柯曉曼, 吳云華, 鄭墨泓, 李文星, 杜津銘, 華 冰, 陳志明

(南京航空航天大學航天學院, 江蘇 南京 210016)

0 引 言

隨著衛(wèi)星在軌服務的迅速發(fā)展,燃料加注、部件升級和替換、大型衛(wèi)星在軌組裝等任務對衛(wèi)星姿態(tài)控制提出更高的要求。比較著名的在軌服務計劃包括美國“鳳凰計劃”和“地球同步衛(wèi)星機器人服務(robotic servicing of geosynchronous satellites, RSGS)”。“鳳凰計劃”為實現(xiàn)部件重復利用,將不同失效航天器的有效部件重新組裝;RSGS項目的長期目標是以空間機器人為開端,在地球同步軌道(geosynchronous orbit, GEO)上建立持久自主服務能力衛(wèi)星,提供可靠、高性價比的GEO衛(wèi)星服務[1]。顯然,在軌服務過程中衛(wèi)星的質量和質心將發(fā)生變化,從而導致衛(wèi)星轉動慣量等參數(shù)產生較大變化。因此,針對參數(shù)不確定的衛(wèi)星姿態(tài)敏捷機動控制成為當前的研究熱點。傳統(tǒng)的滑模變結構[2-4]可能出現(xiàn)抖振情況,自適應[4-6]容易產生誤操作,反步法[3-4,7-9]系統(tǒng)需要滿足嚴格反饋,并且上述控制方法存在需要較多先驗信息等缺點。而基于機器學習的智能控制通過自我學習能力完成控制,具有需要先驗信息少、無需精確的動力學建模等優(yōu)點,將其應用于參數(shù)不確定的衛(wèi)星姿態(tài)控制具有較大優(yōu)勢。因此,本文基于智能控制方法,設計迭代學習控制(iterative learning control, ILC)器[10-15],減小對動力學模型的依賴,完成姿態(tài)敏捷機動任務,有效解決周期性干擾帶來的誤差,提高姿態(tài)控制的動態(tài)性能、魯棒性與敏捷性。

國內外許多學者對ILC進行了詳細的介紹和研究。代明光等[11]提出一種開環(huán)比例微分型迭代學習非線性增益自適應控制律,驗證收斂條件,但并未考慮航天器具體模型及執(zhí)行機構輸出能力等實際應用情況。WANG[12]提出了一種預測ILC并證明了其收斂性,但沒有考慮存在干擾情況下的ILC律的收斂性。WU等[13]使用預測ILC,在系統(tǒng)已穩(wěn)定的情況下有效提高了系統(tǒng)姿態(tài)機動精度,但是其采用了Bang-Bang控制來實現(xiàn)敏捷機動,即整個機動過程中不存在勻速階段,該控制模式對執(zhí)行機構的要求較為嚴苛,需要執(zhí)行機構長時間工作在較大力矩輸出狀態(tài)并滿足大力矩突變的要求;并且對參數(shù)存在較大不確定性的系統(tǒng),沒有在執(zhí)行機構的輸出能力范圍內對如何實現(xiàn)快速大角度姿態(tài)機動予以綜合考慮。HU等[14]設計了一個迭代學習觀測器,并詳細證明其收斂性,基于此設計,提出一個積分型滑?？刂坡?將虛擬控制信號分別施加于三軸,最后通過魯棒控制分配算法實現(xiàn)三軸姿態(tài)控制,具有一定的穩(wěn)定性和魯棒性。LEE等[15]針對容錯航天器的姿態(tài)機動設計了一種改進ILC律,可有效應對外界干擾和執(zhí)行機構故障,具有一定的魯棒性,但沒有考慮航天器參數(shù)不確定的問題。

對于在太陽同步軌道運行的氣象、偵察和地球資源衛(wèi)星等,每天在相同地方指定地點,在大致相同的條件下觀測地面,意味著衛(wèi)星工作環(huán)境近似,受到的力矩干擾呈現(xiàn)周期性變化,因此提出從智能控制算法出發(fā)設計ILC來進行姿態(tài)控制,有效解決周期性干擾,提高姿態(tài)控制系統(tǒng)性能;并且減小對模型的依賴,解決燃料變動問題,有利于實現(xiàn)在軌部件組裝后的衛(wèi)星姿態(tài)控制以提高有效部件使用壽命。

