揚州大學(xué)附屬中學(xué)(225002) 張 順

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版)》中明確界定了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和水平劃分.其中“數(shù)學(xué)運算”素養(yǎng)是指“在明確運算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)”,并從理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路和求得運算結(jié)果等方面給出了三個不同水平的劃分.

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一“數(shù)學(xué)運算”的培養(yǎng)要求,近日,筆者在所教班級上了一節(jié)“點到直線的距離”的課.下面筆者就以此為例談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)課堂中的落實“數(shù)學(xué)運算”的培養(yǎng).

1 教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)

1.1 教材分析

“點到直線的距離”是蘇教版必修二第二章第6 節(jié)的內(nèi)容,旨在解決“直線l:Ax+By+C=0 外一點P(x0,y0)到直線l的距離”.教材通過上節(jié)課已經(jīng)證明的一道例題四邊形ABCD為平行四邊形,接著追問如何求平行四邊形ABCD的面積,自然引到求點到直線的距離.教材對于該例題給出了兩種解法“交點法”、“三角形面積法”,接著指出“交點法”計算量較大,“三角形面積法”計算簡潔,再通過該方法求證出一般情形下“點到直線的距離公式”.

1.2 學(xué)情分析

高一第二學(xué)期學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩條直線平行與垂直的判定、兩點間距離公式和中點坐標(biāo)公式等內(nèi)容,已經(jīng)具備了一定的利用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.“點到直線距離”小學(xué)、初中時就也就有所涉及例如求三角形面積時作出一邊上的高,這個概念學(xué)生并不陌生,但學(xué)生由用尺規(guī)量出點到直線距離,上升到利用公式計算得到距離是思維層次的一大步提高.根據(jù)我所教班級學(xué)生特點學(xué)生素質(zhì)較高,綜合能力較強,同時由于是文科班女生占了絕大多數(shù),學(xué)生代數(shù)運算,尤其是多字母的代數(shù)運算的能力還是不足的特點,本節(jié)課立足于提升學(xué)生的運算素養(yǎng),嘗試解釋運算背后的算理,讓學(xué)生能有所得.

1.3 教學(xué)目標(biāo)

(1)通過點到直線距離公式的推導(dǎo),滲透化歸思想.

(2)通過點到直線距離公式推導(dǎo)的幾種證法,使學(xué)生能理解算法選擇的優(yōu)劣,探究優(yōu)化求解的思路,提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

1.4 教學(xué)重難點

重點: 點到直線距離公式的推導(dǎo);

難度: 對點到直線距離公式推導(dǎo)過程的優(yōu)化.

2 教學(xué)過程

問題1:“點到直線距離”如何定義?

預(yù)設(shè)1: 過一點作已知直線的垂線,相交于垂足,點到垂足的距離為點到直線距離.

預(yù)設(shè)2: 已知點到直線上一點的最短距離為點到直線距離.

設(shè)計意圖: 該問題一是讓學(xué)生明白我們這節(jié)課所要研究的問題,二來通過該問題的兩個預(yù)設(shè)為接下來推導(dǎo)點到直線距離公式的兩種方法作鋪墊.

問題2: 已知直線l:Ax+By+C= 0(A2+B2?= 0)外一點P(x0,y0),求點P到直線l的距離?

預(yù)設(shè)1: 先求過點P垂直l的直線,再求兩直線交點,最后用兩點間距離公式.該方法可能遇到的問題: 學(xué)生不會求過點P與l垂直的直線;求不出交點;求不出兩點間距離.

預(yù)設(shè)1: 先求過點P垂直l的直線,再求兩直線交點,最后用兩點間距離公式.該方法可能遇到的問題: 學(xué)生不會求過點P與l垂直的直線;求不出交點;求不出兩點間距離.

設(shè)過點P與l垂直的直線為l′:Bx?Ay+D=0,由于過點P(x0,y0)故有Bx0?Ay0+D=0,將D=Ay0?Bx0代入l′得到l′:Bx ?Ay+Ay0?Bx0=0 從而突破第一個難點.

最后再求兩點距離:

合理的進行通分合并同類項,學(xué)生運算中常見的問題是不考慮代數(shù)式得結(jié)構(gòu)特征,“暴力”分解多項式從而破壞式子結(jié)構(gòu),而由于運能能力的不足,對于拆分后的式子往往沒有辦法更進一步的化簡,使得計算難以進行下去.

追問1: 上面解法較為繁瑣,計算容易出錯,那么有沒有更好的解法呢?

