廣東省韶關(guān)市仁化縣仁化中學(xué)(512300) 尹杰杰 劉雨昀

1 引言

極坐標(biāo)與參數(shù)方程在歷年全國卷中是選做題, 分值10分,屬于中檔題.設(shè)置兩小問,第一問5 分,一般為極直互化或參數(shù)方程與普通方程互化,屬于簡(jiǎn)單題.第二問5 分,一般考查以下幾種類型: 第一,極徑ρ的幾何意義與應(yīng)用.例如:2015年全國I卷、2015年全國Ⅱ卷、2016年全國Ⅱ卷、2017年全國Ⅲ卷;第二,參數(shù)的幾何意義與應(yīng)用.例如: 2018年全國Ⅱ卷、2018年全國Ⅲ卷;第三,直線與曲線的位置關(guān)系,利用點(diǎn)參法求最值.例如2016年全國Ⅲ卷、2017年全國I卷、2019年全國I卷;第四,利用極坐標(biāo)或者參數(shù)方程求曲線的軌跡方程.例如2017年全國Ⅱ卷、2019年全國Ⅱ卷; 第五,利用分類討論思想求解.例如: 2018年全國I卷、2019年全國Ⅲ卷.

下面筆者通過對(duì)2019年數(shù)學(xué)全國I卷第22 題“極坐標(biāo)與參數(shù)方程”進(jìn)行例題教學(xué)設(shè)計(jì)及例題改編與變式.

2 例題教學(xué)設(shè)計(jì)

例題(2019 全國I卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為

(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;

(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.

師: 這是一個(gè)什么問題? 第一問主要考查什么知識(shí)點(diǎn)?解題的基本程序是什么?

(極參問題是學(xué)生掌握較好的題型,原因是模型單一,學(xué)生熟悉,旨在引導(dǎo)學(xué)生將解題思路調(diào)控進(jìn)入自己熟悉的區(qū)域,也想進(jìn)一步鞏固極坐標(biāo)、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化的解題程序.)

生1: 這是一道極坐標(biāo)與參數(shù)方程的題目,第一問主要是考查坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化和消參.首先通過x的等式,求出x的范圍,然后通過代入消元法消去參數(shù)t,化簡(jiǎn)得到了缺了一個(gè)點(diǎn)的橢圓方程,然后利用公式對(duì)直線l的極坐標(biāo)方程,轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可.

生1 解法: (代入消元法)

對(duì)于曲線C, 由題意知?1＜x≤1,所以因?yàn)樗缘玫桨汛氲接谢?jiǎn)得易知l的直角坐標(biāo)方程為

師: 對(duì)于曲線C,除了代入消元法,還有其他方法嗎? 曲線C的結(jié)構(gòu)有什么特征? (旨在引導(dǎo)學(xué)生觀察式子特征,并聯(lián)想到平方公式.)

生2: 可以通過觀察法,看出x,y式子的特征,發(fā)現(xiàn)分母都是1+t2,而分子是1?t2,4t,一個(gè)二次,一個(gè)一次,我們有等式(1+t2)2?(1?t2)2=4t2,故而可以想到通過平方的形式構(gòu)造出與分母相關(guān)的完全平方式即可.

生2 解法: (平方消參法)

師: 此法是通過觀察式子特征,構(gòu)造平方,從而大大減少了計(jì)算量,但是此法對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)要求較高,大多數(shù)學(xué)生無法想到.那我們是否還有它法求解呢? (學(xué)生激烈討論中)

師: 通過生2 的觀察法,是否發(fā)現(xiàn)曲線C的參數(shù)方程和某一類公式很像? (小部分同學(xué)說出答案)

師: 再看看x的取值范圍,和哪個(gè)函數(shù)的取值范圍很像?

生3: 三角函數(shù),曲線C的參數(shù)方程結(jié)構(gòu)很像萬能公式.

師: 很好,是通過萬能公式進(jìn)行代換,請(qǐng)寫出你們的解答過程,生3 板演過程.

生3 解法: (萬能公式法)

因?yàn)?1＜x≤1,令代入可得化簡(jiǎn)得所以

評(píng)析本問題的三種解法各有特色.代入消元法,思路清晰,容易落筆,但過程繁雜,計(jì)算量大;平方消參法,過程簡(jiǎn)短,計(jì)算量小,但素養(yǎng)要求過高,學(xué)生思維定勢(shì),不易想到;萬能公式法,是此類題型的通法,但教學(xué)過程中,由于大綱要求不高,故而對(duì)此法講解較少,學(xué)生掌握不熟練,易出現(xiàn)計(jì)算失誤.

師: 下面進(jìn)行第二問,主要考查什么知識(shí)點(diǎn),我們應(yīng)該從哪里入手?

