楊 勇

(貴州省安順市關(guān)嶺民族高級(jí)中學(xué) 561300)

2020年全國Ⅱ卷理綜第21題為物理選擇題的壓軸題，是一道反復(fù)碰撞有關(guān)動(dòng)量、沖量問題的相關(guān)應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是要分清及理解推出物塊過程遵循的物理規(guī)律，找到8次以后速度與質(zhì)量的關(guān)系，即可找到解決方法.相對(duì)2019年全國Ⅱ卷理綜第21題來說，兩個(gè)題都是多過程問題，在考察學(xué)生的能力上來說，難度穩(wěn)定，解決此問題都需要學(xué)生具備獨(dú)立的思考能力發(fā)散思維能力，因此本題具有選拔人的功能.

一、題目呈現(xiàn)

(2020年全國Ⅱ卷理綜第21題)水平冰面上有一固定的豎直擋板，一滑冰運(yùn)動(dòng)員面對(duì)擋板靜止在冰面上，他把一質(zhì)量為4.0 kg的靜止物塊以大小為5.0 m/s的速度沿與擋板垂直的方向推向擋板，運(yùn)動(dòng)員獲得退行速度；物塊與擋板彈性碰撞，速度反向，追上運(yùn)動(dòng)員時(shí)，運(yùn)動(dòng)員又把物塊推向擋板，使其再一次以大小為5.0 m/s的速度與擋板彈性碰撞.總共經(jīng)過8次這樣推物塊后，運(yùn)動(dòng)員退行速度的大小大于5.0 m/s，反彈的物塊不能再追上運(yùn)動(dòng)員.不計(jì)冰面的摩擦力，該運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量可能為( ).

A. 48 kg B. 53 kg

C. 58 kg D. 63 kg

本題的參考答案為：B、C

二、解法研究

本題對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來說，由于要從題述中建立相應(yīng)的物理模型，可能會(huì)存在一定的難度，同時(shí)也比較抽象.解決本題的關(guān)鍵是抓住題述中的冰面不計(jì)摩擦力，物塊與擋板的碰撞為彈性碰撞，所以物塊反彈時(shí)速度大小不變，也就是說物塊與運(yùn)動(dòng)員的相互作用以及物塊與擋板的相互作用只改變速度的方向，不改變速度的大小；其次要明確第8次推物塊后，速度大于5m/s，怎么從這個(gè)條件中尋找質(zhì)量與題述含義的關(guān)系；這些是學(xué)生突破本題的關(guān)鍵，由于大多數(shù)學(xué)生對(duì)問題的分析不透，導(dǎo)致找不到條件，或者找到條件但是不全面.找到速度與質(zhì)量之間的數(shù)學(xué)等式關(guān)系，即為本題找準(zhǔn)正確答案的關(guān)鍵，筆者將從以下幾種方法對(duì)本題做相應(yīng)的求解.

1.動(dòng)量方法

據(jù)題意，由于冰面不計(jì)摩擦力，向前推物塊，則運(yùn)動(dòng)員要向后退，所以在推的過程中，運(yùn)動(dòng)員與物塊組成系統(tǒng)的動(dòng)量守恒.設(shè)推出物塊后物塊的速度大小為v0=5m/s，物塊的質(zhì)量為m0=4kg；每推物塊一次運(yùn)動(dòng)員的速度變?yōu)関n(其中n=1,2,3…8)，運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量為m.規(guī)定運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较?，則：

第一次推物塊有：mv1-m0v0=0

第二次推物塊時(shí)，物塊的動(dòng)量變化大小為Δp=2m0v0，方向向右；則運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)量變化大小也為Δp′=2m0v0，方向向左.由于每一次推出物塊時(shí)物塊獲得的速度大小不變，由于物塊與擋板間為彈性碰撞，則除了第一次推物塊外，以后的每一次推物塊，運(yùn)動(dòng)員都向左增加Δp′=2m0v0.因此第8次推出物體后，運(yùn)動(dòng)員動(dòng)量的變化大小為：

Δp總=mv1+7Δp′

而物塊反彈后能追上運(yùn)動(dòng)員發(fā)生相互作用，則第7次推出后，運(yùn)動(dòng)員后退的速度v7<5m/s，由上述分析，運(yùn)動(dòng)員第7次推出物塊后動(dòng)量為mv7=13m0v0，由于v7<5m/s，則m>52kg.

