盧秋鑄吳 軍陳佰健楊 鑫

(1.長沙理工大學電氣與信息工程學院,湖南長沙 410114;2.中國測試技術研究院,四川成都 610021)

1 引言

對于船舶運動學模型的研究,國內(nèi)外已經(jīng)有長久的研究歷史,并取得了豐富的研究成果.現(xiàn)在廣泛使用的船舶模型大致可分為以Abkowitz方程為代表的“整體型”[1]和以機動建模組(maneuvering modeling group,MMG)方程為代表的“分離型”兩大類.建模需要精確的船舶自身物理參數(shù)以及作用于船舶的力學參數(shù),其中船體、螺旋槳和船舵等的受力相互耦合,因此MMG模型的建立難度比較大.

國內(nèi)對船舶MMG模型也有較多的研究[2],文獻[3]介紹了用MMG標準方法建立的船舶操縱模型,但是對于船舶這種復雜的被控對象,船舶推進系統(tǒng)的時變不確定度,幾何尺寸的不確定性以及力學參數(shù)的不確定度,使得物理模型的建立相當困難[4].辨識建模是使用辨識算法擬合試驗數(shù)據(jù),并兼顧模型泛化能力的建模方法[5].將船舶視為一個“黑箱”系統(tǒng),進行合理的船舶操舵實驗,得到輸入輸出數(shù)據(jù),并以數(shù)據(jù)驅動辨識得到船舶操縱模型.

近年來國內(nèi)在船舶的連續(xù)模型辨識建模方面也有很多研究成果,文獻[6]提供了一種使用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡辨識建模的方法,實現(xiàn)在復雜水動力導數(shù)和強烈不確定性下的動力學建模,但是訓練中的仿真數(shù)據(jù)可能與船舶實際物理特性不符.文獻[7]應用最小二乘支持向量回歸機辨識船舶操縱運動模型參數(shù),以Z形實驗數(shù)據(jù)進行參數(shù)識別與檢驗.但是核函數(shù)的選取依靠人為經(jīng)驗,且?guī)в幸欢ǖ碾S意性.

在船舶的離散模型建模研究方面,Ohtsu等人[8-9]將統(tǒng)計建模法應用于“汐路丸”船舶建模,嘗試用線性自回歸歷遍(auto-regresive eXogenous,ARX)模型來描述船舶的艏搖角和舵角間的動態(tài)特性,并基于極大似然估計辨識模型參數(shù),采用赤池信息準則(Akaike information criterion,AIC)確定模型階次.在后續(xù)的研究中,Peng和Wu等人[10-11]在原有的ARX模型結構中入了偏移項,并采用徑向基(radial basis function,RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡辨識仿射結構ARX模型的函數(shù)型系數(shù),得到了全局時變非線性、局部線性的RBF-ARX 模型,來描述“汐路丸”艏搖角和舵角之間的動態(tài)關系.

但是RBF-ARX模型本身結構復雜,參數(shù)較多,辨識過程比較難懂[12].近年來對ARX模型有了更深入的研究,在文獻[13]中表示高階ARX模型可以近似表達一般普遍的線性系統(tǒng),并且在此基礎上說明了在系統(tǒng)具有不穩(wěn)定極點時,高階ARX模型仍然適合對該系統(tǒng)進行一貫地建模.

Ohtsu和Peng的研究目的是設計基于模型的最優(yōu)控制策略,僅用一步預測誤差和控制的有效性來檢驗模型性能,沒有考慮模型的長期預測性能,也沒有與MMG模型進行對比.另外,直接以船舶舵角和艏搖角偏差為輸入輸出構建的ARX結構的模型,只考慮到輸入輸出簡單的時間序列關系,而忽略了輸出的變化率因素造成的影響,這使得長期預測誤差不斷累積,所建立模型有一定局限性.

因此,本文提出先以舵角和艏搖角偏差變化率為輸入輸出數(shù)據(jù)建立一個過渡模型,再利用艏搖角偏差與其變化率之間的差分關系,將模型參數(shù)還原為舵角和艏搖角偏差之間的映射關系.通過MATLAB仿真分析可以看出,本文間接建立的船舶ARX模型的預測效果優(yōu)于直接建立的ARX模型,能夠更好的體現(xiàn)船舶的運動特性,長期預測效果與廣泛使用的MMG模型相當.

