鄭 松

(福州市第十四中學(xué)，福建福州，350004)

隨著基礎(chǔ)教育教學(xué)改革的進(jìn)一步推進(jìn)，教師應(yīng)當(dāng)在初中階段就著手培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，尤其是數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，其數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)尤為重要。數(shù)學(xué)抽象簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，可分成形成數(shù)學(xué)概念、形成數(shù)學(xué)命題和模型、形成數(shù)學(xué)方法和思想、形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和體系這四部分。對(duì)此，教師應(yīng)當(dāng)立足實(shí)際，改進(jìn)以往傳統(tǒng)教學(xué)方式，幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，內(nèi)化知識(shí)。這樣既能強(qiáng)化學(xué)生抽象能力，又能提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)這條路上走得更遠(yuǎn)。

一、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的概念

抽象是將研究的事物從某種角度看待的本質(zhì)屬性抽出來(lái)考察的思維方法，是人們從感性認(rèn)識(shí)中了解事物本質(zhì)特征的一種必要能力?？茖W(xué)抽象要客觀、可檢驗(yàn)、實(shí)在，不能虛浮空洞?？茖W(xué)抽象借助概念、模型來(lái)開(kāi)展思維活動(dòng)，科學(xué)、物理、化學(xué)、生物等都有符合自己學(xué)科領(lǐng)域特點(diǎn)的抽象。而數(shù)學(xué)作為一門(mén)科學(xué)，除了抽象這個(gè)一般共性之外，還有自己的特征屬性。也就是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中提到的，需要通過(guò)抽象的方式，從數(shù)量與數(shù)量的關(guān)系、圖形與圖形的關(guān)系中獲得數(shù)學(xué)概念與概念間的關(guān)系，基于事物背景抽象得到一般規(guī)律與結(jié)構(gòu)，并以數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行表達(dá)描述[1]。史寧中教授對(duì)數(shù)學(xué)抽象有自己的一番見(jiàn)解，他提出了數(shù)學(xué)的三大基本思想，也就是抽象、圖例與模型。他認(rèn)為抽象分兩層，一層是直觀描述，另一層是符號(hào)表達(dá)。他還指出第一層抽象為物理背景，以自然語(yǔ)言表達(dá)，更加直觀容易創(chuàng)造，也容易出現(xiàn)反例；第二層抽象為符號(hào)化的，符號(hào)化就是數(shù)學(xué)中的符號(hào)語(yǔ)言，符號(hào)化是嚴(yán)謹(jǐn)且難以挑出毛病的。教師在教學(xué)中必須先認(rèn)知第一層抽象，也就是物理背景和具體背景，而不能沉浮在抽象符號(hào)的海洋中，要先帶領(lǐng)學(xué)生形成感性認(rèn)知，在直觀了解后，再作出判斷。第二層抽象則要幫助學(xué)生形成具體的符號(hào)語(yǔ)言，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行描述。數(shù)學(xué)三大基本思想中數(shù)學(xué)抽象占據(jù)一席，數(shù)學(xué)表達(dá)應(yīng)當(dāng)為符號(hào)的，而數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是物理的；數(shù)學(xué)證明是形式的，但數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)是直觀的。對(duì)此，教師就需要思考：怎樣以物理實(shí)例來(lái)導(dǎo)入課程，設(shè)計(jì)哪些有探究性的問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，以哪些題目來(lái)讓學(xué)生對(duì)所獲數(shù)學(xué)概念、規(guī)則進(jìn)行符號(hào)化應(yīng)用？這些都無(wú)法一蹴而就，而需要一步步的努力和改進(jìn)才能達(dá)成。

二、初中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)特征表現(xiàn)

數(shù)學(xué)的本質(zhì)注定了其知識(shí)是抽象嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模菀讕Ыo學(xué)生枯燥之感，使其學(xué)習(xí)起來(lái)提不起興趣，也容易產(chǎn)生一種天然的抗拒感。分析初中數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)特征，有助于教師更好地認(rèn)知數(shù)學(xué)抽象，積極探索多種途徑來(lái)強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的養(yǎng)成。

