龍慧豐,羅敏霞

(中國計量大學 理學院,浙江 杭州 310018)

直覺模糊集是模糊集的一般化,由隸屬度和非隸屬度表示,且隸屬度與非隸屬度之和不超過1,直覺模糊集與區(qū)間值模糊集是等價的。許多學者對直覺模糊集及區(qū)間值模糊集做了大量研究。文獻[1]研究了基于左連續(xù)區(qū)間值t-可表示三角范數(shù)的模糊推理五蘊涵算法。文獻[2-8]研究了多屬性決策的方法。然而,直覺模糊集不能表示具有非一致性的信息。投票就是一個很好的例子:投票結(jié)果按選民人數(shù)分為四組,分別是贊成、反對、棄權(quán)和拒絕投票。為了處理這一類型的問題,文獻[9]提出了圖片模糊集,作為直覺模糊集的直接擴展,以正隸屬度、中立隸屬度和負隸屬度表示,且這些隸屬度之和不超過1。一些基于圖片模糊集的多屬性決策的方法已經(jīng)被許多學者提出[10-14]。

在多屬性決策過程中,聚合算子是重要的工具。文獻[11]提出了圖片模糊算術(shù)聚合算子。文獻[15]提出了一些圖片模糊聚合算子,并將其應用于多屬性決策。文獻[16]從概率的角度提出了一些圖片模糊幾何聚合算子,并將其應用于多屬性決策。文獻[17]提出了基于度量、Shapley模糊度量和冪聚合算子的加權(quán)幾何聚合算子。

顯然,上述聚合算子是基于一般三角范數(shù)及其對偶的三角余范的代數(shù)運算法則。在多屬性決策過程中,上述聚合算子不能為決策者提供更多的選擇。因此,學者們基于三角范數(shù)簇及其對偶的三角余范簇提出了一些聚合算子。文獻[18]提出了圖片模糊愛因斯坦聚合算子;文獻[12]提出了圖片模糊Hamacher聚合算子;文獻[19]提出了圖片模糊Dombi聚合算子,并應用到多屬性決策問題。但是,文獻[12]的圖片模糊Hamacher聚合算子的計算過程比較復雜。文獻[19]的圖片模糊Dombi聚合算子聚合的結(jié)果不穩(wěn)定,因為取不同的參數(shù)時,得到了不同的結(jié)果(見例3.1的表5)。

此外,目前基于圖片模糊集的聚合算子沒有公理化定義,現(xiàn)有的聚合算子沒有嚴格的邏輯基礎(chǔ)[11,12,18,19],例如:α?β=(T是三角范數(shù),S是三角余范)的計算結(jié)果未必是一個圖片模糊數(shù)。為了克服這些缺陷,本文給出圖片模糊聚合算子的公理化定義。結(jié)合圖片模糊可表示三角范數(shù)和Frank三角范數(shù),提出Frank加權(quán)平均聚合算子和Frank加權(quán)幾何聚合算子。

1 預備知識

定義1.1[9]在論域X上的圖片模糊集A形式如下:A={|x∈X}。其中μA(x)∈[0,1]稱為“正隸屬度”,ηA(x)∈[0,1]稱為“中隸屬度”,νA(x)∈[0,1]稱為“負隸屬度”,并且μA(x),ηA(x),νA(x)滿足:μA(x)+ηA(x)+νA(x)≤1,?x∈X。ρA(x)=1-(μA(x)+ηA(x)+νA(x))稱為“拒絕度”。<μA(x),ηA(x),νΑ(x)>稱為圖片模糊數(shù)。設所有圖片模糊數(shù)的集合為D*={|x∈[0,1]3,x1+x2+x3≤1},在D*上的序關(guān)系≤D*定義為:x≤D*y?(x1y3)∨(x1=y1,x3=y3,x2≤y2)。并且對于每一個x=,y=∈D*,x∧y和x∨y定義如下[20]:

則(D*,≤D*)是一個完備格。D*上的最大元和最小元分別是1D*=<1,0,0>和0D*=<0,0,1>。

定義1.2[21]Frank三角范數(shù)簇TF:[0,1]2→[0,1],及Frank三角余范簇SF:[0,1]2→[0,1]如下:對于所有的x,y∈[0,1],

