廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 樊 彪

2017 版課程標(biāo)準(zhǔn)凝練提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的6 個(gè)核心素養(yǎng),即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.其中數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象,得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)在四個(gè)方面: 形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則,形成數(shù)學(xué)命題與模型,形成數(shù)學(xué)方法與思想,形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系,是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的屬性之一.而變式就是在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物屬性的過(guò)程中,不斷變更所提供材料或事例的呈現(xiàn)形式,使本質(zhì)屬性保持穩(wěn)定而非本質(zhì)屬性不斷變化,從而更好的認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)屬性的方式.在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中,如果我們能夠恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用變式教學(xué),則無(wú)疑有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng).

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)中最基本的重要組成成分,是數(shù)學(xué)思維的單元和細(xì)胞,也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)程度的好壞,首先在于數(shù)學(xué)概念的理解與掌握程度.因此如何加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念理解與應(yīng)用成為擺在教師面前的迫切任務(wù),而提升概念教學(xué),其中最有效的辦法是抓住數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué),利用好概念性變式教學(xué),讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象的完整過(guò)程,熟悉數(shù)學(xué)抽象的基本手段.

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)可分為兩種基本形式: 一是概念形成;二是概念同化.概念性變式在教學(xué)中的主要作用是通過(guò)各種概念變式之間、以及概念變式與非概念變式之間的差異與聯(lián)系來(lái)把握概念的內(nèi)涵與外延,實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的多角度理解.數(shù)學(xué)概念變式主要包括概念的引入變式、辨析變式、深化變式和鞏固變式.

下面以曲線的參數(shù)方程這一核心概念的形成為例來(lái)說(shuō)明如何進(jìn)行概念的變式教學(xué),達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的目的.

1 概念的引入變式

我們之前學(xué)習(xí)過(guò)曲線的方程,請(qǐng)同學(xué)們思考并解決以下問(wèn)題:

1.如圖, 一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m 高處以100m/s 的速度作水平直線飛行.從飛機(jī)上投下一救援物資,請(qǐng)確定t(0 ≤t≤10)秒后該物資的位置.

2.位于中山市興中廣場(chǎng)上的幻彩摩天輪,是岐江河上一道靚麗的風(fēng)景.已知該摩天輪半徑為42 米,每秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)弧度.如圖所示,某游客現(xiàn)在P0點(diǎn)(其中P0點(diǎn)和轉(zhuǎn)軸O的連線與水平面平行).問(wèn): 經(jīng)過(guò)t秒,該游客的位置在何處?

給出上述兩個(gè)問(wèn)題的目的: 引導(dǎo)學(xué)生建立平面直角坐標(biāo)系,把實(shí)際問(wèn)題抽象到數(shù)學(xué)問(wèn)題并加以解決:

1.通過(guò)生活中的實(shí)例和具體的情景,引發(fā)學(xué)生研究的興趣;

2.通過(guò)解決問(wèn)題明確學(xué)習(xí)參數(shù)方程的現(xiàn)實(shí)意義;

3.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解決,使學(xué)生體會(huì)到僅僅運(yùn)用一種方程來(lái)研究往往難以獲得滿意的結(jié)果,從而了解學(xué)習(xí)曲線的參數(shù)方程的必要性;

4.通過(guò)具體的問(wèn)題,讓學(xué)生找到解決問(wèn)題的途徑,為研究圓的參數(shù)方程作準(zhǔn)備.

通過(guò)同學(xué)們分組討論,歸納以上兩個(gè)例子的共同點(diǎn),初步形成曲線參數(shù)方程的概念.這個(gè)過(guò)程充分體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的思維分析世界,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.學(xué)生們有了充分的感性認(rèn)識(shí)后,正式給出曲線的參數(shù)方程的定義:

(i)一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線C上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)

并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值,由方程組①所確定的點(diǎn)P(x,y)都在這條曲線C上,那么方程組①就叫做這條曲線的參數(shù)方程.變數(shù)t叫做參變量或參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù).

(ⅱ)相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)說(shuō),直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)x、y間關(guān)系的方程f(x,y)=0 叫做曲線的普通方程.

2 概念辨析變式

曲線的參數(shù)方程這個(gè)概念比較復(fù)雜,同學(xué)們可能一下子很難完全理解,為此,最好的辦法就是在引入概念后,通過(guò)一些簡(jiǎn)單具體的例子對(duì)概念進(jìn)行理解和辨析,為此設(shè)置如下:

例1曲線C的參數(shù)方程為t為參數(shù)

(1)判斷點(diǎn)M1(0,1)、M2(5,4)是否在曲線C上;

(2)已知點(diǎn)M3(6,a)在曲線C上,求a的值.

再一次通過(guò)具體的例子感受參數(shù)方程的形式,以及在參數(shù)方程下點(diǎn)和曲線的關(guān)系,加深對(duì)參數(shù)方程的認(rèn)識(shí).

例2判斷以下方程是否為參數(shù)方程? 它們表示什么曲線?

