陳 勇 勤

(中國人民大學 經(jīng)濟學院，北京 100872)

2020年10月29日，黨的十九屆五中全會通過了《中共中央關于制定國民經(jīng)濟和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和二〇三五年遠景目標的建議》(以下簡稱《建議》)。筆者對國民經(jīng)濟和社會發(fā)展的微分形式思考，主要是圍繞著《建議》中的如下有關內容。1.創(chuàng)新驅動發(fā)展。堅持創(chuàng)新在我國現(xiàn)代化建設全局中的核心地位，把科技自立自強作為國家發(fā)展的戰(zhàn)略支撐；科教興國。2.建設高質量教育體系。提高高等教育質量；支持發(fā)展高水平研究型大學，加強基礎研究人才培養(yǎng)；加大人力資本投入；加強創(chuàng)新型、應用型、技能型人才培養(yǎng)；加快培養(yǎng)理工農(nóng)醫(yī)類專業(yè)緊缺人才；增強職業(yè)技術教育適應性，大力培養(yǎng)技術技能人才；健全終身職業(yè)技能培訓制度；完善終身學習體系，建設學習型社會；建成教育強國、人才強國、體育強國。3.強化就業(yè)優(yōu)先政策。千方百計穩(wěn)定和擴大就業(yè)，堅持經(jīng)濟發(fā)展就業(yè)導向，擴大就業(yè)容量，提升就業(yè)質量，促進充分就業(yè)。更加注重緩解結構性就業(yè)矛盾，統(tǒng)籌城鄉(xiāng)就業(yè)政策體系。4.加快發(fā)展現(xiàn)代產(chǎn)業(yè)體系。堅持把發(fā)展經(jīng)濟著力點放在實體經(jīng)濟上，建設制造強國、質量強國、網(wǎng)絡強國。5.實現(xiàn)小農(nóng)戶和現(xiàn)代農(nóng)業(yè)有機銜接。加快培育農(nóng)民合作社、家庭農(nóng)場等新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營主體。6.構建高水平社會主義市場經(jīng)濟體制。充分發(fā)揮市場在資源配置中的決定性作用，更好發(fā)揮政府作用。7.增強消費對經(jīng)濟發(fā)展的基礎性作用。8.改善人民生活品質。把保障人民健康放在優(yōu)先發(fā)展的戰(zhàn)略位置；發(fā)展慈善事業(yè)。9.堅持共同富裕方向。居民收入增長和經(jīng)濟增長基本同步。10.繁榮發(fā)展文化事業(yè)和文化產(chǎn)業(yè)，提高國家文化軟實力。[1]

一、國民經(jīng)濟的各要素之間相互聯(lián)系

國民經(jīng)濟的各要素之間是相互聯(lián)系的，其中主要涉及科技、教育、就業(yè)、制造業(yè)、農(nóng)業(yè)、服務業(yè)、人民生活、收入分配、消費、文化、財政。

(一)科技、教育、就業(yè)

“創(chuàng)新是引領發(fā)展的第一動力，是建設現(xiàn)代化經(jīng)濟體系的戰(zhàn)略支撐?！盵2]31環(huán)顧世界，新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革深入發(fā)展。回望中國，2020年是創(chuàng)新型國家階段性目標實現(xiàn)之年。當今世界正經(jīng)歷百年未有之大變局，應對歷史機遇，要“倡導創(chuàng)新文化”[2]31。

在不斷創(chuàng)新的基礎上，科技水平不斷提升?？萍妓绞呛饬靠萍紡妵幕緲藴?，科技強國是制造強國、質量強國、網(wǎng)絡強國的先決條件。制定科技強國行動綱要，加快建設科技強國。