除了可靠、性能優(yōu)異的控制方法,參數(shù)不確定的衛(wèi)星姿態(tài)敏捷機動任務還要求執(zhí)行機構能夠輸出高精度大力矩?？刂屏赝勇?control moment gyro, CMG)憑借其力矩放大的優(yōu)點成為較優(yōu)選擇。然而,CMG存在奇異問題[16-17],包括橢圓奇異和雙曲奇異,當其陷入奇異狀態(tài)時,將產生較大的輸出誤差,無法實現(xiàn)控制目標。WIE[18]介紹的CMG加權偽逆操縱律可精確輸出期望控制力矩大小,但無法規(guī)避幾何奇異點。因此,有研究[19-21]提出引入反作用飛輪(reaction wheel, RW),使用CMG和RW組成的混合執(zhí)行機構能有效地解決上述問題。本文采用金字塔構型CMG集群配合3個正交RW的混合執(zhí)行機構,實現(xiàn)對上述奇異和飽和問題的規(guī)避。

基于衛(wèi)星姿態(tài)敏捷機動的目標,針對參數(shù)不確定的衛(wèi)星,本文結合遞階飽和控制和ILC,設計了改進預測迭代學習姿態(tài)敏捷控制策略,減小控制算法對動力學模型的依賴性,實現(xiàn)高精度姿態(tài)敏捷機動,提高系統(tǒng)的性能,能夠應用于具有在軌航天器對接背景的工程及定軌周期性運動的衛(wèi)星等,具有較高的實際應用價值。

1 姿態(tài)運動學和動力學

1.1 常用坐標系

地心慣性坐標系OXiYiZi:原點位于地球質心,OXi軸指向春分點,OZi軸為地球自旋軸并且指向北極,OYi軸由右手坐標系確定。

軌道坐標系OXoYoZo:原點位于衛(wèi)星質心,OXo軸指向衛(wèi)星的速度方向,OZo軸為地心與衛(wèi)星質心的連線并且指向地心,OYo軸由右手坐標系確定。

衛(wèi)星本體坐標系OXbYbZb:坐標系固連在衛(wèi)星本體上,原點位于衛(wèi)星質心,三軸與衛(wèi)星的慣量主軸重合。

1.2 姿態(tài)運動學

用四元數(shù)Q=[q0,qT]T描述本體坐標系OXbYbZb相對于軌道坐標系OXoYoZo的方位。q=[q1,q2,q3]T為四元數(shù)矢部,q0為四元數(shù)標部。

基于四元數(shù)的衛(wèi)星姿態(tài)運動學方程為

(1)

(2)

(4)

基于誤差四元數(shù)的衛(wèi)星姿態(tài)運動學方程為

(5)

1.3 姿態(tài)動力學

考慮混合執(zhí)行機構,衛(wèi)星的動量矩為

(6)

考慮存在外界干擾力矩d,則衛(wèi)星的姿態(tài)動力學方程表示為

(7)

式中,‖d‖≤dmax。

由式(3)可得

(8)

2 姿態(tài)敏捷機動控制器設計

2.1 控制器整體設計框架

控制器基于傳統(tǒng)反饋控制方法和ILC。傳統(tǒng)反饋控制方法采用改進遞階飽和控制,以實現(xiàn)原系統(tǒng)穩(wěn)定,處理非周期性干擾,ILC則適用于存在重復性干擾力矩且具有重復運動性質的被控對象。

本文采用并聯(lián)控制結構[22],如圖1所示。ILC和反饋控制器對被控對象實施的控制分量較容易確定,從而簡化設計過程。ILC律中ek可以使用當前時刻t或t+δ時刻的取值,后者為反饋-預測ILC律。

圖1 反饋-ILC流程圖(并聯(lián)結構)Fig.1 Feedback-ILC flow chart (parallel structure)

考慮混合執(zhí)行機構的輸出能力,基于迭代學習的姿態(tài)敏捷機動控制器為

(9)

