點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué),突出知識(shí)或方法間的相關(guān)性,或者是整合學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)和難點(diǎn)進(jìn)行微專題教學(xué);教學(xué)活動(dòng)重心應(yīng)當(dāng)從教轉(zhuǎn)到學(xué),加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo),要幫助學(xué)生將問(wèn)題表征、圖式構(gòu)建與學(xué)生思維有機(jī)結(jié)合.重視直觀圖形,通過(guò)設(shè)置直覺(jué)想象意境,促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與,探索數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì),由學(xué)生體會(huì)用圖形描述、理解、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程,積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),在潛移默化中提升直觀想象素養(yǎng).