蔡勇全
(四川省資陽市外國語實驗學校 641300)
在平面內(nèi),非零向量a,b的夾角為銳(鈍)角的背景下探求參數(shù)的取值范圍是一類典型的易錯易混問題,常見錯誤是將a,b的夾角為銳(鈍)角與a·b>0(<0)混為一談.事實上,二者并不等效.一方面,若a,b的夾角為銳(鈍)角,則一定有a·b>0(<0);另一方面,若a·b>0(<0),則其原因還可能是a,b的夾角為0°(180°).因此,a·b>0(<0)是a,b的夾角為銳(鈍)角的必要不充分條件,a·b>0(<0)與a,b的夾角所在的范圍是[0°,90°)((90°,180°])才是等價關系.從而當a,b的夾角為銳(鈍)角時,參數(shù)的取值范圍應該是從a·b>0(<0)時參數(shù)的取值范圍中排除a,b的夾角為0°(180°)時參數(shù)的具體值后余下的部分.本文結合實例,談談在兩向量的夾角為銳(鈍)角的背景下參數(shù)的取值范圍的求解策略,供大家參考.
解析若(a+λb)·(λa+b)>0,即得λa2+(λ2+1)(a·b)+λb2>0.所以λ|a|2+(λ2+1)|a||b|cos45°+λ|b|2>0.即3λ2+11λ+3>0.
解得λ=1或λ=-1(舍去).
綜上,當向量a+λb與λa+b的夾角為銳角時,實數(shù)λ的取值范圍是(-,(1,+).
變式1已知向量m=(-2,3),n=(1,t),若向量m+n與m-n的夾角為銳角,求實數(shù)t的取值范圍.
變式2已知△ABC的頂點坐標分別為A(3,4),B(0,0),C(c,0).
(1)若c=5,求sinA的值;
(2)若∠A是銳角,求c的取值范圍.
評注例1及其變式1,2的解答結果清楚地說明,如果不將兩向量夾角為0°時,參數(shù)的具體值從兩向量的數(shù)量積大于0時參數(shù)的取值范圍中剔除,那么極有可能會出現(xiàn)增解.另外,解決上述例1,如果直接從向量a+λb與λa+b的夾角為銳角出發(fā)列式,那么應該解答如下:
解得實數(shù)λ的取值范圍是(-,(1,+).相比之下,這種思路比前一種做法更加清晰簡單,但比前一種做法的運算量就大得多.因此,數(shù)學解題既是探索各種解答方法的過程,也是選擇運算量多少的過程.
例2 已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1),且a與b的夾角為鈍角,求實數(shù)λ的取值范圍.
變式2設向量a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),若a與b的夾角大于90°,求實數(shù)m的取值范圍.