胡衛(wèi)雄

(湖北省武漢市常青第一中學(xué) 430000)

在研究帶電粒子在洛倫茲力作用下的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到粒子通過有界磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)情形，往往因?yàn)槌跏妓俣炔煌?，所處的磁?chǎng)磁感強(qiáng)度大小不定，運(yùn)動(dòng)圓軌跡在變化，同時(shí)由于邊界的約束從而產(chǎn)生 “恰好”“最大”“至少”等臨界與極值問題，本文以幾道高考題為例，分類討論通過帶電粒子在有界磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的的臨界極值問題的數(shù)理分析方法.

一、帶電粒子恰好不穿出磁場(chǎng)區(qū)域的臨界問題

當(dāng)帶電粒子通過有界磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，如果帶電粒子的初始速度不同，所處的磁場(chǎng)磁感強(qiáng)度大小不定，運(yùn)動(dòng)圓軌跡在變化，由于邊界的約束從而產(chǎn)生“恰好”不穿出磁場(chǎng)區(qū)域的臨界情形，此類問題一般需要推理出帶電粒子恰好不穿出磁場(chǎng)區(qū)域的臨界條件(在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切)，畫出臨界條件下的的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，應(yīng)用“臨界軌跡+幾何關(guān)系”，結(jié)合帶電粒子在洛倫茲力作用下的圓周運(yùn)動(dòng)的物理規(guī)律列方程聯(lián)立求解．

例1 (2020·全國(guó)卷Ⅲ第18題)真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場(chǎng)的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖1所示.一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng).已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力.為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為( ).

答案：C

點(diǎn)評(píng)本題中，電子的速度大小恒定為v,方向確定為沿半徑方向，因?yàn)榇鸥袕?qiáng)度大小不確定，運(yùn)動(dòng)半徑不確定.以入射點(diǎn)B為定點(diǎn)，圓心位于與初速度垂直的同一直線BA上，將半徑放縮作軌跡，作出一組如圖3所示的半徑逐漸增大的“縮放圓”.分析中，重點(diǎn)在于利用放縮的動(dòng)態(tài)軌跡圓，找出臨界條件下(與半徑為3a的圓柱面相切)的“臨界軌跡”，分析臨界條件下的幾何關(guān)系，結(jié)合帶電粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律求解.

二、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的極值問題

當(dāng)帶電粒子通過有界磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，如果帶電粒子的初始速度不同，運(yùn)動(dòng)圓半徑不同，運(yùn)動(dòng)圓軌跡在變化，由于邊界的約束，各粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長(zhǎng)短不一樣，從而產(chǎn)生粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的極值求解問題.如果磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度恒定，帶電粒子的荷質(zhì)比相同，各粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期相同，則可根據(jù)圓心角判斷時(shí)間的極值：粒子運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過的圓心角越大，時(shí)間越長(zhǎng)．此類問題一般需要推理出帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的極值條件(圓心角最大)，畫出極值條件下的的運(yùn)動(dòng)軌跡圖， 應(yīng)用“極值軌跡+幾何關(guān)系”，結(jié)合物理規(guī)律求解.如果不容易畫出極值條件下的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，則可應(yīng)用“一般軌跡+幾何關(guān)系”，得到相關(guān)物理量之間的函數(shù)關(guān)系，通過數(shù)學(xué)方法求極值條件，再結(jié)合物理規(guī)律求解.

例2 (2020·全國(guó)卷Ⅰ第18題)一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖4中虛線所示，ab為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑.一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場(chǎng)，這些粒子具有各種速率.不計(jì)粒子之間的相互作用.在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為( ).

答案：C

方法二：采用“一般軌跡+幾何關(guān)系”，利用數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系求極值解決該問題.假設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示,圓心在O點(diǎn)，ab半圓的圓心在O′，OO′=2R-r,Oe=r,O′e=R,由余弦定理有

點(diǎn)評(píng)本題中，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度恒定，一束粒子的電荷量，質(zhì)量相同，速度方向相同，速率大小不同，他們的軌跡組成一組半徑逐漸增大的縮放圓.方法一當(dāng)半徑r≤0.5R和r≥1.5R時(shí)，粒子分別從ac、bd區(qū)域射出，磁場(chǎng)中的軌跡為半圓，運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于半個(gè)周期.當(dāng)0.5R

