李雙明, 關(guān) 欣, 劉 傲

(海軍航空大學(xué), 山東 煙臺 264001)

0 引 言

信息的不確定性普遍存在于客觀世界,主要體現(xiàn)為模糊性、未知性、不精確性及數(shù)據(jù)類型復(fù)雜等幾個方面。模糊集理論和證據(jù)理論是處理不確定信息常用的理論工具,并且取得了許多的研究成果[1-3]。

模糊集[4]使用隸屬度函數(shù)來刻畫元素與集合之間的二元模糊關(guān)系[5],但對于復(fù)雜的信息描述則顯得捉襟見肘,為此,1986年,保加利亞學(xué)者Atanassov教授提出了直覺模糊集的概念[6],經(jīng)過40多年的發(fā)展,大家對直覺模糊集的信息測度、集成算子[7]、偏好關(guān)系等方面進(jìn)行了深入研究,已經(jīng)廣泛應(yīng)用在了聚類分析、模式識別、圖像融合和屬性決策等眾多領(lǐng)域[8-11]。而這些應(yīng)用中,研究最多的是直覺模糊集的距離度量[12-14],而對于直覺模糊數(shù)運算的應(yīng)用較少。

證據(jù)理論[15-16]提供了描述未知信息和處理認(rèn)知不確定信息的理論框架,克服了概率論在描述未知不確定信息的缺陷,把概率中的事件空間拓展了冪集空間,在風(fēng)險評估、信息融合、故障診斷、態(tài)勢評估等得到了應(yīng)用。該理論主要包括信度函數(shù)、似然函數(shù)及組合規(guī)則,前者表示在特定證據(jù)下,決策者對假設(shè)或命題的支持程度,后者用來進(jìn)行推理決策。但是證據(jù)理論要求滿足兩個獨立條件:辨識框架中的元素必須互相獨立,組合規(guī)則中的證據(jù)源必須相互獨立。然而在實際的應(yīng)用中,研究的對象及獲得的證據(jù)并不總是相互獨立的。在某些情況下,辨識框架中的信息是不完備的,組合規(guī)則不能處理不完備的基本信度賦值(basic belief assignment, BBA)。

混合數(shù)據(jù)類型包括實數(shù)、區(qū)間數(shù)、序列數(shù)、灰數(shù)、三角模糊數(shù)、直覺模糊數(shù)、模糊語言術(shù)語等,從數(shù)據(jù)融合的角度,又可以分為特征層數(shù)據(jù)[17-20]和決策層數(shù)據(jù)[21]或二者的混合數(shù)據(jù)[22]。由于傳統(tǒng)決策方法在異構(gòu)數(shù)據(jù)決策上的適用性受到限制,為此有兩種解決思路:一是對傳統(tǒng)決策方法進(jìn)行改進(jìn),構(gòu)建異類數(shù)據(jù)間的度量方法;二是將異構(gòu)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到同種數(shù)據(jù)類型,利用傳統(tǒng)方法進(jìn)行決策。這些方法的缺點是未能充分捕捉數(shù)據(jù)中蘊含的不確定信息。為此,結(jié)合直覺模糊集和證據(jù)理論的優(yōu)點,以文獻(xiàn)[23]中提到的信度生成方法為思路,本文對異類數(shù)據(jù)的融合開展研究。

1 直覺模糊數(shù)的折扣算子

1.1 預(yù)備知識

記X為有限非空集合,X上的直覺模糊集記為A={x,μA(x),vA(x)|x∈X},其中,μA:X→[0,1],vA:X→[0,1]分別稱為x對X的隸屬度和非隸屬度函數(shù),滿足0≤μA(x)+vA(x)≤1。

Xu等[24]稱直覺模糊對α=(μα,vα)為直覺模糊數(shù),滿足μα∈[0,1],vα∈[0,1],0≤μα+vα≤1。

模糊信息的比較法則是一個十分重要的概念,廣泛被采用的是計分函數(shù)s(α)和精確函數(shù)h(α)，即

s(α)=μα-vα

(1)

h(α)=μα+vα

(2)