教育水平在一定程度上可以決定科技水平，可以決定就業(yè)人的素質，可以決定產(chǎn)業(yè)發(fā)展水平。教育水平—科技水平—產(chǎn)品質量，教育水平—人的素質—社會文明。教育強國是科技強國、人才強國的先決條件，也是科技強軍、人才強軍的先決條件。“必須把教育事業(yè)放在優(yōu)先位置”，“優(yōu)先發(fā)展教育事業(yè)”“建設教育強國是中華民族偉大復興的基礎工程”[2]45。

加快提升勞動者技能素質。提高農(nóng)民科技文化素質，推動鄉(xiāng)村人才振興。提升全民受教育程度，提高科學文化素質；提升全民數(shù)字技能。我們已經(jīng)看到，我國的高等教育已進入普及化階段。

就業(yè)是民生之本、穩(wěn)定之基，就業(yè)是最大的民生。作為宏觀調控的主要目標，促進就業(yè)與治理失業(yè)一直是政府最為關心并重點解決的經(jīng)濟社會問題之一。黨中央、國務院始終把就業(yè)保障工作擺在經(jīng)濟社會發(fā)展的突出位置。就業(yè)形勢穩(wěn)定是我國經(jīng)濟發(fā)展的一貫特征，是中國經(jīng)濟韌性最直觀的反映。

農(nóng)業(yè)轉移人口市民化，直接對應的是城鎮(zhèn)就業(yè)。社會在一定時期內的就業(yè)崗位，需要創(chuàng)造，需要統(tǒng)籌設計。千方百計穩(wěn)定和擴大就業(yè)，堅持經(jīng)濟發(fā)展就業(yè)導向，擴大就業(yè)容量，提升就業(yè)質量，促進充分就業(yè)。

(二)制造業(yè)、農(nóng)業(yè)、服務業(yè)

加快發(fā)展現(xiàn)代產(chǎn)業(yè)體系，推進產(chǎn)業(yè)基礎高級化、產(chǎn)業(yè)鏈現(xiàn)代化。加大重要產(chǎn)品和關鍵核心技術攻關力度；深入開展質量提升行動；推動先進制造業(yè)集群發(fā)展；發(fā)展服務型制造。強化企業(yè)創(chuàng)新主體地位，提升企業(yè)技術創(chuàng)新能力，發(fā)揮企業(yè)家在技術創(chuàng)新中的重要作用，支持創(chuàng)新型中小微企業(yè)成長為創(chuàng)新重要發(fā)源地。

提高農(nóng)業(yè)質量效益。強化農(nóng)業(yè)科技和裝備支撐，建設智慧農(nóng)業(yè)；推進優(yōu)質糧食工程；實施鄉(xiāng)村建設行動；以保障國家糧食安全為底線。

服務業(yè)一個主要部分是流通，而流通又涉及市場經(jīng)濟。1979年3月8日，陳云在《計劃與市場問題》提綱中開始思考和探索計劃經(jīng)濟和市場調節(jié)的關系問題。1979年11月26日，鄧小平開始提出社會主義也可以搞市場經(jīng)濟的問題。鄧小平指出：“計劃和市場都是方法”“只要對發(fā)展生產(chǎn)力有好處，就可以利用。它為社會主義服務，就是社會主義的”[3]203。鄧小平強調：計劃經(jīng)濟和市場經(jīng)濟“兩者都是手段，市場也可以為社會主義服務”[3]367。

依托強大國內市場，貫通生產(chǎn)、分配、流通、消費各環(huán)節(jié)，形成國民經(jīng)濟良性循環(huán)。提升供給體系對國內需求的適配性，實現(xiàn)上下游、產(chǎn)供銷有效銜接，促進農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、服務業(yè)、能源資源等產(chǎn)業(yè)門類關系協(xié)調。健全現(xiàn)代流通體系，發(fā)展無接觸交易服務，降低企業(yè)流通成本，降低全社會交易成本。完善擴大內需的政策支撐體系，形成需求牽引供給、供給創(chuàng)造需求的更高水平動態(tài)平衡。