教師在黑板上板書如圖(1) 所示圖形, 提示學(xué)生要求PQ還能有什么方法.學(xué)生在圖形提示下會聯(lián)想到利用三角形面積求出PQ,于是有下面的解法.

圖(1)

設(shè)P(x0,y0), 則M(xM,y0),N(xN,y0) 代入直線方程解得同理NP=；因為所以

追問2: 為什么通過三角形等面積法轉(zhuǎn)化后計算量會減少?

設(shè)計意圖: 學(xué)生能看懂該解法,但是如果沒有老師作圖提示能主動聯(lián)想通過三角形面積算兩次得到斜高的學(xué)生應(yīng)該不會很多.再者利用該方法為什么能起到簡化運算的效果,是什么原因使然,對于這個問題學(xué)生想不到去追問,但這恰恰是比較重要的.通過轉(zhuǎn)化與化歸將求斜高轉(zhuǎn)化為求兩條平行于坐標(biāo)軸的直角邊長度,這種轉(zhuǎn)化能簡化運算的原因就在于其問題研究的坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系, 在直角坐標(biāo)系中, 平行于坐標(biāo)軸的兩點距離是容易得到的|x1?x2|或者|y1?y2|,而在其它情況下會用到兩點距離公式增加計算.

預(yù)設(shè)2: 學(xué)生會想到利用直線上一點與已知點求兩者距離最小值來表示距離.

通過數(shù)學(xué)建模, 學(xué)生能建立直線上一點與已知點的函數(shù)關(guān)系式.設(shè)直線l上一點為Q(x,y), 定點P(x0,y0),于是PQ=由 于Q在 直 線l上,PQ最小時P,Q在與l垂直的直線上, 由預(yù)設(shè)(1)中解得的方程有計算時需要有目標(biāo)意識, 需要我們求得的表達式結(jié)構(gòu)中有(x ?x0),(y ?y0) 這兩個量, 于是對上面方程組可以變形為又觀察目標(biāo)結(jié)構(gòu)中有(x ?x0)2+(y ?y0)2,所以想到將方程組兩式平方再相加,得到(A2+B2)[(x ?x0)2+(y ?y0)2] =(Ax0+By0+C)2, 最后得到

設(shè)計意圖: 對于多字母運算學(xué)生在公式變形式往往像無頭蒼蠅到處亂撞,展開到哪里就到哪里.公式變形前沒能對多要求的目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)有所思考,另一方還需要學(xué)生公式變形時有一定的整體意識.這種方法學(xué)生不會那么容易想到,教學(xué)時需要教師一步步去引導(dǎo),指導(dǎo)學(xué)生如何算,怎么想.

問題3: 前面探討過通過構(gòu)造三角形, 利用三角形面積來求高, 是否還有其他構(gòu)造圖形的方式?

圖(2)

教師板書如圖(2) 所示圖形,為了突出重點,這里只研究直線k存在且大于零情況.教師提示學(xué)生利用相似三角形知識.在老師的提示下學(xué)生能夠得到大三角形MPQ與小直角三角形相似, 因為MP=|kx0+b ?y0|,即, 最后再化為直線一般式下情形即可得證.

設(shè)計意圖: 這種創(chuàng)造性的思維,教師預(yù)想的學(xué)生不可能構(gòu)造出這種圖形,所以需要板書出來直接給學(xué)生,學(xué)生通過這樣的構(gòu)造能體會到數(shù)形結(jié)合的思想,覺得數(shù)學(xué)美麗有趣就是成功!

3 小結(jié)

本節(jié)課用4 種方法證明了點到直線的距離: 交點法,面積法,構(gòu)造函數(shù)法,構(gòu)造相似圖形法.交點法難算,但是解析幾何證明題中少不了計算,當(dāng)我們沒有什么巧妙解法時,計算也許是唯一的路徑,教學(xué)中也要讓學(xué)生能有面對復(fù)雜計算能算下去的信心.面積法大大減少了計算,同學(xué)們也要對其背后原因有所了解,因為直角坐標(biāo)系下平行于坐標(biāo)軸的線段長度容易表示.構(gòu)造函數(shù)的方法是本節(jié)課重點強調(diào)的一種方法,該方法首先要能準(zhǔn)確建模構(gòu)造出函數(shù),列出目標(biāo)表達式和約束條件,而求解最值化簡過程中需要有整體思想和目標(biāo)意識,時刻聯(lián)想到所要求的的目標(biāo)結(jié)構(gòu).最后為了提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣,介紹了一種巧妙的構(gòu)造相似三角形方法,講解這種方法主要是讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的美妙.