2 船舶直接ARX辨識模型

2.1 ARX模型

ARX是時序分析法中具有代表性的方法,其中ARX模型可以用于“黑箱”模型的建模,可適用于線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)模型辨識.該模型在自回歸(auto-regressive,AR)模型基礎上,將控制因素引入系統(tǒng)作為外生變量(eXogenous),用于描述系統(tǒng)輸入輸出之間的映射關系,廣泛應用于系統(tǒng)的建模與控制器設計和仿真.單變量仿射ARX模型一般可表示為

式中:un為輸入量;yn為輸出量;ξn為建模誤差;ak(k=1,2,···,na),bk(k=1,2,···,nb)為自回歸系數(shù);na,nb為模型階次;a0是偏移項.

直接建模的方法是將船舶艏搖角偏差作為輸出,舵角為輸入,建立單輸入單輸出的辨識模型:

式中:ψ(k)是艏搖角偏差;δ(k)是舵角;ξk是白噪聲信號;na,nb+nk?1為模型階次;nk是系統(tǒng)延遲;a0是偏移量常數(shù);ai和bj是ARX模型線性參數(shù).

選擇合適的真實航行數(shù)據(jù)對于建模也至關重要,建模數(shù)據(jù)直接影響數(shù)據(jù)驅動模型的預測精確度,研究所采用的舵角和航向角偏差數(shù)據(jù)由日本東京海洋大學的大津皓平教授提供,實驗對象是東京海洋大學的訓練船舶“汐路丸”,其主要參數(shù)如表1所示.

表1 汐路丸主要參數(shù)Table 1 Main parameters of the ship“Shioji-Maru”

建模數(shù)據(jù)共有4組,采樣周期均為1 s,如圖1所示為其中之一,這4組建模數(shù)據(jù)從特定的開環(huán)激勵實驗數(shù)據(jù)中挑選而得,具有一定的代表性,以滿足建模的需要,其舵角都在大范圍內(nèi)劇烈變化,盡可能地包含了“汐路丸”的各種動態(tài)性能.

圖1 “汐路丸”號真實航行數(shù)據(jù)Fig.1 “Shioji-Maru”actual sampling data

2.2 模型參數(shù)的辨識

根據(jù)式(2),可以將建模模型表示為

式中:Ψ為n×1維向量,表示n個采樣時刻下的艏搖角偏差;X為n×(na+nb+nk)維矩陣;Θ為待求的模型參數(shù);ξ為白噪聲建模誤差.

參數(shù)辯識的方法很多,如最小二乘法、極大似然法、貝葉斯法等.其中最小二乘參數(shù)辨識法是目前辨識方法中最普遍的一種,且很多辨識方法是基于最小二乘法的.最小二乘法的思想是找到使得辨識模型輸出和真實輸出之間誤差平方和最小的一組模型參數(shù).現(xiàn)定義損失函數(shù)為

根據(jù)最小二乘法的思想,得到使得J(Θ)最小時的Θ即為所求模型參數(shù),因此就該損失函數(shù)對Θ求導取0得

整理后即可得到XTΨ=XTXΘ,那么在XTX為非奇異矩陣時,存在(XTX)?1,可得模型參數(shù)

該方法簡潔高效,但是依賴于XTX的可逆性,若XTX不可逆則需要對建模數(shù)據(jù)進行整理,去除掉冗余特征,使得|XT0再繼續(xù)使用最小二乘法.

2.3 模型階次的選擇

建模過程中增加模型階次可以提高模型精度,但是模型復雜度會增大,并易于導致過擬合問題.為此,采用信息準則作為確定模型階數(shù)的依據(jù).信息準則通過加入模型復雜度的懲罰項來避免模型過擬合問題,最常用信息準則為AIC準則,AIC準則即赤池信息量準則,赤池建議即當欲從一組可供選擇的模型中選擇1個最佳模型時,AIC值為最小的模型是最佳的[14].AIC計算公式為

式中:V是損失函數(shù);N是估計數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)個數(shù),即用于建模的數(shù)據(jù)個數(shù);?k=ψk?為模型預測誤差,該處表示艏搖角偏差的預測誤差;θn是模型參數(shù);np是模型參數(shù)個數(shù);ny是模型輸出個數(shù).