堅持擴大內需，加快培育完整內需體系，形成強大國內市場，以創(chuàng)新驅動、高質量供給引領和創(chuàng)造新需求。提升金融科技水平；推動現(xiàn)代服務業(yè)同先進制造業(yè)、現(xiàn)代農(nóng)業(yè)深度融合。

立足國內大循環(huán)，以國內大循環(huán)吸引全球資源要素，充分利用國內國際兩個市場、兩種資源，積極促進內需和外需、進口和出口、引進外資和對外投資協(xié)調發(fā)展，促進國際收支基本平衡。暢通國內大循環(huán)，促進國內國際雙循環(huán)，建設貿(mào)易強國。

(三)人民生活、收入分配、消費

經(jīng)濟建設和人民生活必須平衡，兩者適合，就能保持經(jīng)濟穩(wěn)定。這是20世紀90年代陳云反復強調的一點。在經(jīng)濟學理論上，這是就業(yè)、生產(chǎn)、消費的三角關系。1.就業(yè)—生產(chǎn)，勞動力是生產(chǎn)要素之一。2.生產(chǎn)—消費，產(chǎn)品實現(xiàn)才有需求實現(xiàn)，交換實現(xiàn)才有利潤實現(xiàn)。這是“消費對經(jīng)濟發(fā)展的基礎性作用”的關鍵所在。3.就業(yè)—消費，就業(yè)實現(xiàn)才有收入實現(xiàn)，一定的收入對應一定的消費。“增進民生福祉是發(fā)展的根本目的。”[2]23

鄧小平說,“在改革中，我們始終堅持兩條根本原則，一是以社會主義公有制經(jīng)濟為主體，一是共同富?！盵3]142；“一個公有制占主體，一個共同富裕，這是我們所必須堅持的社會主義的根本原則”[3]111。

習近平總書記向全國人民宣告我們黨的承諾：“讓改革發(fā)展成果更多更公平惠及全體人民，朝著實現(xiàn)全體人民共同富裕不斷邁進?！盵2]45提高人民收入水平，改善收入和財富分配格局，提高勞動報酬在初次分配中的比重，完善工資制度，健全工資合理增長機制。完善再分配機制，加大稅收、社保、轉移支付等調節(jié)力度和精準性。發(fā)揮第三次分配作用，扎實推動共同富裕?！叭w人民共同富裕邁出堅實步伐”；“到本世紀中葉……全體人民共同富裕基本實現(xiàn)”[2]28。

全面促進消費。提升傳統(tǒng)消費，培育新型消費，適當增加公共消費。鼓勵消費新模式新業(yè)態(tài)發(fā)展，促進線上線下消費融合發(fā)展，開拓城鄉(xiāng)消費市場。發(fā)展服務消費，擴大節(jié)假日消費，改善消費環(huán)境。

(四)文化

提高社會文明程度，推進公民道德建設，實施文明創(chuàng)建工程，是建設文化強國的先決條件。在“發(fā)展素質教育”[2]45的同時，文化產(chǎn)業(yè)的社會效益體現(xiàn)在：營造崇尚創(chuàng)新的社會氛圍，弘揚科學精神和工匠精神，宣傳教育勞動創(chuàng)造幸福，尊重勞動、尊重知識、尊重人才、尊重創(chuàng)造，提倡艱苦奮斗、勤儉節(jié)約，開展糧食節(jié)約行動，弘揚誠信文化，傳承弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，集中體現(xiàn)當代中國精神和全體人民共同的價值追求，“提高人民思想覺悟、道德水準、文明素養(yǎng)”[2]42?！叭嗣裼行叛?，國家有力量，民族有希望”；“深入挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化蘊含的思想觀念、人文精神、道德規(guī)范，結合時代要求繼承創(chuàng)新，讓中華文化展現(xiàn)出永久魅力和時代風采”[2]42。

堅定文化自信，推進社會主義文化強國建設。“文化是一個國家、一個民族的靈魂。文化興國運興，文化強民族強?！盵2]40-41由高度的文化自信到文化的繁榮昌盛，再到中華民族的偉大復興。

