王軍曉,陳林杰,俞 立

(浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院,浙江杭州 310023)

1 引言

磁懸浮是一種通過(guò)非接觸模式懸掛物體的技術(shù),該技術(shù)消除了系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)部件和靜止部件之間的機(jī)械接觸,因此它具有無(wú)摩擦、無(wú)磨損、無(wú)噪音等優(yōu)點(diǎn)[1].目前,磁懸浮技術(shù)在工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用,如高速磁懸浮列車(chē)、磁懸浮軸承、磁懸浮儲(chǔ)能飛輪、磁懸浮直線電動(dòng)機(jī)[2-5].然而,磁懸浮系統(tǒng)是一個(gè)典型的強(qiáng)非線性,開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng),且易受外部干擾的影響,這使得磁懸浮系統(tǒng)的高性能控制成為一個(gè)挑戰(zhàn).為此,學(xué)者們?cè)诖艖腋∠到y(tǒng)的控制策略上做了大量的探索和研究,如比例-積分-微分(proportion integral differential,PID)控制[6]、自抗擾控制[7]、滑?？刂芠8]等,這些方法在不同方面提高了磁懸浮系統(tǒng)的控制性能.

模型預(yù)測(cè)控制(model predictive control,MPC)不僅可以通過(guò)滾動(dòng)優(yōu)化獲得令人滿意的控制性能,而且還具有顯示處理約束的能力[9-11],使其成為繼PID控制之后在控制工程中獲得廣泛應(yīng)用和認(rèn)可的先進(jìn)控制技術(shù)之一[12].目前,模型預(yù)測(cè)控制已成功應(yīng)用于汽車(chē)[13]、地鐵[14]、電機(jī)[15]等領(lǐng)域.但是,系統(tǒng)模型不確定性和外部干擾總是給閉環(huán)控制性能產(chǎn)生不良影響,而包括模型預(yù)測(cè)控制在內(nèi)的許多先進(jìn)控制算法仍是通過(guò)經(jīng)典的反饋控制設(shè)計(jì)來(lái)抑制擾動(dòng)的影響,這就導(dǎo)致了閉環(huán)系統(tǒng)不得不在犧牲其它控制性能的前提下提高抗擾動(dòng)性能[16-17].積分模型預(yù)測(cè)控制(integral model predictive control,IMPC)[18]常被用來(lái)抑制干擾和模型不確定性,該方法通過(guò)將狀態(tài)方程改寫(xiě)為增量形式引入積分作用,因此能夠較好地抑制常值擾動(dòng).然而,當(dāng)系統(tǒng)受到時(shí)變擾動(dòng)的影響時(shí),穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差通常是不可避免的.除此之外,利用積分作用來(lái)抑制擾動(dòng)的做法將付出犧牲閉環(huán)系統(tǒng)其它控制性能的代價(jià),如跟蹤性能和魯棒性等[16].作為一種實(shí)用的替代方法,基于擾動(dòng)觀測(cè)器的控制(control of disturbance observer,DOBC)方法能夠有效地補(bǔ)償外部干擾和模型不確定性對(duì)控制系統(tǒng)的影響[19].受此啟發(fā),結(jié)合模型預(yù)測(cè)控制(MPC)和擾動(dòng)觀測(cè)器(disturbance observer,DOB)的控制結(jié)構(gòu)能夠在不犧牲標(biāo)稱(chēng)性能的前提下抑制擾動(dòng).文獻(xiàn)[20]中結(jié)合MPC和擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer,ESO),提高了液壓系統(tǒng)對(duì)模型不確定性和干擾的魯棒性,文獻(xiàn)[21]中針對(duì)非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種基于非線性干擾觀測(cè)器(nonlinear disturbance observer,NDOB)的非線性模型預(yù)測(cè)控制(nonlinear model predictive control,NMPC)方法,文獻(xiàn)[22]中提出的基于離散時(shí)間降階廣義比例積分觀測(cè)器(discrete time reduced order generalized proportional integral observer,RGPIO)的電機(jī)預(yù)測(cè)調(diào)速算法,更符合實(shí)際應(yīng)用.

