顧秋陽琚春華張雙竹

(1.浙江工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院,浙江杭州 310023; 2.浙江工業(yè)大學(xué)中國中小企業(yè)研究院,浙江杭州 310023;3.浙江工商大學(xué)管理工程與電子商務(wù)學(xué)院,浙江杭州 310018)

1 引言

傳染病會在人群中迅速產(chǎn)生大范圍傳播,這是由于此類疾病容易通過復(fù)雜的人口網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳播.2020年初,新型冠狀病毒肺炎(corona virus disease-19,COVID-19)疫情爆發(fā),其病原體被國際病毒分類委員會命名為嚴(yán)重急性呼吸綜合征冠狀病2(severe acute respiratory syndrome coronavirus 2,SARS-CoV-2).新冠病毒以高傳播效率、嚴(yán)重感染后果以及捉摸不定的流行時間對人類健康構(gòu)成了持續(xù)的威脅[1].此次疫情發(fā)生以來,黨中央高度重視,始終把人民群眾生命安全和身體健康放在第一位,中央政治局常委會兩次召開會議進(jìn)行專題研究.由于全球疫情的全面爆發(fā),如何制定流行病動態(tài)控制策略和模型備受學(xué)界關(guān)注.到目前為止,已有學(xué)者提出了各種用于分析流行病傳播模型[2-4],并對人群中的疫苗接種和流行病傳播狀況進(jìn)行了研究.學(xué)界通常將傳染病傳播表示為基于節(jié)點(diǎn)(即agent)的模型,鏈接(路徑或邊)表示個體間的交互作用;另一種方法是使用反應(yīng)擴(kuò)散等微分方程描述種群模型.已有學(xué)者在生態(tài)建模中建立了集合種群模型[5-6],集合種群是由某物種在空間上分離的子種群(斑塊)組成的.個體可以在斑塊間進(jìn)行遷移[7-8].隨機(jī)游走或遷移是與許多傳播過程相關(guān)的基本機(jī)制,故研究遷移對流行病傳播的影響具有重要意義[9-12].而異質(zhì)連接和移動模式對傳染病傳播有重要影響.Colizza等[13]通過復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)值模擬,探討了傳染病在集合種群模型中的傳播行為.結(jié)論表明,由于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,在多種群動態(tài)模型中求解微分方程并不容易.Nagatani等[8]研究了完全圖、環(huán)形圖和星圖上的集合種群模型中隨機(jī)游走節(jié)點(diǎn)的傳染病傳播模型.本文使用不同的解析方法推導(dǎo)出了上述種類圖的傳染病閾值.且由于網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性對傳染病傳播與閾值產(chǎn)生了重要影響,傳染病動力學(xué)與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞鸟詈蠁栴}已引起了學(xué)界的廣泛關(guān)注[14-17].Onaga等[18]認(rèn)為可通過控制被感染者的活動范圍,以減緩傳染病的蔓延.且其認(rèn)為被感染者的活動范圍(即遷移范圍)與易感染者的活動范圍(即遷徙范圍)有很大不同,被感染會大大降低人口的流動性.

已有學(xué)者基于經(jīng)典易感-感染-易感(susceptible infected susceptible model,SIS)模型,在靜態(tài)和時序圖中構(gòu)建了集合種群動態(tài)模型進(jìn)行研究[19],在集合種群模型中,所有種群(或個體)都沿同一遷移路徑移動,此路徑由單一網(wǎng)絡(luò)圖表示.然而,當(dāng)某種群的作用范圍明顯不同于與其他種群時,各種群的遷移路徑都不同.從一個種群到另一種群,用不同的圖描述種群間的遷移路徑是必要的.由于受感染個體的遷移路徑與易感染個體不同,故本文使用雙層網(wǎng)絡(luò)方法對受感染個體的限制遷移對傳染病傳播的影響進(jìn)行研究.