基于計分函數(shù)和精確函數(shù),直覺模糊數(shù)α1和α2之間的比較法則描述如下。

(1) 如果s(α1)

(2) 如果s(α1)>s(α2),則α1>α2。

(3) 如果s(α1)=s(α2),則又可分為3種情況:

如果h(α1)

如果h(α1)>h(α2),則α1>α2；

如果h(α1)=h(α2),則α1=α2。

1.2 直覺模糊數(shù)折扣算子及合成法則

定義 1設(shè)兩個直覺模糊數(shù)α=(μα,vα)和β=(μβ,vβ),對任意λ∈[0,1],那么直覺模糊數(shù)的折扣算子為

λα=(λμα,λvα+1-λ)

(3)

直覺模糊數(shù)的合成法則[25]為

α⊕β=(μα+μβ-μαμβ,vαvβ)

(4)

定義 1滿足性質(zhì):

性質(zhì) 1λα仍是一個直覺模糊數(shù);

性質(zhì) 2α⊕β仍是一個直覺模糊數(shù);

性質(zhì) 3α⊕β=α⊕β;

性質(zhì) 4λ(α⊕β)≤λα⊕λβ;

性質(zhì) 5(λ1⊕λ2)α≤λ1α⊕λ2α。

證明根據(jù)定義1,有μα≤1,vα≤1,且0≤μA(x)+vA(x)≤1,那么,λμα≤λ≤1,則λvα+1-λ≤λ+1-λ≤1,有

λμα+λvα+1-λ=
λ(μα+vα)+1-λ≤λ+1-λ=1

所以,性質(zhì)1成立。

組合法則中的μα+μβ-μαμβ是一個t-模,當(dāng)0≤μα≤1,0≤μβ≤1時,則0≤μα+μβ-μαμβ≤1成立,而0≤vαvβ≤1顯然成立,對于

μα+μβ-μαμβ+νανβ≤
μα+μβ-μαμβ+(1-μα)(1-μβ)=1

成立,因此性質(zhì)2成立。

性質(zhì)3顯然成立。

因為

λ(α⊕β)=λ(μα+μβ-μαμβ,vαvβ)=
(λμα+λμβ-λμαμβ,λvαvβ+1-λ)

則λ(α⊕β)的計分函數(shù)為

s1=λμα+λμβ-λμαμβ-λvαvβ-1+λ

因為

λα⊕λβ=(λμα,λvα+1-λ)⊕(λμβ,λvβ+1-λ)=
(λμα+λμβ-λ2μαμβ,
λ2vαvβ+λ(1-λ)(vα+vβ)+(1-λ)2)

則λ(α⊕β)的計分函數(shù)為

s2=λμα+λμβ-λ2μαμβ-λ2vαvβ-
λ(1-λ)(vα+vβ)-(1-λ)2

有

s2-s1=(λ-λ2)
(μαμβ+vαvβ-vα-vβ+1)≥0

因此,性質(zhì)(4)成立。

同理可證性質(zhì)(5)成立。

證畢

為表示方便,令Ω為所有直覺模糊數(shù)的集合,基于定義1,給出如下定義。

定義 2設(shè)有n個直覺模糊數(shù)αi(i=1,2,…,n),第i個直覺模糊數(shù)的權(quán)重為wi,映射IFWA滿足:Ωn→Ω,有

IFWA(α1,α2,…,αn)=⊕i=1,2,…,nwiαi

(3)

則稱IFWA為直覺模糊數(shù)的折扣加權(quán)算子。

2 異類數(shù)據(jù)的距離度量

定義 3實數(shù)與區(qū)間數(shù)的距離

(4)

定義 4區(qū)間數(shù)之間的距離

(5)

定義 5序列數(shù)之間的距離

(6)

定義 6序列數(shù)與區(qū)間數(shù)之間的距離

(7)

3 異類數(shù)據(jù)的多屬性融合方法

3.1 問題描述

以目標(biāo)識別問題為研究背景,首先對問題進(jìn)行描述。

3.2 基于灰關(guān)聯(lián)的系數(shù)矩陣

(8)