在船舶的建模中一般所選擇的階次不會太高,故將na,nb的上限定為20,nk為5.從1～20和1～5進行遍歷建模,在不同的階次下,分別求出辨識模型的AIC值,最終選擇其值最小下的一組na,nb和nk作為船舶最優(yōu)的模型階次.現(xiàn)以建模數(shù)據(jù)1為例,在nk選擇1的情況下,得到模型階次na,nb在1～20遍歷下的AIC三維圖,如圖2所示.

圖2 直接模型AIC三維圖Fig.2 AIC value of the direct model

得到的模型階次為na=15,nb=4,并將此模型編號為模型1.對模型1進行殘差分析可得圖3,由圖可知模型殘差很小并且服從正態(tài)分布.

圖3 直接模型1殘差分布Fig.3 Direct Model 1 residual distribution

用同樣的方法將另外3 組數(shù)據(jù)建模可以得到模型2、模型3以及模型4,模型殘差均服從正態(tài)分布.

3 船舶間接ARX辨識模型

間接ARX辨識建模的方法是在原方法上的一種改進,采用的輸出數(shù)據(jù)為船舶艏搖角偏差變化率?ψ,輸入數(shù)據(jù)仍然是舵角,建立單輸入單輸出的ARX模型:

圖4 間接模型AIC圖Fig.4 AIC value of the indirect model

同樣將該模型記為模型1,由圖5得該模型建模殘差服從正態(tài)分布.對其它3組航行數(shù)據(jù)用相同的方式進行建模,分別得模型2、模型3以及模型4,模型殘差同樣為正態(tài)分布.序號順序和其對應的建模數(shù)據(jù)與直接建模下的保持一致.

圖5 間接模型1殘差分布Fig.5 Indirect Model 1 residual distribution

4 模型的檢驗

4.1 模型AIC值

單純觀察兩種建模方式的AIC值,直接建模和間接建模相差僅在0.01左右,幾乎無差,見表2.況且衡量模型好壞的標準不能僅僅比較AIC值大小,還需要綜合更多其它的因素,那么作為預測模型的ARX模型,一步預測和長期預測精度就非常重要.

表2 AIC值Table 2 AIC value

4.2 ARX模型的檢驗

船舶航行實驗中還記錄了5組數(shù)據(jù)用于模型的檢測,測試模型的預測性能,如圖6-10所示.

圖6 測試數(shù)據(jù)1Fig.6 Test data 1

圖7 測試數(shù)據(jù)2Fig.7 Test data 2

圖8 測試數(shù)據(jù)3Fig.8 Test data 3

圖9 測試數(shù)據(jù)4Fig.9 Test data 4

這5組測試數(shù)據(jù)基本涵蓋了輸出量的所有變化方式,包括航向大范圍內(nèi)隨機連續(xù)變化(測試數(shù)據(jù)1,2)、航向突變(測試數(shù)據(jù)3,4)、航向保持(測試數(shù)據(jù)5).

用該5組測試數(shù)據(jù)依次測試各直接建模和間接建模方法下的4種模型,檢測模型在各種復雜情況下的預測效果.表3-4展示了兩種建模方法下一步預測輸出均方根值和誤差最大值.表3-4反映出通過間接建模得到的模型一步預測效果與直接建模基本相同,僅略好于直接建模.兩者均方根值和最大誤差相差基本在±0.1范圍內(nèi),預測精度較高,但是偏差依舊存在.僅憑一步預測情況還不足以說明兩者的區(qū)別,還需要分析長期預測結果.

圖10 測試數(shù)據(jù)5Fig.10 Test data 5

表3 一步預測直接建模/間接建模模型均方根值Table 3 RMS of the one-step prediction error for the direct modeling/indirect modeling models

表4 一步預測直接建模/間接建模模型誤差最大值Table 4 The maximum of the one-step prediction error for the direct modeling/indirect modeling models

圖11-14展示了兩種建模方法的4個模型分別在第2組檢測數(shù)據(jù)下的長期預測結果以及預測誤差.從后3個模型比較來看,在前150步,兩種建模方法預測精度差距不大,但是兩者與實際輸出的誤差依舊存在,并且隨著時間的推移,這個誤差越來越大.從150步后,兩者的預測精度逐漸拉開差距,顯然間接建模模型的預測效果要好得多.從發(fā)展趨勢來看,間接模型的誤差變化也平緩得多,到300步時,最大誤差都在±40到±50之間.