生4: 主要考查直線與曲線的位置關(guān)系,求曲線上的點(diǎn)到直線的距離最小值,利用點(diǎn)參法與點(diǎn)到直線的距離公式,然后通過輔助角公式,轉(zhuǎn)化正弦型函數(shù)求最值即可.

生4 解法: (點(diǎn)參法)

直線l的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為2ρcosθ+

得:

因?yàn)?π ＜θ ＜π,所以所以當(dāng)且僅當(dāng),此時(shí)θ=有

師: 生4 主要通過點(diǎn)到直線的距離公式,進(jìn)行求解.是否還有其他解法?

生5: 可通過設(shè)出與直線l平行且與曲線C相切的直線l1,然后聯(lián)立曲線C與l1,利用判別式求解即可.

生5 解法: (判別式法)

設(shè)與直線l平行的直線方程為故由題可知,當(dāng)且僅當(dāng)直線l1與曲線相切時(shí),切點(diǎn)到直線的距離是最大或者最小值.聯(lián)立方程化簡(jiǎn)可得4×4×(m2?4)= 0,得m=±4.顯然可知,當(dāng)m=?4時(shí), 直線l1與曲線相切的切點(diǎn)到直線l的距離最大, 故所以當(dāng)m=4 時(shí),直線l1與曲線相切的切點(diǎn)到直線l的距離最小,故

師: 本問是否還有其他解法呢?

師: 當(dāng)我們對(duì)曲線的參數(shù)方程無從下手時(shí),我們可以如何求解曲線上的點(diǎn)到直線的最小值呢? 我們是否可以不用化簡(jiǎn)的參數(shù)方程求解呢?

生6: 硬解.

師: 是的,很好! 本問題還有一個(gè)暴力解法,就是直接將曲線C上的點(diǎn)設(shè)為然后通過點(diǎn)到直線的距離公式,變?yōu)橐粋€(gè)關(guān)于參數(shù)t的式子,然后轉(zhuǎn)化為二次一次方程,利用判別式求出參數(shù)t的范圍,進(jìn)而求出最小值.

生6 解法: (暴力硬解法)

設(shè)曲線C上的點(diǎn)M的坐標(biāo)為則點(diǎn)M到直線的距離為

師: 通過以上解法,我們可以發(fā)現(xiàn),本題主要體現(xiàn)了哪幾個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)? (同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)以上方法.)

生: (齊答)數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象.

評(píng)析本問一個(gè)是幾何法,兩個(gè)是代數(shù)法.幾何法過程簡(jiǎn)潔,代數(shù)法,通法運(yùn)算量大,但思路清晰,尤其在學(xué)習(xí)了解析幾何后,部分學(xué)生更熱衷于通過聯(lián)立方程求解.

本題主要考查學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,和利用橢圓的參數(shù)方程解決“距離”問題,難點(diǎn)在于參數(shù)方程的消參,對(duì)于分式消參,大多數(shù)學(xué)生方法掌握不熟練和運(yùn)算能力不強(qiáng), 以致于對(duì)難度較小的第二問沒有作答,從而導(dǎo)致失分嚴(yán)重.

高考試題一般是來源于教材,又高于教材.大多是依據(jù)課本例題、課后習(xí)題、探究問題等進(jìn)行加工重組改編,由淺入深,循序漸進(jìn).本題中曲線C的參數(shù)方程就是人教B 版選修4-4 第二章第二節(jié)的課本里練習(xí)原題,這也透露出我們?cè)趥淇歼^程中,不能忽視教材中的重點(diǎn)例題、練習(xí)、探究問題的復(fù)習(xí)回顧.

為了讓學(xué)生更好的掌握本題知識(shí)點(diǎn),下面筆者對(duì)本題進(jìn)行了適當(dāng)改編.

改編1在其他條件不變的前提下,把第二問改為求直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)到曲線C 的最小值.

設(shè)計(jì)意圖: 原題求點(diǎn)距值最小值,改編之后,求取到點(diǎn)距最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo),這樣主要是讓學(xué)生更直觀清楚的知道點(diǎn)的具體位置,能更好的理解本題考查知識(shí)點(diǎn),檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)例題的掌握程度.

解: (點(diǎn)參法)

直線l的極坐標(biāo)方程為化為直角坐標(biāo)方程為將曲線C化成參數(shù)方程形式為:(θ為參數(shù),?π ＜θ ＜π),則曲線C上的點(diǎn)可以設(shè)為M(cosθ,2 sinθ),所以由點(diǎn)到直線的距離公式可得:

因?yàn)?π ＜θ ＜π,所以所以當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí)有

改編2在其他條件不變的前提下,直線l的極坐標(biāo)方程改為且C上的點(diǎn)到l的距離的最小值為求a.