根據(jù)灰關(guān)聯(lián)方法[14],計算待識別目標(biāo)與數(shù)據(jù)庫中目標(biāo)在各特征屬性上的灰關(guān)聯(lián)系數(shù)為

(9)

ξl=[ξli(xlj,θij)]m×n

(10)

式(10)為典型的多屬性決策問題的描述矩陣,矩陣中的元素都為效益型,即ξl中的元素值越大,選定為該目標(biāo)的可能性就越大。

3.3 直覺模糊數(shù)的生成

第3.2節(jié)把目標(biāo)識別問題轉(zhuǎn)換成了一個多屬性決策的問題,那么下面講述如何把關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)換成直覺模糊數(shù)矩陣。

在多屬性決策問題上,準(zhǔn)則Cj上的評估向量sj=[S1j，S2j，…，Sij,…，SMj]T,其中Sij∈R,存在辨識框架Θ={A1,A2,…,AM},對于Θ中的任意焦元Ai,定義其正證據(jù)支持和負(fù)證據(jù)支持分別為

(11)

(12)

(13)

需要說明的是,稱Supj(Ai)為Ai的正證據(jù)支持,表征在準(zhǔn)則Cj上方案Ai優(yōu)于其他方案的程度,稱Infj(Ai)為Ai的負(fù)證據(jù)支持,表征在準(zhǔn)則Cj上方案Ai劣于其他方案的程度。

構(gòu)造每個備選方案Ai的直覺模糊數(shù)描述方式,其步驟如下:

步驟 1通過式(11)和式(12)計算每個備選方案Ai的證據(jù)支持Supj(Ai)和Infj(Ai);

步驟 3定義Ai的信任度,來表示命題“Ai比其競爭方案優(yōu)”的證據(jù)支持,具體表示為

mij(Ai)=Belij(Ai)

將第3.2節(jié)中的關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣通過本節(jié)中的方法,就可以得到以直覺模糊數(shù)表述的決策矩陣為

I=[αij]m×n

(14)

式中,αij=(μαij,ναij)。

3.4 屬性權(quán)重

熵測度[26]是直覺模糊集測度的重要研究內(nèi)容之一,本節(jié)從熵的角度研究屬性權(quán)重的計算問題。

定義 7[27]設(shè)論域X={x1,x2,…,xn},A為X上的一個直覺模糊集,則A的直覺熵為

(15)

根據(jù)熵理論,如果某特征屬性的熵越小,對決策者而言,就越能提供更多有用的信息,那么該特征屬性分配的權(quán)重就應(yīng)該越大,反之就應(yīng)該越小,可計算各特征屬性的權(quán)重[28]為

(16)

(17)

滿足0≤Hk≤1。

3.5 多屬性融合方法步驟

根據(jù)前面的內(nèi)容,得到異類數(shù)據(jù)的多屬性融合方法,具體步驟如下:

步驟 1將傳感器獲取的多屬性異類目標(biāo)參數(shù)分類形成測量矩陣;

步驟 2計算多屬性目標(biāo)屬性值與目標(biāo)數(shù)據(jù)庫異類數(shù)據(jù)之間的距離;

步驟 3根據(jù)灰關(guān)聯(lián)分析,形成多屬性目標(biāo)屬性值與數(shù)據(jù)庫的關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣ξl;

步驟 4對關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣進(jìn)行信度的生成,得到BBA矩陣M=[mij(·)]m×n;

步驟 5將BBA矩陣轉(zhuǎn)化成直覺模糊數(shù)描述矩陣I=[αij]m×n;

步驟 6進(jìn)行折扣加權(quán)算子運算,得到融合后總的目標(biāo)直覺模糊決策向量為

由于本文重點關(guān)注直覺模糊數(shù)的組合法則和異類數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)化,步驟7中采用了簡單的判決方法,當(dāng)然也可以采用其他復(fù)雜的判決方法。