(1)x2+y ?4=0,(2)kx ?y+1=0,k為參數(shù)

例2 給的是反例變式,通過(guò)反例變式學(xué)生可以進(jìn)一步明確了參數(shù)方程概念的外延和內(nèi)涵,體現(xiàn)了由抽象到具體的過(guò)程.

3 概念深化變式

在概念引入例子的基礎(chǔ)上,我們可以進(jìn)一步抽象出圓的參數(shù)方程.

例3寫(xiě)出圓x2+y2=r2的參數(shù)方程.

如圖,由摩天輪的引例不難想到,圓x2+y2=r2可以看作質(zhì)點(diǎn)P以O(shè)P0為始邊繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)以勻角速度ω作圓周運(yùn)動(dòng),則質(zhì)點(diǎn)P的坐標(biāo)與時(shí)刻t的關(guān)系由任意角三角函數(shù)的定義可知:

點(diǎn)P的角速度為ω,運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間為t,則角位移θ=ωt,那么方程組①可以改寫(xiě)為何種形式?

結(jié)合勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理意義可得:

在以上基礎(chǔ)上,我們可以從以下幾個(gè)方面對(duì)曲線的參數(shù)方程的概念進(jìn)行深化理解:

①參數(shù)方程的形式

橫、縱坐標(biāo)x、y都是變量t的函數(shù),給出一個(gè)t能唯一的求出對(duì)應(yīng)的x、y的值,因而得出唯一的對(duì)應(yīng)點(diǎn);但橫、縱坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系并不一定是函數(shù)關(guān)系.

②參數(shù)的取值范圍

在表述曲線的參數(shù)方程時(shí), 必須指明參數(shù)的取值范圍;取值范圍不同,所表示的曲線也可能會(huì)有所不同.為此,可以設(shè)置如下問(wèn)題:

例4判斷以下方程是否為參數(shù)方程? 它們表示什么曲線?

③參數(shù)方程與普通方程的統(tǒng)一性

普通方程是相對(duì)參數(shù)方程而言的,普通方程反映了坐標(biāo)變量x與y之間的直接聯(lián)系,而參數(shù)方程是通過(guò)變數(shù)t反映坐標(biāo)變量x與y之間的間接聯(lián)系;普通方程和參數(shù)方程是同一曲線的兩種不同表達(dá)形式;參數(shù)方程可以與普通方程進(jìn)行互化:

④參數(shù)的作用

參數(shù)作為間接地建立橫、縱坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系的中間變量,起到了橋梁的作用.

⑤參數(shù)的意義

如果參數(shù)選擇適當(dāng),參數(shù)在參數(shù)方程中可以有明確的幾何意義,也可以有明確的物理意義,可以給問(wèn)題的解決帶來(lái)方便.即使是同一條曲線,也可以用不同的變數(shù)作為參數(shù).如圓的參數(shù)方程中的參數(shù)t和θ.

通過(guò)多角度,正反面全方位的對(duì)概念進(jìn)行深化辨析,使得抽象的概念更加明晰.在這一過(guò)程中,學(xué)生形成對(duì)此類問(wèn)題的一般性思考的習(xí)慣,逐漸培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

4 概念應(yīng)用和鞏固變式

為了進(jìn)一步鞏固概念,可以設(shè)置如下問(wèn)題:

例5炮彈的發(fā)射角為α,發(fā)射的初速度為v0,求彈道曲線的方程(不計(jì)空氣阻力).

此問(wèn)題也是引例中拋物線的參數(shù)方程的進(jìn)一步深化,通過(guò)此問(wèn)題達(dá)到對(duì)概念的進(jìn)一步應(yīng)用和鞏固.

作為一堂概念課,學(xué)生對(duì)于概念的理解必須精確、深入,為后續(xù)課程打下扎實(shí)的基礎(chǔ),因此教師必須在概念課教學(xué)這一環(huán)節(jié)進(jìn)行深入的分析.本節(jié)概念課設(shè)計(jì)利用變式教學(xué)的思想由特殊到一般,從具體到抽象,以“引導(dǎo)設(shè)問(wèn)”為主線,給學(xué)生搭建腳手架,在曲線的參數(shù)方程的概念引入之后,結(jié)合實(shí)例和圓的參數(shù)方程從參數(shù)方程的形式、參數(shù)的取值范圍、參數(shù)方程與普通方程的統(tǒng)一性、參數(shù)的作用以及參數(shù)的意義等方面進(jìn)行深入的理解與探討.通過(guò)概念的標(biāo)準(zhǔn)變式和非標(biāo)準(zhǔn)變式,反例變式等環(huán)節(jié),使學(xué)生活躍的思維逐步從感性上升到理性并且對(duì)于概念的理解得到鞏固與深化.通過(guò)教師步步引導(dǎo)讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生的原因,發(fā)展的過(guò)程及其應(yīng)用的價(jià)值.學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的思考和解答,體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程,自主探索和獲取知識(shí),同時(shí)在探索的過(guò)程中也提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力,體會(huì)到數(shù)學(xué)抽象形成的一般過(guò)程,從而提高數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).