(五)財政

完善現(xiàn)代稅收制度，優(yōu)化稅制結構。推進財政支出標準化，以財政政策和貨幣政策為主要手段，就業(yè)、產(chǎn)業(yè)、投資、消費、環(huán)保、區(qū)域等政策緊密配合。這反映出財政在宏觀經(jīng)濟中的主導作用是“促進經(jīng)濟總量平衡”。關鍵在于“以財政政策和貨幣政策為主要手段的宏觀調控體系”，“宏觀調控的主要任務是保持經(jīng)濟總量平衡”[4]16?！柏斦菄抑卫淼幕A和重要支柱，科學的財稅體制是優(yōu)化資源配置、維護市場統(tǒng)一、促進社會公平、實現(xiàn)國家長治久安的制度保障?！盵4]19

以上各項，按一定的標準可分別歸入相關的統(tǒng)計范疇，由此又可以從國家年度統(tǒng)計公報中得到具體數(shù)據(jù)。例如，國家統(tǒng)計局公布的2015年度有關數(shù)據(jù)：科技成果登記數(shù)55284項，應用技術成果48363項。普通高等學校2560所，普通本科在校生數(shù)1576.7萬人，普通本科畢業(yè)生數(shù)358.6萬人，研究生在校生數(shù)1911406人，研究生畢業(yè)生數(shù)551522人。就業(yè)總人數(shù)77451萬人，城鎮(zhèn)登記失業(yè)人數(shù)966萬人。城鎮(zhèn)單位就業(yè)人員工資總額112007.8億元。居民人均可支配收入21966.2元，居民人均消費支出15712.4元。規(guī)模以上工業(yè)企業(yè)單位數(shù)37.4萬個，資產(chǎn)總計999741億元，利潤總額63554億元。農(nóng)林牧漁業(yè)總產(chǎn)值107056.4億元。社會消費品零售總額300930.8億元。國民總收入673837.1億元，國內生產(chǎn)總值676707.8億元，第一產(chǎn)業(yè)60863億元，第二產(chǎn)業(yè)274277.8億元，第三產(chǎn)業(yè)341566.9億元(1)三次產(chǎn)業(yè)分類依據(jù)國家統(tǒng)計局2012年制定的《三次產(chǎn)業(yè)劃分規(guī)定》。。公共財政收入152216.7億元，公共財政支出175767.8億元。[5]

二、計量建模與經(jīng)濟理論

五年規(guī)劃是根據(jù)黨中央建議制定、經(jīng)全國人民代表大會批準、向全社會公布實施、把黨的主張轉化為國家意志和全民行動的綱領性文件。與此相關，聯(lián)系動態(tài)模型，首先明確：可變的中國發(fā)展模式，不變的頂層設計(經(jīng)濟社會發(fā)展必須遵循的原則——堅持黨的全面領導)。新時代的中國，面對兩大任務，即創(chuàng)新主導現(xiàn)代化建設，雙循環(huán)主導新發(fā)展格局；面對兩個大局，即中華民族偉大復興的戰(zhàn)略全局，世界百年未有之大變局。中國發(fā)展模式從來不是一個常量結構，而是一個變量結構。這是“變”，“以變應變”。頂層設計與基層操作，實際上就是思維探索與實踐探索。這是“不變”，“以不變應萬變”。所處環(huán)境決定了“變”與“不變”(2)“以變應變”，“以不變應萬變”，這正是中國傳統(tǒng)哲學思想和傳統(tǒng)決策思想的一個精華，代表了“中華文化展現(xiàn)出永久魅力和時代風采”。對于“變”與“不變”，我們必須弄清楚，在一個已知的歷史背景下，什么需要“變”，什么應該“不變”。。