三、帶電粒子穿出磁場(chǎng)時(shí)打在在磁場(chǎng)邊界區(qū)域范圍

當(dāng)帶電粒子通過有界磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，如果帶電粒子的初始速度不同或者磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不定，則各粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡不同，由于邊界(或極板/熒光屏)的約束，一部分粒子打在邊界(或極板/熒光屏)上，從而產(chǎn)生粒子穿出磁場(chǎng)時(shí)打在在磁場(chǎng)邊界區(qū)域范圍的求解問題.此類問題一般需要推理出帶電粒子穿出磁場(chǎng)時(shí)打在在磁場(chǎng)邊界上距離最遠(yuǎn)的極值條件(軌跡與邊界相切或打在邊界時(shí)軌跡對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)最長(zhǎng))，畫出極值條件下的的運(yùn)動(dòng)軌跡圖， 應(yīng)用“極值軌跡+幾何關(guān)系”，結(jié)合物理規(guī)律求解．也可選取一般情形，畫出軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系，列出相關(guān)物理量之間的函數(shù)關(guān)系，通過數(shù)學(xué)方法求極值.

例題3 (多選)(2015·四川高考)如圖7所示，S處有一電子源，可向紙面內(nèi)任意方向發(fā)射電子，平板MN垂直于紙面，在紙面內(nèi)的長(zhǎng)度L=9.1 cm，中點(diǎn)O與S間的距離d=4.55 cm，MN與SO直線的夾角為θ，板所在平面有電子源的一側(cè)區(qū)域有方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2.0×10-4T，電子質(zhì)量m=9.1×10-31kg，電量e=-1.6×10-19C，不計(jì)電子重力，電子源發(fā)射速度v=1.6×106m/s的一個(gè)電子，該電子打在板上可能位置的區(qū)域的長(zhǎng)度為l，則( ).

A．θ=90°時(shí)，l=9.1 cm B．θ=60°時(shí)，l=9.1 cm

C．θ=45°時(shí)，l=4.55 cm D．θ=30°時(shí)，l=4.55 cm

答案：AD

方法一：分別畫出四種對(duì)應(yīng)情況下的極值軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系求解極值條件.θ=90°時(shí)，擊中板的范圍如圖9甲，電子軌道正好與MN相切于M點(diǎn)，l=2R=9.1 cm，選項(xiàng)A正確；θ=60°時(shí)，擊中板的范圍如圖9乙所示，臨界情況電子軌道正好與MN相切，但切點(diǎn)在OM之間，l<2R=9.1 cm，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；θ=30°，如圖9丙所示，顯然臨界情況電子軌道與MN相切，切點(diǎn)正好與O點(diǎn)重合，l=R=4.55 cm，當(dāng)θ=45°時(shí)，擊中板的范圍如圖9丁所示，顯然臨界情況電子軌道與MN相切于切點(diǎn)，在OM之間，l>R(R=4.55 cm)，故選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng)本題中，應(yīng)為入射點(diǎn)的位置在發(fā)生變化，對(duì)應(yīng)四個(gè)選項(xiàng)中，SO與MN的夾角各不相同，方法一要分別分析四種情形下的“極值軌跡+幾何關(guān)系“，應(yīng)用方法二只需析一種情形下的極值和幾何關(guān)系，不過方法二對(duì)幾何關(guān)系的分析和三角函數(shù)知識(shí)要求較高，具體問題中還需要根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的解決方法.

綜上所述，帶電粒子在有界磁場(chǎng)的臨界極值問題，需要挖掘隱含條件、分析臨界狀態(tài)、確定極值條件、明了幾何關(guān)系、結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)、運(yùn)用物理規(guī)律，對(duì)空間想象能力、推理分析能力要求較高.在分析過程中，對(duì)應(yīng)相關(guān)的問題模型，可以利用動(dòng)態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡，采用“臨界或極值軌跡+幾何關(guān)系”，探索臨界與極值條件，結(jié)合物理規(guī)律解決問題；也可以采用“一般軌跡+幾何關(guān)系”，推理相關(guān)物理量的函數(shù)關(guān)系，利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解臨界極值條件，結(jié)合物理規(guī)律求解.