式中,U為控制約束即所能輸出最大力矩;ufb,k(t)和uff,k(t)分別為反饋控制和ILC提供的控制力矩。

本文首先對遞階飽和控制進行改進,并以其為基礎引入ILC。

2.2 改進遞階飽和控制器

綜合考慮衛(wèi)星在軌運行的實際狀態(tài)和任務執(zhí)行要求,包括精確性、敏捷性和魯棒性等,基于改進預測迭代學習的姿態(tài)敏捷機動控制器采用對執(zhí)行機構要求較為友好的遞階飽和控制,使系統(tǒng)處于穩(wěn)定控制狀態(tài)。

將狀態(tài)方程分為狀態(tài)量、控制量、干擾量3個模塊進行分析控制,可表示為

(10)

式中，B=[0J-1]T。則改進遞階飽和控制律為

(11)

(12)

式中,L為控制約束;p和c為控制增益;a為最大機動角加速度;飽和函數(shù)satA(*)定義為

(13)

式中,A為一個非負常值。

將控制力矩ufb代入式(8)可得

(14)

式(5)與式(14)構成誤差四元數(shù)姿態(tài)和姿態(tài)角速度的狀態(tài)方程。

2.3 改進預測ILC器設計

衛(wèi)星轉動慣量存在較大的不確定性,此外,測量誤差及干擾力矩存在,且控制器參數(shù)存在相互制約問題,難以同時滿足高精度、高敏捷性和無超調要求。因此,提出加入改進預測ILC,提高姿態(tài)機動的性能。ILC律中的uff,k+1=f(uff,k,ek)由上一層控制律決定。

機動總時長為T,對于[0,T-δ],預測ILC律[13]為

uff,k+1(t)=uff,k(t)-kpJqe,k(t+δ)-kdJωk(t+δ)

(15)

對于[T-δ,T],預測ILC律為

uff,k+1(t)=uff,k(t)-kpJqe,k(T)-kdJωk(T)

(16)

式中,uff,k(t)表示在第k層t時刻ILC量;xk(t+δ)表示在第k層t+δ時刻狀態(tài)量;kp和kd為控制增益;δ為一個取值較小的采樣周期;定義uff,0(t)=0。

式(15)所示的預測ILC律并未考慮執(zhí)行機構狀態(tài),姿態(tài)敏捷機動過程無法實現(xiàn)加速-勻速-減速3個階段,并且未綜合考慮輸出力矩要求和姿態(tài)角速度大小限制,因此對控制律進行改進,提出改進預測ILC律為

uff,k+1(t)=uff,k(t)-kpJsatL[qe,k(t+δ)]-kdJωk(t+δ)

(17)

2.4 控制器性能分析

控制器主要分為改進遞階飽和控制和改進預測ILC兩個部分。本文對原遞階飽和控制進行改進,考慮陀螺效應耦合項和軌道角速度的變化項,下面通過Lyapunov第二方法對改進遞階飽和控制器穩(wěn)定性進行證明。

根據式(11)遞階飽和控制律可得衛(wèi)星姿態(tài)狀態(tài)方程為

(18)

式中，P=pI3×3；C=cI3×3。

構造正定Lyapunov函數(shù)(能量函數(shù))為

(19)

在非平衡點處，有V>0,對式(19)求導有

(21)

改進預測ILC作為前饋控制器不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此,控制器性能分析重點為改進預測ILC的魯棒收斂性問題,下面闡述該控制律收斂條件。

在控制器正常工作(未達到飽和力矩)時,衛(wèi)星姿態(tài)誤差狀態(tài)方程為

(22)

(23)

引理 1[12]利普希茨連續(xù)條件:對于在實數(shù)集子集的函數(shù),f:D?R→R,若存在常數(shù)K,使得‖f(a)-f(b)‖≤K‖a-b‖?a,b∈D,則稱f符合利普希茨條件,對于f最小的常數(shù)K稱為f的利普希茨常數(shù)。

f(x)=[f1(x),f2(x)]T,B=[0,J-1]T,b=J-1滿足引理1,在時域[0,T]內,f(x)關于x滿足一致全局利普希茨條件,且定義B有界,可得:‖f(x)‖≤cf‖x‖,‖B‖≤bB,‖f1(x)‖≤cf1‖x‖,‖f2(x)‖≤cf2‖x‖,‖b‖≤bb,其中,cf,cf1,cf2分別為函數(shù)f(x),f1(x),f2(x)的利普希茨常數(shù),bB和bb為函數(shù)B和b的范數(shù)約束。