動態(tài)經(jīng)濟計量模型以時序數(shù)據(jù)為分析的對象，其研究的重心是如何發(fā)現(xiàn)可測經(jīng)濟變量間既帶規(guī)律又有意義的關系。這不僅涉及計量建模，而且涉及經(jīng)濟理論，因為需要從理論與數(shù)據(jù)的連接中建立起與現(xiàn)實密切相關的計量模型。由此說來，模型至少要反映經(jīng)濟行為，驗證有關經(jīng)濟理論。

經(jīng)濟行為與“矛盾無處不在，理性的個人追逐自身利益的強大沖動力，既是經(jīng)濟衰退的主要原因，也是經(jīng)濟增長和繁榮的主要源泉”這一現(xiàn)實密切相關。當然，這與限制人類行為的制度結構(指正式和非正式的規(guī)則)也有一定的聯(lián)系。新古典經(jīng)濟學強調三個基本要素：穩(wěn)定性偏好，理性選擇模型，均衡分析方法。這三個基本要素事實上就是對經(jīng)濟行為主體行為特征的概括。新古典經(jīng)濟學一般化必須要有范疇及范疇關系的發(fā)展，一旦研究的對象不再是資源配置，會質變?yōu)轭愃朴谛轮贫冉?jīng)濟學。然而，新制度經(jīng)濟學的首要組成部分——產(chǎn)權和交易費用理論至今仍有重要疑點或誤區(qū)。我們原本應當弄清楚，宏觀的相互關系這一大背景下，存在著微觀的相互關系。既需要研究宏觀經(jīng)濟的微觀基礎，也需要研究微觀經(jīng)濟的宏觀環(huán)境。問題在于，宏觀環(huán)境的自然法則始終沒有被真正揭示出來。

鑒于相悖理論對同一現(xiàn)實會有不同解釋力，那么當我們面對評判比較和作出選擇時，就需要有一個體現(xiàn)一定的客觀有效性的標準。對此，可視化方法具有獨特的魅力，它強調問題的幾何本質，強調從事物的幾何與物理側面來直觀地理解事物。

什么是幾何學？Klein在他的《Erlangen綱領》里作了回答：幾何學所研究的就是幾何圖形在某類運動所成的群下面的不變性質。譬如，復數(shù)的出現(xiàn)深刻地適合了描述空間本性的需要，二維歐式平面的運動可用復數(shù)來描述，平面向量就是復數(shù)。Atiyah于2000年在南開大學的報告中也特別指出：視覺占用了大腦皮層的80%或90%。因此spatial intuition或者spatial perception是一種非常強有力的工具，也是幾何學在數(shù)學上占有如此重要位置的原因，它不僅對那些明顯具有幾何性質的事物可以使用，而且對那些沒有明顯幾何性質的事物也可以使用；我們努力將它們歸結為幾何形式，因為這樣可以讓我們使用我們的直覺；我們的直覺是我們最有力的武器。

拓撲學與復變函數(shù)有深刻的內在聯(lián)系。譬如，把積分回路看成某個同調類的元，被積式(一個微分形式)則看成上同調類的元，積分則是二者的對偶。再如，復變量的解析函數(shù)，作為從一個二維空間(z平面)到另一個二維空間(w平面)的映射，只不過是很大一類映射的特例。這也是解析映射的拓撲特性。

總之，在這里，我們至少是把可視化方法看成探索經(jīng)濟學真理的手段。如同對一個經(jīng)濟學結論的數(shù)學說明，我們也期盼著，采用新方法將宏觀經(jīng)濟學的難題破解是結束在雙曲幾何的和弦的交響中。