相較于擾動(dòng)觀測(cè)器,等價(jià)輸入干擾(equivalent input disturbance,EID)方法不需要系統(tǒng)的逆模型,因此避免了不穩(wěn)定極點(diǎn)和零點(diǎn)之間的對(duì)消,而且還不要求掌握外部干擾的信息[23].該方法已被成功應(yīng)用到線性系統(tǒng)[24-25]、時(shí)延系統(tǒng)[26-27]和非線性系統(tǒng)[28]中.相比傳統(tǒng)EID結(jié)構(gòu)中的龍伯格觀測(cè)器,滑模觀測(cè)器(sliding mode observer,SMO)不僅將系統(tǒng)和觀測(cè)器輸出之間的誤差線性反饋,而且還能夠根據(jù)觀測(cè)誤差產(chǎn)生滑模運(yùn)動(dòng),從而實(shí)現(xiàn)對(duì)狀態(tài)變量快速、精確地估計(jì)[29].

本文針對(duì)不確定性和外部干擾引起的磁懸浮球系統(tǒng)控制性能下降的問(wèn)題,提出了一種基于等價(jià)輸入干擾滑模觀測(cè)器的模型預(yù)測(cè)控制(MPC+EIDSMO)方法.該方法首先將系統(tǒng)不確定性和外部干擾轉(zhuǎn)化為一個(gè)施加在控制輸入端的等價(jià)輸入干擾,然后采用等價(jià)輸入干擾滑模觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量及等價(jià)輸入干擾進(jìn)行估計(jì).最后基于狀態(tài)估計(jì)值設(shè)計(jì)模型預(yù)測(cè)控制器,并將等價(jià)輸入干擾估計(jì)值以前饋的方式補(bǔ)償后得到最終的復(fù)合控制律.仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,相較于基于EID觀測(cè)器的模型預(yù)測(cè)控制方法和基于龍伯格觀測(cè)器的積分模型預(yù)測(cè)控制方法,所提方法提高了磁懸浮球系統(tǒng)的跟蹤性能并且有效抑制了系統(tǒng)不確定性和外部干擾.

2 磁懸浮球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

本文所采用的磁懸浮球控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示,該系統(tǒng)主要由電磁線圈、功率放大器、控制器、激光位置傳感器、鋼球和上位機(jī)組成.作為一種研究磁懸浮技術(shù)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái),其基本原理是通過(guò)調(diào)節(jié)電磁線圈中的電流來(lái)改變電磁力,以使鋼球穩(wěn)定在固定位置或驅(qū)動(dòng)鋼球跟蹤上參考位置軌跡.需要注意的是,該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為單自由度磁懸浮系統(tǒng),即鋼球只能夠在垂直方向上運(yùn)動(dòng),而不會(huì)受到其它方向上的力的作用.

根據(jù)文獻(xiàn)[7],磁懸浮球系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型可以表示為

其中:m為鋼球質(zhì)量,g為重力加速度,h為電磁鐵表面與鋼球之間的間隙,i為通過(guò)電磁線圈的瞬時(shí)電流,F(i,h)為電磁力,u(t)為施加到電磁線圈上的控制電壓,R為電磁線圈的等效電阻,LR為電磁線圈的自感,KR為電磁線圈的互感,μ0為真空磁導(dǎo)率,S為電磁鐵磁導(dǎo)截面積,N為線圈匝數(shù).

由式(1)可知,F(i,h)與i,h之間是非線性的關(guān)系.為了便于下文中控制器的設(shè)計(jì),對(duì)電磁力F(i,h)在平衡點(diǎn)(i0,h0)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)如下:

其中:

O(i,h)是F(i,h)泰勒展開(kāi)式的高階項(xiàng),且F(i0,h0)=mg.