本文在雙層網(wǎng)絡(luò)上建立了傳染病傳播的集合種群模型.其中,當(dāng)個體受感染時,與易感染個體相比其遷移能力會受到限制.本研究用雙層網(wǎng)絡(luò)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的單層網(wǎng)絡(luò)來表示受感染個體的限制性遷移.在雙層網(wǎng)絡(luò)上,本文研究了傳染病傳播是如何隨著遷移限制進(jìn)行變化的,并在雙層網(wǎng)絡(luò)的集合種群模型中,建立了易感-感染-易感(SIS)模型.本研究將雙層網(wǎng)絡(luò)上的SIS模型與隨機(jī)游走模型相結(jié)合,并在雙層網(wǎng)絡(luò)上推導(dǎo)出了集合種群動態(tài)模型中的反應(yīng)擴(kuò)散方程,并對其進(jìn)行數(shù)值求解.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在集合種群動態(tài)模型中,傳染病的傳播很大程度上取決于受感染個體的遷移限制.

2 預(yù)備知識

在SIS傳染病模型中,可將流動個體分為易感染節(jié)點(diǎn)(susceptible,記為S)或感染節(jié)點(diǎn)(infected,記為I).并將節(jié)點(diǎn)的總密度設(shè)置為ρ0,將子種群的密度設(shè)置為ρI,故可得如式(1)所示:

故可將易感染節(jié)點(diǎn)(S)和感染節(jié)點(diǎn)(I)間的交互過程表示如式(2)-(3)所示:

并將其轉(zhuǎn)化過程如式(2)所示的傳染率設(shè)置為β,而如式(3)所示的轉(zhuǎn)化過程的恢復(fù)率可設(shè)置為γ.如系統(tǒng)中僅包含單個斑塊,則均值場理論(mean field theory,MFT)成立,具體如式(4)所示:

其中ρI(t)表示t時刻感染個體的密度.達(dá)到穩(wěn)態(tài)時的解可表示為如式(5)所示:

本研究還構(gòu)建了一個由N個斑塊(節(jié)點(diǎn))(N≥2)組成的網(wǎng)絡(luò),其中每個斑塊的平均場動態(tài)保持不變,而個體的動態(tài)由反應(yīng)擴(kuò)散方程表示.集合種群的分布結(jié)構(gòu)由網(wǎng)絡(luò)圖進(jìn)行表示,子種群i在圖中表示為節(jié)點(diǎn)i,且其中許多個體通過鏈接在節(jié)點(diǎn)間隨機(jī)游走,在子種群i中的隨機(jī)游走者總密度可由如式(7)所示計(jì)算:

其中:ki為節(jié)點(diǎn)i的度,Ni表示節(jié)點(diǎn)i的最近鄰.而式(7)右側(cè)從左至右第1項(xiàng)表示最近鄰的進(jìn)入個體數(shù)量,第2項(xiàng)表示子種群中的外流個體的數(shù)量.參考文獻(xiàn)[20]可知,即使系數(shù)取小于1的值,相變點(diǎn)也不會改變(由于要設(shè)置動態(tài)的外流參數(shù)較難,故在此只考慮固定系數(shù)),故在此假設(shè)系數(shù)為1.故在集合種群模型中,所有子種群的感染率和恢復(fù)率相同.且在集合種群模型中,子種群i中受感染節(jié)點(diǎn)密度可表示為如式(8)所示:

其中:式(8)右側(cè)從左至右的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)分別表示擴(kuò)散引起感染密度的增加和減少,第3項(xiàng)表示如式(2)所示的感染密度(I)增加,而第4項(xiàng)表示如式(3)所示的感染密度(I)減少.在集合種群模型中,感染率和恢復(fù)率不依賴于子種群,但其數(shù)值相同.