三、微分形式融入幾何學與拓撲學的可視化宏觀經(jīng)濟構思

作為微分形式思考的可視化依據(jù)，我們首先從平面射影幾何的角度給出圖1。

圖1 可視化：問題的幾何本質

圖1中，我們設定，點d1表示第一產(chǎn)業(yè)，點d2表示第二產(chǎn)業(yè)，點d3表示第三產(chǎn)業(yè)α，點d4表示第三產(chǎn)業(yè)β和第三產(chǎn)業(yè)γ，點c1表示教育水平，點c2表示科技水平，點b1表示可就業(yè)總人數(shù)，點e2表示財政(3)自2003年5月14日始，我國開始實施依據(jù)“國際標準三次產(chǎn)業(yè)分類法”的三次產(chǎn)業(yè)劃分。在完全遵照這個“三次產(chǎn)業(yè)劃分”中各個產(chǎn)業(yè)包括的范圍的前提下，筆者從本文所研究問題的角度出發(fā)，進一步設定如下：(1)物質產(chǎn)品生產(chǎn)領域A=第一產(chǎn)業(yè)。包括農(nóng)業(yè)，林業(yè)，畜牧業(yè)，漁業(yè)。(2)物質產(chǎn)品生產(chǎn)領域B=第二產(chǎn)業(yè)。包括采礦業(yè)(煤炭開采和洗選業(yè)，石油和天然氣開采業(yè)，黑色金屬礦采選業(yè)，有色金屬礦采選業(yè)，非金屬礦采選業(yè)，其他采礦業(yè))，制造業(yè)(農(nóng)副食品加工業(yè)，食品制造業(yè)，飲料制造業(yè)，煙草制造業(yè)，紡織業(yè)，紡織服裝、鞋、帽制造業(yè)，皮革、毛皮、羽毛(絨)及其制品業(yè)，木材加工及木、竹、藤、棕、草制品業(yè)，家具制造業(yè)，造紙及紙制品業(yè)，印刷業(yè)和記錄媒介的復制，文教體育用品制造業(yè)，石油加工業(yè)、煉焦及核燃料加工業(yè)，化學原料及化學制品制造業(yè)，醫(yī)藥制造業(yè)，化學纖維制造業(yè)，橡膠制品業(yè)，塑料制品業(yè)，非金屬礦物制品業(yè)，黑色金屬冶煉及壓延加工業(yè)，有色金屬冶煉及壓延加工業(yè)，金屬制品業(yè)，通用設備制造業(yè)，專用設備制造業(yè)，交通運輸設備制造業(yè)，電氣機械及器材制造業(yè)，通信設備、計算機及其他電子設備制造業(yè)，儀器儀表及文化、辦公用機械制造業(yè)，工藝品及其他制造業(yè)，廢棄資源和廢舊材料回收加工業(yè))，電力、熱力的生產(chǎn)和供應業(yè)，燃氣生產(chǎn)和供應業(yè)，水的生產(chǎn)和供應業(yè)，建筑業(yè)(房屋和土木工程建筑業(yè)，建筑安裝業(yè)，建筑裝飾業(yè)，其他建筑業(yè))。(3)物質服務生產(chǎn)領域=第三產(chǎn)業(yè)α。包括交通運輸(鐵路運輸業(yè)，道路運輸業(yè)，城市公共交通業(yè)，水上運輸業(yè)，航空運輸業(yè)，管道運輸業(yè)，裝卸搬運和其他運輸服務業(yè))，倉儲業(yè)，郵政業(yè)，電信和其他信息傳輸服務業(yè)，計算機服務業(yè)，軟件業(yè)，批發(fā)業(yè)，零售業(yè)，住宿業(yè)，餐飲業(yè)，金融業(yè)(銀行業(yè)，證券業(yè)，保險業(yè)，其他金融活動)，房地產(chǎn)業(yè)，租賃業(yè)，商務服務業(yè)。(4)非物質產(chǎn)品生產(chǎn)領域=第三產(chǎn)業(yè)β。包括科學研究(研究與試驗發(fā)展)，技術服務(專業(yè)技術服務業(yè)，科技交流和推廣服務業(yè))，地質勘查業(yè)，教育，文化(新聞出版業(yè)，廣播、電視、電影和音像業(yè))，衛(wèi)生，體育，娛樂業(yè)。(5)非物質服務生產(chǎn)領域=第三產(chǎn)業(yè)γ。包括水利管理業(yè)，環(huán)境管理業(yè)，公共設施管理業(yè)，居民服務業(yè)和其他服務業(yè)，社會保障業(yè)，社會福利業(yè)，公共管理(中國共產(chǎn)黨機關，政府機構)，政協(xié)，社團。。