設(shè)計(jì)意圖: 本題的改編與2017年全國理科I卷第22 題極為相似,通過逆向思維設(shè)問,引入?yún)?shù)a,考查分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想,可以很好的提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

解: (點(diǎn)參法)

直線l的極坐標(biāo)方程為化為直角坐標(biāo)方程為將曲線C化成參數(shù)方程形式為:(θ為參數(shù),?π ＜θ ＜π),則曲線C上的點(diǎn)可以設(shè)為M(cosθ,2 sinθ),所以由點(diǎn)到直線的距離公式可得:所以故當(dāng)a≥0 時(shí),有|?4+a|=7有, 解得a= 11, 或a=?3(舍去) .當(dāng)a ＜0 時(shí), 有|4+a|= 7 有, 解得a=?11, 或a= 3(舍去) .綜上可知,當(dāng)a=11,或a=?11 時(shí),C上的點(diǎn)到l距離的最小值為

下面再看三個(gè)與2019年全國1 卷相似度極高的變式練習(xí).

變式1(2017 江蘇)在平面坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參考方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值.

變式2(2017 全國I卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

(1)若a=?1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);

(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為√求a.

變式3(2016年全國III卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為

(I)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P在C1上,點(diǎn)Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).

評(píng)析通過歷年高考題,我們不難發(fā)現(xiàn)在高考題中極參題目考查的知識(shí)點(diǎn)與題型相識(shí)度極高,由于篇幅有限僅列出以上三道高考真題,所以研究歷年高考題是我們一線教師把握高考動(dòng)態(tài)方向最有效的方法.改編l 主要是讓學(xué)生更直觀清楚的知道點(diǎn)的具體位置, 能更好的理解本題考查知識(shí)點(diǎn),檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)例題的掌握程度.改編2 引入?yún)?shù)a,其目的是使學(xué)生掌握分類討論思想,引導(dǎo)學(xué)生巧用橢圓的參數(shù)方程解決“距離問題”.增強(qiáng)數(shù)學(xué)能力和探究意識(shí).提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).兩個(gè)改編,三個(gè)變式層層深入,這無疑是本節(jié)課的一個(gè)亮點(diǎn),給學(xué)生提供了良好的探究情境,促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí).通過以上改編和變式,我們可以啟發(fā)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì),掌握數(shù)學(xué)思想.因?yàn)樵趯W(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)木哂嗅槍?duì)性、符合本節(jié)課程要求的改編題目,并給給學(xué)生提供了探究和交流的機(jī)會(huì),讓學(xué)生在自主探究、合作交流的過程中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 總結(jié)與反思

本節(jié)課例題第一問主要是極參與直角系轉(zhuǎn)化問題,第二問主要是直線與橢圓的位置關(guān)系問題求距離.一方面考查了學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)與參數(shù)方程的基礎(chǔ)知識(shí)掌握程度,另一方面考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理素養(yǎng),培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)問題的探究意識(shí).例題的難點(diǎn)主要體現(xiàn)在消參與參數(shù)范圍的確定.所以本例題的教學(xué)設(shè)計(jì)思路也是根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),引導(dǎo)學(xué)生思考,循序漸進(jìn)、層層深入,強(qiáng)化學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)歸納知識(shí)的能力,增強(qiáng)探究問題的意識(shí),符合學(xué)生的思維發(fā)生發(fā)展過程.

在教學(xué)過程中,與學(xué)生交流互動(dòng),為學(xué)生創(chuàng)設(shè)輕松的學(xué)習(xí)環(huán)境,通過設(shè)問的形式,對(duì)數(shù)學(xué)的思想方法進(jìn)行了適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo),使得學(xué)生在解題的過程中,能發(fā)散思維,一題多解,幫助學(xué)生理解知識(shí)的橫向聯(lián)系、縱向發(fā)散.通過在多解中求簡(jiǎn)、在修正中優(yōu)化,能夠讓學(xué)生體驗(yàn)解決問題的思維過程,將能力的提高落到實(shí)處,可以很好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

本節(jié)課在引導(dǎo)學(xué)生思考時(shí),既從代數(shù)法,又從幾何法兩個(gè)方面著手,學(xué)生有章可循,這樣能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,拓展學(xué)生的思維,提高教學(xué)效率.同樣,本節(jié)課也存在以下幾點(diǎn)需要改進(jìn)的地方: 第一,課堂容量較大,難以關(guān)注到全體學(xué)生的習(xí)得情況;第二,引導(dǎo)較多,可采用互助學(xué)習(xí)小組合作討論的方式進(jìn)行部分?jǐn)?shù)學(xué)活動(dòng)等.縱觀整堂課,雖然存在個(gè)別不足之處,但是整體來說,亮點(diǎn)較多,同時(shí)能很好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),所以仍是一堂非常成功的課.