(24)

定理 1對式(22)施加改進預測ILC控制律式(24),如果‖I-δΓB‖≤ρ<1,δ為非常小的正數(shù),循環(huán)迭代,當k→∞,uff,k和xk一致有界,收斂于一個指定的范圍。

當參數(shù)Γ的選擇滿足定理1時,基于改進預測ILC的姿態(tài)敏捷機動控制器收斂,uff,k對所有迭代學習層數(shù)k一致有界,狀態(tài)量收斂。δ為采樣周期,表示預測時間段,與參數(shù)Γ相制約,在一定范圍內,選擇的δ較大時,參數(shù)Γ選擇范圍較小,反之亦然。

證明對式(24)所示改進預測ILC律進行魯棒收斂性證明。狀態(tài)量x(t+δ)可表示為

(25)

將式(25)代入式(24)有

(26)

式(26)兩邊取范數(shù),有

‖uff,k+1(t)‖=

‖(I-δΓB)uff,k(t)-kpJsatL{x1,k(t)+

(27)

又因為

‖satL[x1(t)]‖≤‖x1(t)‖

(28)

可得

‖uff,k+1(t)‖≤ρ‖uff,k(t)‖+bΓ1‖x1,k(t+δ)‖+

Ο(δ2)≤ρ‖uff,k(t)‖+bΓ1‖x1,k(t)‖+

ρ‖uff,k(t)‖+(bΓ+bΓcfδ)‖xk(t)‖+bΓbBdmaxδ+Ο(δ2)

(29)

由式(25)可得xk(t)的等式,對其兩邊求取范數(shù),有

‖xk(t)‖=

(30)

由引理2,對于式(30)可得

‖xk(t)‖≤

(31)

將式(31)代入式(29)得

Ο(δ2)≤ρ‖uff,k(t)‖+(bΓ+bΓcfδ)‖xk(0)‖ecft+

bΓbBdmaxδ+Ο(δ2)

(32)

對式(32)左右乘上e-λ t,定義γ=max{(bΓ+bΓcfδ)bB,cf},并且λ>γ,可得

e-λ t‖uff,k+1(t)‖≤

ρe-λ t‖uff,k(t)‖+(bΓ+bΓcfδ)‖xk(0)‖e(cf-λ)t+

(33)

λ范數(shù)性質 1[10]對于常向量c∈Rn,‖c‖λ=‖c‖。

對式(33)左右求λ范數(shù),則有

(34)

式中,

ρ′=ρ+γ(1-e(γ-λ)T)/(λ-γ)

γ′=bΓ+bΓcfδ

當參數(shù)Γ選擇滿足‖I-δΓB‖≤ρ<1,選擇合適的λ和γ可使ρ′<1,因此uff,k+1(t)的λ范數(shù)收斂于以0為中心,κ/(1-ρ′)為半徑的鄰域內。

所以有

(35)

同理,可證

(36)

由此可證,當‖I-δΓB‖≤ρ<1,選擇合適的λ和γ可使改進預測ILC律收斂,ILC律uff,k和狀態(tài)量xk一致有界。

證畢

改進預測迭代學習的姿態(tài)敏捷機動控制考慮到執(zhí)行機構的輸出限制,對力矩、姿態(tài)角和姿態(tài)角速度加入一定飽和約束條件。相較于經典的ILC,該改進預測ILC律具有較高的敏捷性和魯棒性,姿態(tài)機動過程中存在勻速階段,符合執(zhí)行機構工作狀態(tài),可以應用于存在內部與外界干擾、所處初始姿態(tài)不同并且轉動慣量不確定的航天器姿態(tài)機動任務。

3 混合執(zhí)行機構

3.1 混合執(zhí)行機構構型配置

采用金字塔構型CMG集群[25-26]及3個正交RW組成的混合執(zhí)行機構,如圖2所示。通過CMG和RW協(xié)同工作,解決CMG奇異和RW飽和問題。

圖2 混合執(zhí)行機構構型示意圖Fig.2 Configuration diagram of hybrid actuator

CMG框架角為α=[α1,α2,α3,α4]T,框架傾角為β,每個CMG轉子動量矩都為h0,CCMG為CMG系統(tǒng)在衛(wèi)星本體坐標系的構型矩陣。RW系統(tǒng)轉動慣量為JRW=diag(JRW1,JRW2,JRW3),RW的角速度為ΩRW=[ΩRW1,ΩRW2,ΩRW3]T。執(zhí)行機構動量矩Hact為CMG系統(tǒng)動量矩HCMG和RW系統(tǒng)動量矩HRW之和，即