橢圓C，半短軸b=b1e1=b2e1，短軸的頂點的坐標b1(x5,y1)，b2(x1,y5)；半長軸a=a1e1=a2e1，長軸的頂點的坐標a1(x1,y3)，a2(x9,y3)；半焦距c=c1e1=c2e1，焦點的坐標c1(x3,y3)，c2(x7,y3)。

圓B，圓的半徑r=a1e1=a2e1=d1b1=c1b1=d2b1=d3b1=c2b1=d4b1，圓心的坐標b1(x5,y1)，圓周上的點的坐標d1(x2,y2)，c1(x3,y3)，d2(x4,y4)，d3(x6,y4)，c2(x7,y3)，d4(x8,y2)。

圓E2，圓心的坐標e2(x5,y6)，圓周上的點的坐標c1(x3,y3)，b1(x5,y1)，c2(x7,y3)。

顯然，過點b1且平行于x軸的直線也是橢圓上點b1的切線，則b1又被看作切點。交點d1,c1,d2,d3,c2,d4又稱為橫截交點，對此另設P1=d1，P2=c1，P3=d2，P4=d3，P5=c2，P6=d4。

(一)二次曲線、度量張量

二次曲線對應用數(shù)學的重要性，主要是它的射影性質。相對于二次曲線的度量，一個橢圓定義為平面上這樣的點P的幾何軌跡：它到兩個焦點的距離之和是一常量。如果兩個焦點重合，圖形是一個圓。用解析幾何的語言來說，二次曲線可以用坐標x,y的二次方程來表示。反之，用任意一個二次方程

ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0

可以解析地定義二次曲線比如橢圓、圓等。二次曲線的定義本質上是度量的，因為它用到了距離的概念。但還有另一種定義，二次曲線是一個圓在平面上的投影。簡言之，一個圓的射影。于是，圓在射影下不變的任何性質，也為任意二次曲線所具備。

在橢圓幾何里面，度量張量是用來衡量度量空間中的距離、面積、角度的二階張量ds2=∑ijgijdxidxj。微積分里極坐標的度量張量是ds2=dr2+r2dθ2。度量張量也可以用矩陣(gij)表示，記作G或g。

a到b的弧線長度定義如下，其中參數(shù)定為t，t由a到b：

若f為Rn到Rn的局部微分同胚，其誘導出的度量張量的矩陣形式G，由以下方程計算得出：

G=JTJ

J表示f的Jacobi矩陣，它的轉置為JT。

(二)雙曲運動、自守形式、模形式、模群

雙曲平面H的Poincaré模型是賦予了度量張量

的上半平面(x,y)，y>0。借用復變量z=x+iy而定義的雙曲平面H上的等距：

(1)

稱為H上的一個雙曲運動。

我們知道，雙曲波動方程utt+Lu=0的解由它的初值{u(0),ut(0)}唯一決定。由于算子L在雙曲運動γ下不變，所以如果u(z,t)是這個波動方程在H內的解，那么u(γ(z),t)也是該方程的解。進一步地，若u的初值是自守的，則u(z,t)和u(γ(z),t)有相同的初值，從而這兩個解本身也相同。也可以說，如果雙曲波動方程解的初值是自守的，那么對于所有的t,u(z,t)都是自守的。

模群Γ是所有形如式(1)的雙曲運動組成的群，對出現(xiàn)在式(1)中的a,b,c,d有限定。模群Γ是一個離散子群。H中的域P為離散子群Γ的基本域。解是模群下的自守函數(shù)的雙曲波動方程所定義的數(shù)值散射矩陣的形式。散射矩陣形如