圖1 磁懸浮球控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of the magnetic levitation ball control system

把式(2)代入式(1)中的第1個(gè)等式可得

令電壓信號(hào)為系統(tǒng)的輸入,并且考慮磁懸浮球系統(tǒng)受到外部干擾ω(t)的影響,那么

y為測(cè)量輸出,d(t)=d?(t)+(a?a0)x1+(b?b0)u為總擾動(dòng),包括了未建模動(dòng)態(tài),參數(shù)不確定性和外部干擾,a0和b0分別表示a和b的標(biāo)稱(chēng)值.因?yàn)閎00,易知磁懸浮球系統(tǒng)是可控和可觀測(cè)的,且在虛軸上無(wú)零點(diǎn).

此外,給定位置參考信號(hào)表示為yc(t),位置跟蹤誤差定義為e(t)=y(t)?yc(t).下一節(jié)將要設(shè)計(jì)控制器,使誤差狀態(tài)在系統(tǒng)不確定性和外部干擾存在的情況下漸進(jìn)收斂到零,即隨著t →∞,e(t)→0.

3 控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)中提出了一種基于等價(jià)輸入干擾滑模觀測(cè)器的模型預(yù)測(cè)控制(MPC+EIDSMO)方法(圖2).

圖2 基于等價(jià)輸入干擾滑模觀測(cè)器的模型預(yù)測(cè)控制框圖Fig.2 Block diagram of EIDSMO-based MPC

該方法首先將系統(tǒng)不確定性和外部干擾轉(zhuǎn)化為一個(gè)施加在控制輸入端的等價(jià)輸入干擾,然后采用等價(jià)輸入干擾滑模觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量及等價(jià)輸入干擾進(jìn)行估計(jì).最后基于狀態(tài)估計(jì)值設(shè)計(jì)模型預(yù)測(cè)控制器,并將等價(jià)輸入干擾估計(jì)值以前饋的方式補(bǔ)償后得到最終的復(fù)合控制律.

3.1 等價(jià)輸入干擾滑模觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

根據(jù)文獻(xiàn)[24]對(duì)EID的定義,將原系統(tǒng)受到的總擾動(dòng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)施加在控制輸入通道上的等價(jià)輸入干擾de(t),則原系統(tǒng)(5)對(duì)應(yīng)的EID系統(tǒng)可以描述為

由于引入了EID,系統(tǒng)的狀態(tài)變量發(fā)生了改變,因此需要采用等價(jià)輸入干擾滑模觀測(cè)器對(duì)EID系統(tǒng)其狀態(tài)變量及等價(jià)輸入干擾予以觀測(cè)估計(jì).選擇系統(tǒng)輸出和觀測(cè)器輸出之間的觀測(cè)誤差的反正切函數(shù)作為滑模控制律,以有效地抑制抖動(dòng),同時(shí)還能夠產(chǎn)生連續(xù)的觀測(cè)器輸入.對(duì)于EID系統(tǒng)(6)設(shè)計(jì)滑模觀測(cè)器[30]

3.2 連續(xù)時(shí)間模型預(yù)測(cè)控制

3.3 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

全局一致畢竟有界的概念[33]和引理1[30]將被用于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析.

引理1如果是赫爾維茨穩(wěn)定的,那么閉環(huán)系統(tǒng)系統(tǒng)是全局一致畢竟有界的.即

4 仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

采用MATLAB/Simulink對(duì)磁懸浮球系統(tǒng)和所提控制方法進(jìn)行數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,其中磁懸浮球系統(tǒng)各參數(shù)如表1所示.

表1 磁懸浮球系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Parameters of the magnetic levitation ball system

由表1中的參數(shù)標(biāo)稱(chēng)值可以計(jì)算出系統(tǒng)模型(5)中的a0=61,b0=?0.3,為了模擬系統(tǒng)受到參數(shù)不確定性的影響,仿真和實(shí)驗(yàn)中選取a0=58,b0=?0.28.為了更好的驗(yàn)證本文所提出的MPC+EIDSMO方法的跟蹤性能和抗擾動(dòng)性能,將其與基于傳統(tǒng)EID觀測(cè)器的模型預(yù)測(cè)控制(MPC+EIDO)方法以及基于龍伯格狀態(tài)觀測(cè)器的積分模型預(yù)測(cè)控制(IMPC+LO)[18]方法進(jìn)行比較.最后,仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果將采用時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則(integral of time multiplied by the absolute value of error,ITAE)和均方根誤差(root mean square error,RMSE)[8]兩項(xiàng)指標(biāo)來(lái)定量分析.仿真和實(shí)驗(yàn)采樣周期均為0.001 s.