當(dāng)個體數(shù)量趨于無窮時,集合種群模型才為有效;如感染個體的密度是負(fù)數(shù),則將密度設(shè)為零.具有3個節(jié)點(diǎn)的集合種群模型是同時具有同質(zhì)圖和異質(zhì)圖的最簡單的模型,且在同質(zhì)和異質(zhì)圖中傳染病動態(tài)不一致.如圖1所示,圖1(a)報告了完全圖/環(huán)形圖,節(jié)點(diǎn)1-3的度都為2;圖1(b)報告了星圖,其中節(jié)點(diǎn)1的度為2,節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3的度為1.其中,完全圖/環(huán)形圖為同質(zhì)圖,星圖為異質(zhì)圖.

圖1 不同3節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Diagram of different three-node network structures

圖2為不同三節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的平衡密度與恢復(fù)率關(guān)系圖.

圖2 不同三節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的平衡密度與恢復(fù)率關(guān)系圖Fig.2 Relations diagram between equilibrium density and recovery rate under different three-node network structures

圖2(a)報告了在恢復(fù)率γ下的易感染節(jié)點(diǎn)與感染節(jié)點(diǎn)的平衡密度的分布圖,其對應(yīng)圖1(a)中的環(huán)形圖;且參考文獻(xiàn)[21]的做法,將初始條件設(shè)置為ρS,1(0)=0.5,ρS,2(0)=0.2,ρS,3(0)=0.2,ρI,1(0)=0.05,ρI,2(0)=0.01,ρI,3(0)=0.04,β=1.初始狀態(tài)下,節(jié)點(diǎn)1-3處的感染密度和易感染密度相同.隨著恢復(fù)率γ從0增加到時,被感染密度呈線性下降.如式(5)所示平均場由在圖中由MET表示.隨著恢復(fù)率γ從0增長到,易感密度呈線性上升.當(dāng)γ=時,易感密度飽和;當(dāng)γ >時,易感密度恒定為.圖2(b)報告了在恢復(fù)率γ下的易感染節(jié)點(diǎn)與感染節(jié)點(diǎn)的平衡密度的分布圖,其對應(yīng)圖1(b)中的星圖;且與圖2(a)具有一致的初始值.節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3處的感染密度一致.而中心1的感染密度為節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3 的兩倍.節(jié)點(diǎn)1-3的感染密度與如式(5)所示平均場理論存在較大偏差,閾值γC=0.383.當(dāng)恢復(fù)率γ從0增長到0.4時,雖然易感染節(jié)點(diǎn)與感染節(jié)點(diǎn)的變動趨勢與圖2(a)中一致,但其變化速度存在區(qū)別.

3 融入集合種群的傳染病模型

3.1 雙層網(wǎng)絡(luò)集合種群傳染病模型

本文提出了一個上融入雙層集合種群網(wǎng)絡(luò)和遷移限制的傳染病模型.由于感染者的活動范圍受到限制,感染者和易感染者的遷移路徑明顯存在不同.在此情況下,傳染病模型應(yīng)從單層圖上如式(7)-(8)所示轉(zhuǎn)化為在雙層圖上描述其動態(tài).子種群(即斑塊)由雙層網(wǎng)絡(luò)上的節(jié)點(diǎn)表示,第1張圖上的鏈接表示易感個體斑塊間的遷移路徑,第2張圖上的鏈接表示受感染個體斑塊間的遷移路徑.由于受感染者的遷移受到限制,第2張圖與第1張圖有所不同.易感個體以隨機(jī)游走的方式移經(jīng)過第1張圖上的鏈接,而受感染個體以隨機(jī)游走的方式移動通過第2張圖上的鏈接.在具有N個節(jié)點(diǎn)的雙層集合種群傳染病模型中,節(jié)點(diǎn)i處的易感染個體和受感染個體密度可由式(9)-(10)推導(dǎo)得到

3.2 三斑塊集合種群傳染病模型

本文首先考慮具有3個斑塊的集合種群傳染病模型.受感染者與易感染者的遷移途徑不同,故在雙層圖中推導(dǎo)SIS傳染病模型動態(tài),并展示了傳染病傳播是如何受感染個體遷移限制而發(fā)生變化的.圖3中的第1張圖的易感染個體遷移路徑用黑線表示,第2張圖的受感染個體遷移路徑用灰線表示.圖3(a)中的易感染個體遷移路徑用循環(huán)圖表示,受感染個體的遷移路徑用星型圖表示.由于感染個體遷移受到限制,感染個體從不直接在子種群2和3間進(jìn)行遷移.易感染個體在亞群1,2和3之間隨機(jī)游走.