如果不等式

在半群定義域的一個稠密子集上成立，那么必成立不等式

(三)Poincaré對偶性、Lefschetz數(shù)

從微分拓撲學來說，還需要考慮兩個問題。

1.由Poincaré對偶性，給出映射

是非退化的雙線性函數(shù)，因而對任何q有同構

這個線性函數(shù)就是Dq([ω1])，稱Dq為對偶同構。

一般情形，連續(xù)映射f：M→N，有f誘導群的同態(tài)

其中k稱為f的映射度，記為deg(f)=k。由上同調基本性質，若f?g，則f*=g*，所以f的映射度只與f的同倫類有關。映射度為整數(shù)與復分析中的環(huán)繞數(shù)是相等的。

2.由定理給出，f:M→M連續(xù)，則M×M上的相交數(shù)

若n維閉流形M可縮，則M的任何連續(xù)自映射必有不動點。因為M可縮，所以任何連續(xù)映射f:M→M是零倫的，故f*0=1，f*q=0，q>0，于是f的Lefschetz數(shù)等于1，即f有不動點。

(四) Poincaré引理、Stokes定理

微分形式的概念來自積分學，一個積分的被積表達式就是一個微分形式。微分形式的概念是積分概念的基礎。微分形式也是向量場的對偶概念。

1.當把1次微分形式dφ=ω等同于向量場時，它的旋度恒為0?；蛘哒f，旋度場沒有非零的散度。

2.恰當?shù)奈⒎中问揭欢ㄊ情]的。根據(jù)Poincaré引理，由Rn的星形開子集A，若ω∈Ωk(A)，則ω是恰當?shù)漠斍覂H當ω是閉的。

3.由n維閉流形M上的1次微分形式組ω1,…,ωn-k所確定的切子空間場可積，當且僅當對任何x∈M，存在x的鄰域U及其上的1次微分形式組αji，使得

4.根據(jù)Stokes定理，由微分流形M，若ω∈Ωq-1(M)，c∈Sq(M)，則成立等式

其中F是向量場，Φ是曲面。在這里，要想證明ω在M中是恰當?shù)模仨氉C明存在著M上的形式φ，合于dφ=ω。這就等于在整個M中，而不是局部的，解一組偏微分方程。由此可見，在拓撲學的某些方面與微分形式之間，存在著密切的聯(lián)系。

四、結語

本文是《現(xiàn)代化經(jīng)濟體系與新時代民生》(載《南都學壇》2019年第4期)和《在多維空間討論利息——對建構“經(jīng)濟學統(tǒng)一場”的場方程的思考》(載《南都學壇》2020年第3期)兩篇論文的跟進，總體設想是對理論經(jīng)濟學的研究引入新的數(shù)學工具，為經(jīng)濟學的科學方法增加新的內容。

眾所周知，楊小凱曾對新古典經(jīng)濟學發(fā)起方法革命，用超邊際分析替代邊際分析，而經(jīng)濟學的這個新分支或學派就是新興古典經(jīng)濟學。不過稍加留意就會發(fā)現(xiàn)，同樣是針對最優(yōu)決策亦即數(shù)學上的最優(yōu)化問題，區(qū)別僅在于:新古典經(jīng)濟學認為最優(yōu)解是內點解，新興古典經(jīng)濟學認為最優(yōu)解是角點解。就數(shù)學工具而言，求解最優(yōu)化問題的非線性規(guī)劃，通常的方法是微分法，對函數(shù)本身的要求很高，采用微分求導，一般有二階可導。即便如此，超邊際分析同樣無法從根本上解決理論經(jīng)濟學那些新老問題。

與新興古典經(jīng)濟學的新方法不同，筆者希望能夠借助于基礎數(shù)學中的引入了微積分的幾何學與拓撲學，運用其相對先進的功能(指優(yōu)于目前所用經(jīng)濟學拓撲方法)，合理且有效地依靠可視化方法，使宏觀經(jīng)濟學的致命難題真正得以解決。