圖11 模型1在檢測數(shù)據(jù)2下的長期預測Fig.11 Long-term prediction of Model 1 under test data 2

圖12 模型2在檢測數(shù)據(jù)2下的長期預測Fig.12 Long-term prediction of Model 2 under test data 2

但是第1個模型的直接建模要優(yōu)于間接建模,通過表5-6的所有數(shù)據(jù)對比可以發(fā)現(xiàn),直接建模對建模數(shù)據(jù)的依賴性比較大,而間接建?？梢钥紤]到航向角偏差變化率,豐富了建模數(shù)據(jù)內(nèi)容,因此4個模型在5組檢測數(shù)據(jù)下的長期預測誤差波動較小,在30～60區(qū)間內(nèi),對數(shù)據(jù)的依賴性較弱.相反,直接建模的長期預測誤差在20～550區(qū)間內(nèi),波動幅度大,建模數(shù)據(jù)的好壞對基于數(shù)據(jù)驅動的船舶ARX模型有著重要的影響.

圖13 模型3在檢測數(shù)據(jù)2下的長期預測Fig.13 Long-term prediction of Model 3 under test data 2

圖14 模型4在檢測數(shù)據(jù)2下的長期預測Fig.14 Long-term prediction of Model 4 under test data 2

綜上所述,用于描述船舶航向控制的ARX模型需要大量的實際航行數(shù)據(jù)支持,但在實驗場所有限和環(huán)境干擾的影響下,建模數(shù)據(jù)的測量可能是不完美的,并且數(shù)據(jù)的好壞還沒有一個標準可以衡量,此時,間接建模便為該情況下提供了一個很好的方法.

表5 長期預測直接建模/間接建模模型均方根值Table 5 RMS of the long-term prediction error for the direct modeling/indirect modeling models

表6 長期預測直接建模/間接建模模型誤差最大值Table 6 The maximum of the long-term prediction error for the direct modeling/indirect modeling models

4.3 最優(yōu)模型選取

建模方法的改進是為了找到可以描述船舶動態(tài)性能更加準確的模型.對于間接建模模型,由一步預測數(shù)據(jù)可得,模型3、模型4的均方根值相對較小,其中均值最小的為模型3;在5組檢測數(shù)據(jù)下模型3和模型4的最大誤差在1.2～1.3之間,而模型1和模型2的均大于1.5.由長期預測數(shù)據(jù)來看,模型1、模型2和模型3優(yōu)于模型4,并且模型3均方根值最小;長期預測最大誤差只有模型4較大,均值在50以上,最優(yōu)為模型3.

綜上所述,間接模型3最優(yōu),同時說明一步預測效果好的不一定長期預測也好,選擇模型的過程中要綜合考慮一步預測和長期預測結果,沒有絕對性的標準.

由圖15可以看出,間接模型3有9個極點,并且有一個極點在單位圓上,說明模型處于臨界穩(wěn)定狀態(tài),符合船舶模型的穩(wěn)定性特性.

圖15 間接模型3極點分布Fig.15 Pole distribution of the indirect Model 3

5 船舶對象的MMG模型

由于模型的選擇很難有一個硬性的標準,探索更好的模型要不斷比對更多不同的方法.通過物理建模得到的MMG模型同樣可以描述船舶運動狀態(tài),并且已經(jīng)沿用很多年.接下來將間接ARX辨識模型與之對比,找到一種可以在實驗設備無法滿足物理建模情況下的建模方法.

船舶運動的MMG模型建立要首先分析船舶流體動力及力矩的構成,分為作用于船體上的流體動力和力矩、螺旋槳上的流體動力和力矩以及作用于舵上的流體動力和力矩[15],其次要考慮船舶基本物理參數(shù),例如船體質(zhì)量、轉動慣量和船速等,最后要設計實驗,測試建模所需物理參數(shù).

將船舶按照橫向、縱向沿x軸,y軸進行解析,船舶數(shù)學模型寫成[16-18]

式中下標H,P,R分別表示船體、螺旋槳、方向舵.