圖3 當(dāng)N=3時的雙層網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.3 Diagram of the two-level network when N=3

本研究將如式(9)-(10)應(yīng)用到圖3(a)的雙重圖中.對節(jié)點(diǎn)1-3子種群中易感染和受感染個體的密度可由如式(11)-(16)反應(yīng)擴(kuò)散方程推導(dǎo)得到

在圖3(b)中,第1張圖上的易感染個體在循環(huán)圖上遷移,與圖3(a)一致,第2張圖上的子種群2和子種群3間只有一個鏈接(即子種群2和子種群3中的受感染個體往返于子種群3和子種群2,子種群1上的受感染個體不能遷移到其他子種群中);而易感染個體可以在任意節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)游走.本研究將式(9)-(10)運(yùn)用到圖3(b)的雙層網(wǎng)絡(luò)中,子種群1-3中易感染和感染個體的密度可由如式(17)-(22)反應(yīng)擴(kuò)散方程推導(dǎo)得到

在圖3(c)中,易感染個體的遷移路徑由星圖表示.受感染個體的遷移路徑由節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2間的鏈接表示;由于遷移限制,受感染個體僅在子種群1和節(jié)點(diǎn)2間進(jìn)行遷移,個體隨機(jī)游走在雙層網(wǎng)絡(luò)之上.本研究將式(9)-(10)運(yùn)用于圖3(c)的雙層網(wǎng)絡(luò)中.子種群1-3中易感染和被感染個體密度由如式(23)-(28)所示反應(yīng)擴(kuò)散方程推導(dǎo)得到

在圖3(d)中,第1張圖上的易感染個體在星圖上遷移,第2張圖上的子種群2和3間只有一個鏈接,子種群2和子種群3中的受感染個體往返于子種群3和子種群2,子種群1中的受感染個體不會遷移到其他子種群種.本研究將式(9)-(10)運(yùn)用到圖3(d)的雙層網(wǎng)絡(luò)中.子種群1-3中易感染和感染個體的密度可由如式(29)-(34)所示反應(yīng)擴(kuò)散方程推導(dǎo)得到

圖4 不同雙層網(wǎng)絡(luò)三節(jié)點(diǎn)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下平衡密度對恢復(fù)率的影響Fig.4 Effect of equilibrium density on recovery rate under three-node topology of different two-level networks

3.3 四斑塊集合種群傳染病模型

對于存在4個節(jié)點(diǎn)的圖,共有6種不同配置模式.本研究在6種不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的單層圖上對傳染病傳播動態(tài)進(jìn)行了研究,并在雙層網(wǎng)絡(luò)上研究了受感染個體遷移受限的傳染病傳播動態(tài)[8].本研究在圖5設(shè)置了兩種具有4節(jié)點(diǎn)的雙層網(wǎng)絡(luò)傳染病動態(tài)如圖5(a)-(b)所示.第1張圖上易感染個體的遷移路徑用黑線表示,第2張圖上的受感染個體的遷移路徑用灰線表示.在圖5(a)中,易感染個體的遷移路徑由星圖表示,受感染個體的遷移路徑也由同一星圖表示;在圖5(b)中,易感染個體的遷移路徑由星圖表示,受感染者的遷移路徑由路徑圖表示.

