四川省南充高級(jí)中學(xué)順慶校區(qū) (637000) 張小丹 李 婷

分析：對(duì)于初次遇到這道題的很多同學(xué)而言問題的難點(diǎn)是：對(duì)條件f(f(x0))=x0的變形處理.左邊是“兩層”函數(shù)，其實(shí)我們可以利用函數(shù)的單調(diào)性去掉一個(gè)“f”，再將之化為一個(gè)較為熟悉的問題，易于求解.

(2)再研究條件f(f(x0))=x0.若f(x0)x0，因?yàn)閒(x)單增，∴f(f(x0))>f(x0)，與假設(shè)矛盾；故f(x0)=x0.

反思1：事實(shí)上我們不難發(fā)現(xiàn)，只要函數(shù)在給定區(qū)間上具有單調(diào)性，我們都可以如法炮制.

結(jié)論不妨設(shè)f(x)在所給區(qū)間D上是增函數(shù)，若存在x0∈D，使得f((x0))=x0，則問題等價(jià)于方程f(x)=x在區(qū)間D上有解.

證明：若f(x0)x0，因?yàn)閒(x)單增，∴f(f(x0))>f(x0)，與假設(shè)矛盾；故有f(x0)=x0.

反思2:我們還可以將原題“存在x0”改為“存在2個(gè)x0”或者“存在唯一一個(gè)x0”，研究方法相同.

例1已知函數(shù)f(x)=ex-x-a，若?x0∈[0，1]，使得f(f(x0))=x0，則a的取值范圍是.

詳解：f′(x)=ex-1≥0在區(qū)間[0,1]上恒成立，∴f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增.∴原問題等價(jià)于：方程f(x)=x在區(qū)間[0,1]有解.方程f(x)=x可化為ex-x-a=x?ex-2x=a2②.設(shè)g(x)=ex-2x,x∈[0,1]，∴問題②等價(jià)于函數(shù)g(x)的圖像與直線y=a有交點(diǎn)，由g′(x)=ex-2，令g′(x)=0可得x=ln2，∴g(x)在[0,ln2]上遞減，在[ln2,1]上遞增，從而g(0)=1,g(ln2)=2-2ln2,g(1)=e-2

答案1.D；2.[1,e].