4 算例驗證

4.1 多屬性決策算例

分別以單屬性決策算例和多屬性決策算例,對本文中直覺模糊數(shù)組合法則進(jìn)行比對驗證。

(1) 單屬性決策算例[29]

算例 1考慮效益型單屬性Cj以及7個備選方案Ai(i=1,2,…,7),并有如下的得分向量Sj=[10,20,-5,0,100,-11,0]T,通過得分向量對7個備選方案進(jìn)行排序。

按照得分?jǐn)?shù)越大,方案越優(yōu)的原則進(jìn)行排序,很顯然有如下的排列順序:

A5>A2>A1>(A4～A7)>A3>A6

如果通過第3.3節(jié)中的方法,獲得每個方案的證據(jù)后,用DS證據(jù)理論的組合規(guī)則進(jìn)行排序的話,組合后的信度分配為

根據(jù)上述結(jié)果,只能判別方案A5是最優(yōu)的,但無法區(qū)分其他方案。

用本文方法得到各方案的計分函數(shù)值為s1=0.312 5,s2=0.937 5,s3=-0.625,s4=-0.312 5,s5=1,s6=-1,s7=-0.312 5。

根據(jù)上述計分函數(shù)值,易得方案的排列順序為A5>A2>A1>(A4～A7)>A3>A6。

可見,與得分排序的結(jié)果一至,證明本文所提的直覺模糊信息組合規(guī)則方法是可行的。

(2) 多屬性決策算例[30]

算例 2設(shè)某一多屬性決策問題,有5個備選方案Ai(i=1,2,…,5),每個方案有4個評價指標(biāo),且都為效益型屬性,權(quán)重向量為w=[1/6,1/3,1/3,1/6],得分矩陣為

將本文方法與文獻(xiàn)[23]中的BF-TOPSIS1～BF-TOPSIS3方法進(jìn)行對比驗證,以運行時間來衡量算法的復(fù)雜度,驗證結(jié)果如表1所示。

表1 本文方法及BF-TOPSIS1/2/3的計算結(jié)果

從表1中的結(jié)果可知,在方案集{A1,A2,A3,A4,A5}和{A1,A2,A3,A4}上,本文的方法和BF-TOPSIS1/2/3的排序結(jié)果是一致的;在方案集{A1,A2,A3}上,本文的方法和BF-TOPSIS1/2的排序結(jié)果是一致的。本文算法復(fù)雜度顯然要比BF-TOPSIS1～BF-TOPSIS 3方法低1個數(shù)量級;當(dāng)隨著方案集的規(guī)模增大時,BF-TOPSIS1～BF-TOPSIS3方法的運行時間呈現(xiàn)倍數(shù)增長的趨勢,而本文方法所用時間較為穩(wěn)定,說明本文方法為線性運算,而BF-TOPSIS方法為非線性運算,尤其對于BF-TOPSIS3來說,當(dāng)方案集中的數(shù)量很大時,其運算時間會以數(shù)量級為單位增加,這是由其PCR6本身的復(fù)雜組合規(guī)則所決定的。

4.2 雷達(dá)輻射源識別算例

以雷達(dá)輻射源識別為應(yīng)用對象,設(shè)數(shù)據(jù)庫中存在5類雷達(dá),分別為R1,R2,R3,R4和R5,每類雷達(dá)包括射頻(radio frequency, RF)頻率、脈沖重復(fù)周期(pulse repetition interval, PRI)、脈沖寬度(pulse width, PW)、相像系數(shù)(resemblance coefficient, CR)等4種特征屬性,R1在每種特征屬性上分別有2、3、2和2種工作模式,則R1共有24種工作模式,R2,R3,R4和R5分別有4×3×2×2=48,2×3×3×2=36,4×2×2×2=32和2×2×2×3=24種工作模式。每類雷達(dá)相應(yīng)工作模式的取值范圍如表2所示。設(shè)數(shù)據(jù)庫中的屬性值類型依次為區(qū)間數(shù)、序列數(shù)、區(qū)間數(shù)和實數(shù)。