圖5 當(dāng)N=4時的雙層網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.5 Diagram of the two-level network when N=4

本研究將等式(9)-(10)應(yīng)用于圖5(a)中的星圖.種群1-4中易感染和感染個體的密度由式(35)-(42)所示反應(yīng)擴(kuò)散方程推導(dǎo)得到

易感染個體在式(35)-(38)中的擴(kuò)散項(xiàng)與式(39)-(42)中被感染個體相符.這是由于被感染個體與易感染個體的移動路徑相同.本研究將式(9)-(10)運(yùn)用到如圖5(b)所示的雙層網(wǎng)絡(luò)中.子種群1-4中易感染和受感染個體的密度可由如式(43)-(50)所示反應(yīng)擴(kuò)散方程推導(dǎo)得到

其中,式(47)中沒有擴(kuò)散項(xiàng),這是由于節(jié)點(diǎn)1處的受感染個體不會遷移到其他節(jié)點(diǎn).式(47)-(50)中受感染個體的擴(kuò)散項(xiàng)明顯不同于式(43)-(46)中的易感個體的擴(kuò)散項(xiàng).

圖6(a)報告了在初始值為

且β=1時,圖5(a)上雙層網(wǎng)絡(luò)中恢復(fù)率與平衡穩(wěn)態(tài)易感和受感染密度的關(guān)系.由于節(jié)點(diǎn)2-4的拓?fù)涞葍r,節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)4處的受感染密度與節(jié)點(diǎn)2處的保持一致.受感染密度隨恢復(fù)率的上升呈線性下降.節(jié)點(diǎn)2-4的易感密度相同.隨著恢復(fù)率從0(γ=0)增加到左右時(γ=0.34),節(jié)點(diǎn)1處的易感密度呈線性上升;當(dāng)γ=0.34時呈飽和狀態(tài),當(dāng)γ>0.34時,節(jié)點(diǎn)1處的易感密度為0.5.隨著恢復(fù)率從0(γ=0)增加到時(γ=0.34),節(jié)點(diǎn)2-4處的平衡穩(wěn)態(tài)易感密度呈線性上升,當(dāng)γ=0.34時呈飽和狀態(tài),當(dāng)γ >0.34時,節(jié)點(diǎn)2-4處的易感染密度保持恒定值

圖6(b)報告了與圖6(a)具有相同初始值,且β=1時,圖5(b)上雙層網(wǎng)絡(luò)中恢復(fù)率γ與平衡穩(wěn)態(tài)易感和受感染密度的關(guān)系.由于節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)4的拓?fù)涞葍r,故節(jié)點(diǎn)4處的受感染密度與節(jié)點(diǎn)2處相同.隨著恢復(fù)率從1(γ=0)轉(zhuǎn)變?yōu)?(γ=0.5),節(jié)點(diǎn)1(中心)處的受感染密度呈線性下降趨勢.節(jié)點(diǎn)2-4處受感染密度為0,受感染個體都集中在節(jié)點(diǎn)1(中心).節(jié)點(diǎn)2-4處易感密度相同,隨著恢復(fù)率從0(γ=0)上升到(γ=0.5),節(jié)點(diǎn)1的易感染密度呈線性上升,當(dāng)γ=0.5時呈飽和狀態(tài),當(dāng)γ >0.5時節(jié)點(diǎn)1處易感密度保持恒定值0.5.隨著恢復(fù)率從0(γ=0)上升到(γ=0.5),節(jié)點(diǎn)2-4處平衡穩(wěn)態(tài)易感密度呈線性上升,當(dāng)γ=0.5時呈飽和狀態(tài),當(dāng)γ >0.5時,節(jié)點(diǎn)2-4處易感染密度保持恒定值.故雙層網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同,節(jié)點(diǎn)1-4處的易感個體和受感染個體的平衡密度有很大差異.