作用于船體上的流體動力和力矩可表示為

徑向螺旋槳推動力與其縱傾角的關系為

式中:XP為徑向螺旋槳推力;C1-C9為推力系數(shù);JP為推進系數(shù);θP為螺旋槳縱傾角.

有效舵力與舵角的關系為

式中:δ為舵角;FN為舵法向力;XR,YR,NR為作用于船體的有效舵力;tR,αH,xH為船體與螺旋槳之間的水動力干擾系數(shù);xR為舵位;AR為舵面積,fα為舵法向力系數(shù);UR為舵的有效來流速度.

式(12)-(15)中其余物理參數(shù)如表7所示.

表7 物理參數(shù)Table 7 Physical parameter

利用特定實驗測得“汐路丸”各種物理參數(shù),得到其MMG模型,在同樣5組檢測數(shù)據(jù)下做MMG模型的長期預測,并將MMG長期預測結果與間接模型3的輸出做出對比.

由圖16-20可得在檢測數(shù)據(jù)1下,MMG模型的長期預測效果稍優(yōu);在檢測數(shù)據(jù)2和檢測數(shù)據(jù)5下,間接ARX模型與MMG模型效果不相上下;在檢測數(shù)據(jù)3和檢測數(shù)據(jù)4下,間接ARX模型要優(yōu)于MMG模型.由此說明,對于船舶這種復雜系統(tǒng)的建模,間接ARX模型和MMG模型長期預測效果相當,間接ARX模型可以作為一種替代方案應用于船舶航向預測的模型建模當中.

同時,MMG模型的建立要比辨識建模的方法復雜很多,必須要從船舶自身的機理出發(fā),設計各種特定的水面實驗,測定建模相關物理參數(shù).例如要確定船舶附加質(zhì)量和附加慣性矩現(xiàn)在還不能通過精確的計算而得,須通過設計振蕩實驗或沖擊實驗[15]而獲得.

圖16 在檢測數(shù)據(jù)1下的間接ARX模型和MMG模型長期預測對比Fig.16 Long-term prediction comparisons between indirect ARX model and MMG model under test data 1

圖17 在檢測數(shù)據(jù)2下的間接ARX模型和MMG模型長期預測對比Fig.17 Long-term prediction comparisons between indirect ARX model and MMG model under test data 2

圖18 在檢測數(shù)據(jù)3下的間接ARX模型和MMG模型長期預測對比Fig.18 Long-term prediction comparisons between indirect ARX model and MMG model under test data 3

如表7所示,需要測定的物理參數(shù)至少有15個,在實驗設備缺少、環(huán)境有限的情況下MMG建模有著極大的不便.而相較于MMG模型,間接ARX模型更為簡單,并且對船舶艏搖角偏差的預測比直接ARX模型更好,這使得該建模策略具有一定的優(yōu)越性和實際應用價值.

圖19 在檢測數(shù)據(jù)4下的間接ARX模型和MMG模型長期預測對比Fig.19 Long-term prediction comparisons between indirect ARX model and MMG model under test data 4

圖20 在檢測數(shù)據(jù)5下的間接ARX模型和MMG模型長期預測對比Fig.20 Long-term prediction comparisons between indirect ARX model and MMG model under test data 5

6 總結

針對東京海洋大學實驗船舶“汐路丸”,利用系統(tǒng)辨識法建立了一個具有仿射結構的ARX模型來描述船舶的航向保持控制過程.綜合考量AIC值、一步預測和長期預測精度等性能指標,得到相對最優(yōu)的ARX模型,并于MMG模型進行了對比.

結果表明通過間接建模方式建立的ARX模型不止包含航向角偏差信息,還包含了航向角偏差變化率的動態(tài)特性,使得建立的模型對數(shù)據(jù)的解析更加完整,進而說明間接建模對建模數(shù)據(jù)的依賴性較低,在不同的建模數(shù)據(jù)下均能得到良好的建模效果.而直接建模的方法只有在建模數(shù)據(jù)好的情況下才能表現(xiàn)出令人滿意的建模效果,否則長期預測結果將出現(xiàn)很大的誤差.

同時,間接ARX建模方法相對容易,當建立MMG模型遇到困難時,便可以采用間接ARX建模法建模.