(37)

式中,定義s(β)≡sinβ;c(β)≡cosβ;s(αi)≡sinαi;c(αi)≡cosαi。

(38)

在CMG系統(tǒng)可輸出3軸力矩的情況下,當rank(JCMG)<3時,CMG處于奇異狀態(tài)。引入CMG奇異度量SCMG和RW飽和度量SRW,從而判斷是否可以規(guī)避奇異狀態(tài)和飽和狀態(tài)。

(39)

(40)

SCMG越小,CMG越趨近奇異狀態(tài),當SCMG=0,CMG于奇異狀態(tài);SRW越大,RW越趨近飽和狀態(tài),當SRW=1,RW于飽和狀態(tài)。

3.2 混合執(zhí)行機構操縱律

CMG經典的加權偽逆操縱律[18]為

(41)

(42)

加權偽逆操縱律優(yōu)點是能夠精確無誤差地輸出控制器所要求的控制力矩,但當CMG處于奇異狀態(tài)的時候,無法解算其偽逆解,因此無法使用該操縱律?；旌蠄?zhí)行機構加權偽逆操縱律可以解決該問題,操縱律[26]為

(43)

式中，加權矩陣W=WT。通過研究發(fā)現(xiàn)，基于混合執(zhí)行機構的零運動操縱律可以規(guī)避部分內部橢圓奇異點和雙曲奇異點,提高執(zhí)行機構的性能。零運動操縱律[26]為

(44)

(45)

式中,零運動強度參數(shù)?>0,大小選擇與SCMG有關;d′為零運動矢量;混合執(zhí)行機構整體性能分析函數(shù)Sact定義為

(46)

式中,參數(shù)λi和τi為正數(shù),λ1+λ2+λ3=1,τi的選取與飽和度及奇異度的閾值有關。

4 數(shù)學仿真及分析

針對轉動慣量具有較大不確定性的衛(wèi)星,應用基于改進預測迭代學習的敏捷機動控制器,并采用混合執(zhí)行機構。與文獻[8]提出的基于反步法的航天器魯棒自適應姿態(tài)機動控制器進行對比。為了便于比較,文獻[8]的姿態(tài)控制律為

設定外界干擾力矩為

敏感器測量噪聲為0.005°,0.001(°)/s。軌道半徑為6 900 km。

本文提出的控制器和混合執(zhí)行機構參數(shù)如表1和表2所示?；诟倪M預測迭代學習的敏捷機動控制器的系統(tǒng)姿態(tài)角誤差仿真結果如表3所示。姿態(tài)角誤差和姿態(tài)角速度仿真結果分別如圖3和圖4所示。基于反步法的航天器魯棒自適應姿態(tài)機動控制器的系統(tǒng)姿態(tài)角誤差和姿態(tài)角速度仿真結果分別如圖5和圖6所示。

表1 控制器參數(shù)

表2 混合執(zhí)行機構參數(shù)

表3 姿態(tài)角誤差仿真結果

圖3 姿態(tài)角誤差Fig.3 Attitude angle error

圖4 姿態(tài)角速度Fig.4 Attitude angular velocity

圖5 姿態(tài)角誤差(反步法)Fig.5 Attitude angle error (backstepping)

圖6 姿態(tài)角速度(反步法)Fig.6 Attitude angular velocity (backstepping)