圖6 不同雙層網(wǎng)絡(luò)四節(jié)點(diǎn)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下平衡密度對恢復(fù)率的影響Fig.6 Effect of equilibrium density on recovery rate under four-node topology of different two-level networks

3.4 環(huán)形星圖中的傳染病模型

最后,本文對傳染病在環(huán)形星圖上的傳播進(jìn)行研究.易感染個體在第1張星圖上移動,受感染個體在第2張環(huán)形圖上移動,且第1張圖與第2張圖的鏈接不重合.圖7(a)報告了當(dāng)N=6時星圖的示意圖,節(jié)點(diǎn)編號為1-6.第1張星圖用黑線表示,第2張環(huán)形圖用灰線表示.且節(jié)點(diǎn)1為第1張圖的中心,易感染個體通過中心節(jié)點(diǎn)1在星圖上游走,中心節(jié)點(diǎn)1的受感染個體不會遷移到節(jié)點(diǎn)2-6,但節(jié)點(diǎn)2-6處的感染者可以在環(huán)形圖中的節(jié)點(diǎn)2-6間遷移.受感染個體的遷移路徑不會與易感染個體重疊.圖7(b)報告了N=6的星圖,其中易感染個體在第1張圖上移動,感染個體只能在灰色路徑上移動.

圖7 當(dāng)N=6時的雙層環(huán)狀星型網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.7 Diagram of the two-level ring star network when N=6

在圖7(b)報告了的雙層網(wǎng)絡(luò)上的數(shù)值計(jì)算出的平衡密度結(jié)果與圖8(a)一致,在此不再贅述.且本研究發(fā)現(xiàn)切斷第2張循環(huán)圖中的任何鏈接,平衡密度都不會發(fā)生改變.本研究通過計(jì)算分析得出了環(huán)形星圖上的平衡密度.其在平衡狀態(tài)下滿足如式(57)-(58)所示:

圖8 單層/雙層星圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下平衡密度對恢復(fù)率的影響Fig.8 Effect of equilibrium density on recovery rate under two-level and one-level star-graph topology

在拓?fù)涞刃Ч?jié)點(diǎn)上,處于平衡狀態(tài)的種群數(shù)量相同,具體可表示為如式(59)所示:

除了中心節(jié)點(diǎn)1 外,節(jié)點(diǎn)1上沒有受感染的個體,受感染的個體只能在中心節(jié)點(diǎn)1上存活.平衡密度的解析式(64)-(67)與圖3(d)和圖5(b)中具有3個和4個節(jié)點(diǎn)的環(huán)形星圖的數(shù)值解一致.且對于具環(huán)形星圖而言,其解與圖8(a)中的數(shù)值解一致.受感染個體的平衡密度與節(jié)點(diǎn)數(shù)N無關(guān).傳染病閾值科表示為γc=通過分析可知閾值與環(huán)形星圖的節(jié)點(diǎn)數(shù)N無關(guān),故所得結(jié)論具有普適性.且為比較在單層網(wǎng)絡(luò)傳染病模型與本文所提雙層網(wǎng)絡(luò)模型中平衡密度對恢復(fù)率的影響的區(qū)別,參考文獻(xiàn)[23]等的做法在星圖中設(shè)置單層網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù),并得到如圖8(b)所示在單層星圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的仿真結(jié)果.比較可知,本文所提雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可有效降低感染節(jié)點(diǎn)密度,將感染節(jié)點(diǎn)限制在中心節(jié)點(diǎn)(度值最高的子種群)中,較單層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)更優(yōu).

為進(jìn)一步體現(xiàn)本文所提模型在真實(shí)傳染病環(huán)境中的可用性和科學(xué)性,本研究參考文獻(xiàn)[24]計(jì)算得到的新冠疫情中的真實(shí)動態(tài)參數(shù)值(傳染率、恢復(fù)率和基本再生數(shù)等),將本文所提模型在星圖中進(jìn)行了進(jìn)一步仿真實(shí)驗(yàn),得到如圖9所示實(shí)驗(yàn)結(jié)果.比較圖8-9結(jié)果可知,本文所提融入遷移限制與雙層集合種群網(wǎng)絡(luò)的傳染病模型能夠較好的模擬真實(shí)情況中的傳染病傳播,并能對傳染病傳播達(dá)到一定的控制效果.