定義1.3[20]一個圖片模糊三角范數(shù)T稱為可表示的,如果存在兩個三角范數(shù)T1,T2和一個三角余范S3在[0,1],對于所有的x=,y=∈D*,T(x,y)=。一個圖片模糊三角余范S稱為可表示的,如果存在兩個三角范數(shù)T2,T3和一個三角余范S1在[0,1],對于所有的

x=,y=∈D*,

S(A,B)=。

定義1.4[11,22]令α=<μα,ηα,να>是一個圖片模糊數(shù),圖片模糊數(shù)的分數(shù)函數(shù)和精確函數(shù)定義為:

g(α)=μα-να,g(α)∈[-1,1],

h(α)=μα+ηα+να,h(α)∈[0,1]。

定義1.5[11]令α=<μα,ηα,να>和β=<μβ,ηβ,νβ>∈D*,如果g(α)>g(β),則α>β;如果g(α)=g(β),則

1)h(α)>h(β),則α>β;

2)h(α)=h(β),則α=β。

圖片模糊加權(quán)平均(PFWA)聚合算子和圖片模糊加權(quán)幾何(PFWG)聚合算子[11]:

(2)

圖片模糊Hamacher加權(quán)平均(PFHWA)聚合算子和圖片模糊Hamacher加權(quán)幾何(PFHWG)算子[12]:

(3)

(4)

圖片模糊Dombi加權(quán)平均(PFDWA)聚合算子和圖片模糊Dombi加權(quán)幾何(PFDWG)聚合算子[19]:

PFDWA(α1,α2,…,αn)=

PFDWG(α1,α2,…,αn)=

2 新的圖片模糊聚合算子

定義2.1A稱為D*上一個聚合算子,如果A滿足如下條件:(P1)A(α)=α(?α∈D*);(P2)令αj,βj∈D*如果αj≤βj(j=1,2,…,n),則A(α1,α2,…,αn)≤A(β1,β2,…,βn);

定義2.2令α=<μα,ηα,να>和β=<μβ,ηβ,νβ>是兩個圖片模糊數(shù),T是Frank三角范數(shù),S是對偶的Frank三角余范,并且λ∈[0,+∞),則Frank乘法、Frank加法、Frank數(shù)乘和Frank冪運算定義如下:

α?Fβ=;

α⊕Fβ=;

kα=;

ak=。

2.1 圖片模糊Frank加權(quán)平均聚合算子

定理2.1令

αj=<μαj,ηαj,ναj>∈D*(j=1,2,…,n),λ∈[0,+∞),映射PFFWA:(D*)n→D*定義如下:

(7)

證明:(P1)如果α=<μ,η,ν>,ω=1,則有

PFFWA(<μ,η,ν>)=<1-logλ(1+(λ1-μ-1)ω),

logλ(1+(λη-1)ω),logλ(1+(λν-1)ω)>=<1-

logλ(1+(λ1-μ-1)),logλ(1+(λη-1)),logλ(1+(λν-1))>=<1-logλ(λ1-μ),logλ(λη),logλ(λν)>=<1-(1-μ),η,ν>=<μ,η,ν>。

(P2)令

αj=<μαj,ηαj,ναj>,βj=<μβj,ηβj,νβj>∈D*,αj≤D*βj?(μαj<μβj,ναj≥νβj)

∨(μαj=μβj,ναj>νβj)

∨(μαj=μβj,ναj=νβj,ηαj≤ηβj)。

1)如果αj≤D*βj(μαj<μβj,ναj≥νβj),則:

因此,我們可以得到

PFFWA(α1,α2,…,αn)≤

PFFWA(β1,β2,…,βn)。

2)如果αj≤D*βj(μαj=μβj,ναj>νβj),則:

因此,我們可以得到

PFFWA(α1,α2,…,αn)≤

PFFWA(β1,β2,…,βn)。

3)如果

αj≤D*βj(μαj=μβj,ναj=νβj,ηαj≤ηβj),

則:

因此,我們可以得到

PFFWA(α1,α2,…,αn)≤

PFFWA(β1,β2,…,βn)。

綜上所述,我們可以得到,如果αj≤D*βj,則:

PFFWA(α1,α2,…,αn)≤

PFFWA(β1,β2,…,βn)。

(P3) 如果αj=0D*(j=1,2,…,n),則:

(λ1-0)ω1(λ1-0)ω2…(λ1-0)ωn),logλ(1+(λ0-1)ω1

(λ0-1)ω2…(λ0-1)ωn),logλ(1+(λ1-1)ω1

(λ1-0-1)),logλ(1+(λ0-1)),logλ(1+

(λ1-1))>=<1-logλλ,logλ1,logλλ>

=<0,0,1>=0D*。

(P4) 如果αj=1D*(j=1,2,…,n),則:

(λ1-1-1)ω1(λ1-1-1)ω2…(λ1-1-1)ωn),logλ(1+

(λ0-1)ω1(λ0-1)ω2…(λ0-1)ωn),logλ(1+

因此,PFFWA是一個聚合算子。

2.2 圖片模糊Frank加權(quán)幾何聚合算子

定理2.2令

αj=<μαj,ηαj,ναj>∈D*(j=1,2,…,n),一個映射PFFWG:(D*)n→D*定義如下:

(8)

3 算法與應用

3.1 算 法

第一步:使用PFFWA或PFFWG聚合算子,計算每個方案Ai(i=1,2,…,m)聚合的值。

第二步:使用定義1.4,計算聚合值的分數(shù)函數(shù)值g(Ai)。

第三步:使用定義1.5,按照遞減順序?qū)蛇x方案進行排序,分數(shù)函數(shù)最大的方案則是最好的方案。

本文以上算法具有三個特色。1)此算法有嚴格的邏輯基礎(chǔ),滿足聚合算子的公理化定義。2)利用此算法聚合保證了聚合的結(jié)果是圖片模糊數(shù),克服了存在的算法的缺陷,例如:α?β=(T是三角范數(shù),S是三角余范)的計算結(jié)果不一定是圖片模糊數(shù)。3)此算法含有參數(shù),更具有靈活性。

3.2 應 用

3.2.1 應用到多屬性決策

例3.1[19]為了確定最有利的技術(shù)商業(yè)化,有一個委員會選擇了5個可行的新興技術(shù)企業(yè)Ai(i=1,2,3,4,5),他們選擇了四個屬性對5個可能的新興技術(shù)企業(yè)進行了評估,分別為C1:技術(shù)進步;C2:潛在市場和市場風險;C3:工業(yè)化框架,人力資源和融投資;C4:就業(yè)的形成和科學技術(shù)的進步。屬性的加權(quán)向量ω=(0.2,0.1,0.3,0.4)T,決策矩陣以圖片模糊數(shù)的形式給出,見表1。

表1 決策矩陣

第一步:取λ=2,使用PFFWA和PFFWG分別去計算可選方案聚合的值,聚合結(jié)果見表2。

表2 新興技術(shù)企業(yè)的聚合值

第二步:使用定義1.4,計算聚合值的分數(shù)函數(shù),計算結(jié)果見表3。

表3 分數(shù)函數(shù)的值

第三步:將新興技術(shù)企業(yè)按照分數(shù)函數(shù)值降序排列,分數(shù)函數(shù)值最大的方案為最佳方案,排序結(jié)果見表4。

表4 新興技術(shù)企業(yè)的排序

由表4可知,使用PFFWA和PFFWG聚合算子計算的結(jié)果是一致的,最好的方案是A3。

3.2.2 與一些聚合算子的比較

通過與一些聚合算子的對比:文獻[11]的圖片模糊加權(quán)平均(PFWA)聚合算子和圖片模糊加權(quán)幾何(PFWG)聚合算子;文獻[12]的圖片模糊Hamacher加權(quán)平均(PFHWA)聚合算子和圖片模糊Hamacher加權(quán)幾何(PFHWG)聚合算子;文獻[19]的圖片模糊Dombi加權(quán)平均(PFDWA)聚合算子和圖片模糊Dombi加權(quán)幾何(PFDWG)聚合算子。結(jié)果的比較見表5。

表5 與一些聚合算子的比較結(jié)果

從表5可看出,利用本文提出的聚合算子聚合的結(jié)果與大部分聚合算子聚合的結(jié)果是相同的,最好的方案都是A3。但是,文獻[11]的聚合算子不具有靈活性,因為它不含參數(shù)。雖然文獻[12]和文獻[19]的聚合算子都含有參數(shù),但是文獻[12]的圖片模糊Hamacher聚合算子的計算過程比較復雜。文獻[19]的Dombi聚合算子的聚合結(jié)果不穩(wěn)定。因此,本文提出的圖片模糊Frank聚合算子更靈活、更有效、更實用。

4 結(jié) 論

在本文中,我們給出了圖片模糊聚合算子的公理化定義,為聚合算子研究提供了理論基礎(chǔ)?；趫D片模糊可表示三角范數(shù)和Frank三角范數(shù),提出了一些圖片模糊運算,克服一些已有運算的缺陷。在此基礎(chǔ)上,我們提出圖片模糊Frank加權(quán)平均(PFFWA)聚合算子和圖片模糊Frank加權(quán)幾何(PFFWG)聚合算子,并證明它們滿足公理化定義。此外,我們將所提出的聚合算子應用于多屬性決策問題。實例結(jié)果表明,與一些聚合算子相比,新的聚合算子比一些聚合算子更可靠、更靈活。進一步研究中,我們考慮將PFFWA和PFFWG聚合算子應用到模式識別、醫(yī)療診斷和風險分析等領(lǐng)域。