其中:yc為給定位置信號(hào),y為系統(tǒng)輸出.

4.1 數(shù)值仿真

MPC+EIDSMO方法參數(shù):預(yù)測(cè)時(shí)域Tp=0.04 s,觀測(cè)器增益L=[1200 9000]T,滑模增益Ks=60,取擾動(dòng)的最高頻率ωr=0.5π,則低通濾波器參數(shù)選為AF=?10,BF=10,CF=1.MPC+EIDO方 法參數(shù):Tp=0.04 s,觀測(cè)器增益L=[1200 9000]T,低通濾波器參數(shù)選為AF=?10,BF=10,CF=1.IMPC+LO方法參數(shù):預(yù)測(cè)步長(zhǎng)Np=30,控制步長(zhǎng)Nc=2,觀測(cè)器增益L=[1200 9000]T.

正弦跟蹤和方波跟蹤仿真結(jié)果分別如圖3-4所示.其中“Set Position”表示參考位置.表2為3種方法的跟蹤性能定量分析結(jié)果,可以看到在仿真時(shí)將參數(shù)調(diào)到各自最佳的情況下,3種方法都能實(shí)現(xiàn)對(duì)給定軌跡的跟蹤.值得注意的是,在跟蹤方波信號(hào)時(shí),由于在一些特定時(shí)刻跟蹤信號(hào)的突變,導(dǎo)致了對(duì)應(yīng)時(shí)刻控制輸入的變化較大.進(jìn)一步驗(yàn)證抗擾動(dòng)性能,分別在平衡位置時(shí)加入幅值為1 V,周期為4 s的正弦波擾動(dòng)和幅值為1 V,周期為2 s的鋸齒波擾動(dòng),仿真結(jié)果如圖5-6所示,表3為3種方法的抗擾動(dòng)性能定量分析結(jié)果,相較之下,MPC+EIDSMO方法具有更好的抗擾動(dòng)性能.

圖3 3種控制器作用下的正弦跟蹤響應(yīng)曲線(仿真)Fig.3 Response curves of sine wave tracking under three controllers(simulation)

圖4 3種控制器作用下的方波跟蹤響應(yīng)曲線(仿真)Fig.4 Response curves of square wave tracking under three controllers(simulation)

表2 位置跟蹤的性能指標(biāo)比較(仿真)Table 2 Comparison of performance indexes for position tracking(simulation)

圖5 3種控制器作用下的正弦擾動(dòng)響應(yīng)曲線(仿真)Fig.5 Response curves of sine wave disturbance under three controllers(simulation)

圖6 3種控制器作用下的鋸齒波擾動(dòng)響應(yīng)曲線(仿真)Fig.6 Response curves of sawtooth wave disturbance under three controllers(simulation)

表3 擾動(dòng)抑制的性能指標(biāo)比較(仿真)Table 3 Comparison of performance indexes for disturbance suppression(simulation)

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

磁懸浮球系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖7所示.其中硬件控制器由Raspberry Pi和STM32組成,主要用于收集傳感器數(shù)據(jù)和計(jì)算控制信號(hào),激光位置傳感器用于采集位置信息,勵(lì)磁線圈用于產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)小球在垂直方向上運(yùn)動(dòng)的力.實(shí)驗(yàn)中的控制算法由MATLAB/Simulink軟件實(shí)現(xiàn).