圖9 真實(shí)參數(shù)環(huán)境下雙層星圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中平衡密度對恢復(fù)率的影響Fig.9 Effect of equilibrium density on recovery rate in the topology of bilayer star map under real parameter environment

4 結(jié)論

文獻(xiàn)[25-26]等在社會和空間層網(wǎng)絡(luò)上提出了具有異質(zhì)混合和傳播行為的種群流行模型,研究了異質(zhì)混合和傳播行為對傳染病傳播的影響.而其所使用的雙層網(wǎng)絡(luò)中的集合種群模型類似于本文使用的雙層網(wǎng)絡(luò)模型.然而,本文所提基于經(jīng)典SIS模型提出的融入遷移限制和集合種群概念的傳染病模型,用于表示易感染個體和受感染個體的兩次遷移.由于受感染個體的遷移路徑與易感染個體的遷移路徑有明顯區(qū)別,故本文使用雙層網(wǎng)絡(luò)以描述易感染和受感染個體的遷移路徑.在雙層網(wǎng)絡(luò)的種群模型中研究了受到遷移限制的個體對傳染病傳播情況的影響.本研究得出了具有3,4和6個節(jié)點(diǎn)的雙層集合種群網(wǎng)絡(luò)傳染病模型的數(shù)值解.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,受感染個體的遷移限制對模型的平衡密度具有重要影響,特別是在星圖(或環(huán)形星圖)上,受感染個體僅在中心節(jié)點(diǎn)生存,而不會在其他節(jié)點(diǎn)出現(xiàn).故可知集合種群圖(網(wǎng)絡(luò))結(jié)構(gòu)在控制傳染病的傳播中起著重要的作用.且如果受感染個體的遷移僅限于低度節(jié)點(diǎn)間的鏈接,受感染個體僅在中心節(jié)點(diǎn)生存,在其他節(jié)點(diǎn)消失;如感染個體在低度節(jié)點(diǎn)的遷移受到限制,則感染個體會聚集在高度節(jié)點(diǎn)上.星圖是典型的異質(zhì)圖,在現(xiàn)實(shí)生活中具有異質(zhì)性的斑塊環(huán)境類似于星圖拓?fù)?故其能夠較好的模擬現(xiàn)實(shí)生活中的傳染病傳播環(huán)境.如受感染個體的遷移被限制在較低程度的區(qū)域內(nèi),那么在環(huán)形星圖上推導(dǎo)出的結(jié)論則可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中的傳染病傳播研究.

盡管本研究已提出了上述具有重要意義的發(fā)現(xiàn),但還是具有一些局限性,其中一些可能會為未來的進(jìn)一步研究指明方向:首先,本文所提模型是在節(jié)點(diǎn)充分混合的假設(shè)下構(gòu)建了融入集合種群傳染病模型.但當(dāng)斑塊內(nèi)部存在強(qiáng)烈的異質(zhì)性時假設(shè)不成立,而對于具有強(qiáng)異質(zhì)性的系統(tǒng)可嘗試使用Agent-Based模型進(jìn)行建模.其次,本文基于SIS模型進(jìn)行建模,沒有考慮到免疫者的要素,故本文認(rèn)為將來可以嘗試使用SIR模型、SEIR模型等更復(fù)雜的模型進(jìn)行建模.并可參考文獻(xiàn)[27]中所提多層集合種群網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與個體周期性遷移,對傳染病模型進(jìn)行改進(jìn),進(jìn)一步提升模型的科學(xué)性.再次,可以先考慮外流參數(shù)動態(tài)化的情景下的雙層集合種群網(wǎng)絡(luò)的傳染病模型.最后,可以基于機(jī)器學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)等算法進(jìn)行模型改進(jìn)和參數(shù)的動態(tài)調(diào)整,進(jìn)一步提升模型的科學(xué)性.