綜上所述，滿足題述要求的運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量可能為52kg

2.列項(xiàng)相消

同理，假設(shè)甲的質(zhì)量為m，每推物塊一次運(yùn)動(dòng)員的速度變?yōu)関n(其中n=1,2,3…8)，乙的質(zhì)量為m0，推出的速度大小為v0.運(yùn)動(dòng)員推物塊的瞬間組成系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，同樣規(guī)定運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较?，則：

第一次推物塊有：

mv1-m0v0=0

①

第二次推物塊有：

mv1+m0v0=mv2-m0v0

②

第三次推物塊有：

mv2+m0v0=mv3-m0v0

③

……

第八次推物塊有：

mv7+m0v0=mv8-m0v0

⑧

由②+③+…+⑧得，

mv1+7m0v0=mv8-7m0v0，

所以mv8=mv1+14m0v0，

分析方法與上式方法一樣，同樣得到B、C正確.

3.等差數(shù)列求解

從方法2可以看出來mv7+m0v0=mv8-m0v0，則mv8-mv7=2m0v0，因此p8-p7=2m0v0，從此式子可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)量的增量為一個(gè)等差數(shù)列，公差d=2m0v0.

當(dāng)?shù)?次推出物塊后，運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)量大小為p8=p1+(8-1)d，其中p1=m0v0，所以p8=15m0v0，由于p8=mv8，則有mv8=15m0v0，由于v8>5m/s，所以m<60kg.

當(dāng)?shù)?次推出物塊后，運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)量大小為p7=p1+(7-1)d，所以p7=13m0v0，因此mv7=13m0v0，v7<5m/s，則m>52kg.

綜述，本題的答案為B、C.

4.應(yīng)用圖象直觀求解

根據(jù)題目的含義，滿足題述要求，除了第一次推出物塊外，以后的每一次推出物塊時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)量增量大小為Δp=2m0v0，為了減少復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，可以把對(duì)應(yīng)題目的含義的物理量通過做題的形式來表達(dá)，更能形象地理解問題和求解答案.根據(jù)題述，建立運(yùn)動(dòng)員動(dòng)量增量大小與推物塊次數(shù)的關(guān)系如圖1所示：

根據(jù)圖象與坐標(biāo)的物理意義，圖線與坐標(biāo)圍城的面積即為第n此次推出物塊運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)量的增量大小，則第8次推出物塊后，運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)量為mv8=m0v0+(8-1)2m0v0，則mv8=15m0v0；第7次推出物塊后，運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)量為mv7=m0v0+(7-1)2m0v0，mv7=13m0v0，根據(jù)題目的要求，運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量取值范圍為：52kg

這是一道選擇題壓軸題，對(duì)于多數(shù)學(xué)生來說具有一定的困難，但是根據(jù)題目的地位和形式，思想和方法并不單一，我們知道高考題是具有選拔人才的作用，所以對(duì)一道高考題，我們要站在更高的角度思考問題.從本題的設(shè)計(jì)意圖和解題方法來看，在以后的課堂教學(xué)，復(fù)習(xí)備考中，對(duì)于物理問題的求解，我們應(yīng)該從構(gòu)建物理模型、應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法以及應(yīng)用圖象等形式多維度進(jìn)入教學(xué)，從而更有效地提升學(xué)生科學(xué)思維能力和解決問題的能力，同時(shí)有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性和創(chuàng)造性.