表2 工作模式的數(shù)據(jù)取值范圍

在數(shù)據(jù)庫中的工作模式上疊加隨機噪聲,隨機抽取產(chǎn)生待識別目標(biāo)的特征屬性值。設(shè)有3個待識別目標(biāo),目標(biāo)A1的屬性值類型依次為序列數(shù)、區(qū)間數(shù)、實數(shù)和區(qū)間數(shù),目標(biāo)A2的屬性值類型依次為序列數(shù)、序列數(shù)、實數(shù)和區(qū)間數(shù),目標(biāo)A3的屬性值類型依次區(qū)間數(shù)、序列數(shù)、區(qū)間數(shù)和序列數(shù)。

(1) 單次識別結(jié)果分析

選取待識別目標(biāo)1/2/3的工作模式序號分別為132、67和160,根據(jù)本文方法,直覺模糊數(shù)按降序排列對應(yīng)的工作模式分別為{132,125,131,126,116,…,108,107,105,106,103}, {66,67,65,68,57,59,69,…,14,13,22,18,21,17},{160,159,164,162,161,163,…,5,4,22,21,3,1,2},

按照排序結(jié)果,分別判決為R2類、R4類和R5類,各待識別目標(biāo)直覺模糊數(shù)計分值的變化如圖1所示。目標(biāo)2的模式序號排列首個為66,而不是選定的模式67,為此將模式66、模式67和待識別目標(biāo)的測量值列于表3。分析表3,模式66和模式67只在特征Cr上有細(xì)微的區(qū)別,其他3個特征上的數(shù)值相同,待識別模式在特征Cr上的測量值為區(qū)間數(shù),本文的異類數(shù)據(jù)實質(zhì)上為不確定數(shù)據(jù),那么在這種情況下,是不能區(qū)分待識別模式的所屬模式,故將模式判斷為模式66也是正確的。

圖1 待識別目標(biāo)1～目標(biāo)3的計分值變化曲線Fig.1 Score changing curve for unknown target 1～3

表3 已知模式和待識別模式的測量值比對

(2) 多次識別結(jié)果分析

進(jìn)行1 000次蒙特卡羅實驗,采用本文方法、BF-TOPSIS1方法、BF-TOPSIS2方法及BF-TOPSIS3方法,分別在本文權(quán)重計算方法、權(quán)重1(w1=[1/4,1/4,1/4,1/4]T)及權(quán)重2(w2=[1/2,1/8,1/4,1/8]T)上進(jìn)行仿真,識別結(jié)果如表4所示,表4給出了類識別結(jié)果和工作模式識別結(jié)果的正確率。

表4 類別/工作模式識別結(jié)果的正確率

從表4可知,在工作模式識別上,BF-TOPSIS方法的識別率是非常低的,不能用于工作模式的識別。無論在類識別,還是工作模式識別上,本文方法的識別率都比較高。本文方法對不同權(quán)重,其識別率是不同的,在本文權(quán)重上其識別率是最高的,而BF-TOPSIS方法對權(quán)重的依賴性較小,尤其是BF-TOPSIS3方法,權(quán)重值的不同對識別結(jié)果影響較小,這是由PCR6本身對沖突規(guī)則組合的原理所決定的,然而其識別率是劣于本文方法的。

5 結(jié) 論

本文從直覺模糊數(shù)的角度,對異類數(shù)據(jù)的多屬性融合問題進(jìn)行了研究,定義了新的直覺模糊數(shù)折扣算子,列出了相關(guān)的基本性質(zhì),并給出了證明過程,為多屬性的信息融合提供了理論基礎(chǔ)。定義了異類數(shù)據(jù)的距離測度,為實現(xiàn)異類數(shù)據(jù)之間的度量提供了理論基礎(chǔ)。給出了將灰關(guān)聯(lián)系數(shù)轉(zhuǎn)成直覺模糊數(shù)的生成原理,并基于直覺模糊熵,提出了一種未知權(quán)重的計算方法。結(jié)合多屬性決策算例和雷達(dá)輻射源識別算例,驗證了所提方法的有效性。