圖7 磁懸浮球系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.7 Experimental platform of the magnetic levitation ball system

MPC+EIDSMO方法參數(shù):預(yù)測(cè)時(shí)域Tp=0.1 s,觀測(cè)器增益L=[1200 10000]T,滑模增益Ks=40,取擾動(dòng)的最高頻率ωr=0.5π,則低通濾波器e參數(shù)選為AF=?10,BF=10,CF=1.MPC+EIDO方法參數(shù):Tp=0.1 s,觀測(cè)器增益L=[1200 10000]T,低通濾波器參數(shù)選為AF=?10,BF=10,CF=1.IMPC+OB方法參數(shù):預(yù)測(cè)步長(zhǎng)Np=15,控制步長(zhǎng)Nc=2,觀測(cè)器增益L=[1200 10000]T.

正弦跟蹤和方波跟蹤實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別如圖8-9所示,表4為3種方法的跟蹤性能定量分析結(jié)果,可以看出MPC+EIDSMO方法較其它兩種方法具有更快的收斂速度和更小的超調(diào)量,且ITAE和RMSE兩項(xiàng)性能指標(biāo)也有所提升.

圖8 3種控制器作用下的正弦跟蹤響應(yīng)曲線(實(shí)驗(yàn))Fig.8 Response curves of sine wave tracking under three controllers(experiment)

圖9 3種控制器作用下的方波跟蹤響應(yīng)曲線(實(shí)驗(yàn))Fig.9 Response curves of square wave tracking under three controllers(experiment)

表4 位置跟蹤的性能指標(biāo)比較(實(shí)驗(yàn))Table 4 Comparison of performance indexes for position tracking(experiment)

進(jìn)一步驗(yàn)證抗干擾性能,分別在平衡位置時(shí)加入幅值為1 V,周期為4 s的正弦波擾動(dòng)和幅值為1 V,周期為2 s的鋸齒波擾動(dòng),實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10-11所示,表5為3種方法的抗擾動(dòng)性能定量分析結(jié)果,相較之下,MPC+EIDSMO方法具有更好的抗擾動(dòng)性能.值得注意的是,實(shí)驗(yàn)部分的控制輸入同仿真相比具有較大的噪聲,這主要是由于激光位置傳感器測(cè)量和功率變換器開(kāi)關(guān)特性引起的,在仿真中則不存在.

圖10 3種控制器作用下的正弦擾動(dòng)響應(yīng)曲線(實(shí)驗(yàn))Fig.10 Response curves of sine disturbance under three controllers(experiment)

圖11 3種控制器作用下的鋸齒波擾動(dòng)響應(yīng)曲線(實(shí)驗(yàn))Fig.11 Response curves of sawtooth disturbance under three controllers(experiment)

表5 擾動(dòng)抑制的性能指標(biāo)比較(實(shí)驗(yàn))Table 5 Comparison of performance indexes for disturbance suppression(experiment)

5 結(jié)論

本文研究了在擾動(dòng)影響下的磁懸浮球系統(tǒng)位置跟蹤問(wèn)題.為了在不犧牲系統(tǒng)標(biāo)稱(chēng)控制性能的前提下提高閉環(huán)系統(tǒng)的抗干擾性能,提出了一種基于等價(jià)輸入干擾滑模觀測(cè)器的模型預(yù)測(cè)控制方法.通過(guò)等價(jià)輸入干擾滑模觀測(cè)器得到等價(jià)輸入干擾的估計(jì)值,將其與模型預(yù)測(cè)控制最優(yōu)控制律相結(jié)合得到最終的復(fù)合控制律,實(shí)現(xiàn)了磁懸浮球系統(tǒng)在擾動(dòng)存在下的位置跟蹤控制.仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,與內(nèi)含龍伯格觀測(cè)器的傳統(tǒng)EID觀測(cè)器相比,等價(jià)輸入干擾滑模觀測(cè)器具有更快的收斂速度.相較于經(jīng)典的積分模型預(yù)測(cè)控制方法,基于等價(jià)輸入干擾滑模觀測(cè)器的模型預(yù)測(cè)控制方法對(duì)擾動(dòng)具有更好的抑制效果.