姿態(tài)敏捷機動只使用改進遞階飽和控制器(uff,1(t)=0),即第1層姿態(tài)控制,從仿真結果可知,系統(tǒng)動態(tài)性能不佳,存在較大峰值,振蕩次數(shù)較多,超調問題嚴重,主要原因為轉動慣量存在不確定性。因此,引入改進預測ILC,在第2層姿態(tài)機動過程中超調量有所減小,直至第10層姿態(tài)機動過程中超調量較小,姿態(tài)機動時長較短。由航天器第1層至第10層姿態(tài)機動仿真結果可知,該改進型控制器有效地減弱了調節(jié)過程中存在的峰值,第10層超調量減小至第1層超調量的2.30%,調節(jié)時間減小至92.88%,提高了系統(tǒng)的動態(tài)性能,系統(tǒng)的敏捷性較好,并且姿態(tài)機動過程中存在勻速階段,對執(zhí)行機構的要求較為友好;姿態(tài)角誤差為0.005°,穩(wěn)定后系統(tǒng)姿態(tài)角誤差較小,姿態(tài)角速度為0.002(°)/s,系統(tǒng)具有較高的精確性。

由圖5和圖6可知,采用已有基于反步法的航天器魯棒自適應姿態(tài)機動控制器,系統(tǒng)在68.411 s時達到控制目標,調節(jié)時間略長于本文提出控制器的調節(jié)時間(36.489 s),姿態(tài)角誤差為0.009°,穩(wěn)定后姿態(tài)角速度為0.004(°)/s,姿態(tài)機動過程不存在勻速階段。

仿真結果可證明本文提出的控制器相較于已有控制器具有更高的敏捷性與精確性,姿態(tài)角速度幅值更小且存在勻速階段,具有更佳的控制性能。因此,本文提出的控制器設計合理,可以完成指定的任務指標,有效應對外界干擾和參數(shù)不確定性問題。

uc=[ucxucyucz]T為期望控制力矩,ue=[uexueyuez]T為控制力矩輸出誤差?；诟倪M預測迭代學習的敏捷機動控制器與執(zhí)行機構的仿真結果如圖7～圖9所示,基于反步法的航天器魯棒自適應姿態(tài)機動控制器與執(zhí)行機構的仿真結果如圖10～圖12所示。

圖7 期望控制力矩Fig.7 Desired control torque

圖8 控制力矩輸出誤差Fig.8 Output error of control torque

圖9 混合執(zhí)行機構性能Fig.9 Hybrid actuator performance

圖10 期望控制力矩(反步法) Fig.10 Desired control torque (backstepping)

圖11 控制力矩輸出誤差(反步法)Fig.11 Output error of control torque (backstepping)

圖12 混合執(zhí)行機構性能(反步法)Fig.12 Hybrid actuator performance (backstepping)

因為第1、2、9、10層控制力矩輸出誤差和執(zhí)行機構性能度量函數(shù)較為相似,故只展示第1層和第10層仿真結果圖。由圖7與圖10對比可知,本文提出的控制器相較于基于反步法控制器具有較多優(yōu)點:姿態(tài)機動過程不存在力矩較大突變,力矩變化較為平緩,執(zhí)行機構無需長時間處于大力矩輸出狀態(tài)。由圖8和圖11可知,輸出控制力矩誤差較小,誤差在可接受范圍內,基于零運動操縱律的混合執(zhí)行機構能精確輸出期望力矩。由圖9和圖12可知,SRW較小,SCMG較大,證明該操縱律規(guī)避了CMG群奇異問題和RW組飽和問題,具有優(yōu)秀力矩輸出性能。

5 結 論

針對參數(shù)不確定的衛(wèi)星,在存在外界干擾、量測噪聲的情況下,進行姿態(tài)敏捷機動控制。

(1) 改進遞階飽和控制可處理陀螺效應耦合項和軌道角速度變化項的影響,使系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)且滿足執(zhí)行機構性能約束,物理意義明確,便于控制器魯棒收斂性能分析。

(2) 基于改進預測迭代學習的姿態(tài)敏捷機動控制可提高系統(tǒng)動態(tài)性能和敏捷性,有限層數(shù)迭代后,系統(tǒng)超調量減小了97.70%,調節(jié)時間減小了7.12%,對參數(shù)不確定性和外界干擾等問題具有較高的魯棒性與精確性。姿態(tài)敏捷機動過程考慮執(zhí)行機構輸出力矩限制,可實現(xiàn)加速-勻速-減速3個階段的姿態(tài)運動。

(3) 考慮到姿態(tài)敏捷機動需要執(zhí)行機構能夠提供較大的輸出力矩,使用CMG和RW組成的混合執(zhí)行機構,并采用零運動操縱律有效地解決了CMG奇異問題和RW飽和問題。