(一)特殊性

數(shù)學(xué)抽象要以確定條件為出發(fā)點(diǎn)，在明確相關(guān)概念后，經(jīng)過(guò)一系列的推理，來(lái)獲得科學(xué)合理的結(jié)論，進(jìn)而保證結(jié)果的準(zhǔn)確性。數(shù)學(xué)抽象的客觀對(duì)象屬性被拋去，單單留下量的關(guān)系和空間形式。這一抽象便形成了特殊的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)客觀世界的獨(dú)特認(rèn)知形式，從對(duì)象形式結(jié)構(gòu)和數(shù)量特征入手來(lái)達(dá)成問(wèn)題解決這一目的，該抽象性體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與別的學(xué)科之間的差別，這也是其特殊性特征的表現(xiàn)。[2]

(二)構(gòu)造性

我們通常將數(shù)學(xué)抽象認(rèn)知為一種構(gòu)造性的活動(dòng)，需要通過(guò)確實(shí)的定義來(lái)勾畫(huà)出數(shù)學(xué)獨(dú)享，這被稱作數(shù)學(xué)對(duì)象邏輯建構(gòu)。數(shù)學(xué)中有很多概念的抽象是現(xiàn)實(shí)原型得來(lái)的，如點(diǎn)、線、三角形等。當(dāng)然，并非所有的概念都是從現(xiàn)實(shí)原型抽象獲得的，一些概念是基于原本數(shù)學(xué)對(duì)象，通過(guò)邏輯建構(gòu)來(lái)得到的數(shù)學(xué)新知識(shí)。數(shù)學(xué)的構(gòu)造性主要通過(guò)弱抽象、強(qiáng)抽象來(lái)表現(xiàn)。弱抽象是原型某特征抽象得來(lái)的，原型內(nèi)涵減少，結(jié)構(gòu)削弱，外延外擴(kuò)，最后得到相比原結(jié)構(gòu)更大的結(jié)構(gòu)。比如，初中所教的全等三角形，形狀一樣、大小一樣的特征內(nèi)涵改為形狀一樣，其就成為相似三角形的概念。因而，弱抽象可以說(shuō)是特殊——一般的一個(gè)過(guò)程。強(qiáng)抽象則不同，其是原型將新特征引入，來(lái)增加原型內(nèi)涵，強(qiáng)化結(jié)構(gòu)，縮小外延，從而得到比原本更加豐富的結(jié)構(gòu)。如初中所教的，先是四邊形，然后是平行四邊形，再是矩形，依流程推出。由此可見(jiàn)，強(qiáng)抽象和弱抽象相反，其為一般—特殊的過(guò)程。

(三)層次性

數(shù)學(xué)抽象有很多層次，其可由現(xiàn)實(shí)世界客觀事物抽象得到，也能基于數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)來(lái)抽象獲得。從數(shù)學(xué)抽象深度層面而論，可大概分成三階段：第一階段，明確事物本質(zhì)，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、條理化，清晰地將事物表達(dá)出來(lái)，這被稱作簡(jiǎn)約階段；第二階段，去掉具體內(nèi)容，用概念、圖形等來(lái)表述涵蓋簡(jiǎn)化事物在內(nèi)的一些事物，這被稱為符號(hào)階段；第三階段，借由假設(shè)和推理來(lái)構(gòu)建法則、模型，并基于一般意義來(lái)解釋具體事物，這被稱作普適階段。徐利治教授曾說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)抽象層次性特征，應(yīng)當(dāng)以認(rèn)識(shí)論的視角來(lái)觀察分析，所以他提出了“數(shù)學(xué)抽象的度”，以此以數(shù)量方式來(lái)刻畫(huà)數(shù)學(xué)抽象層次性。[3]比如，教師教授學(xué)生“三角形”相關(guān)概念的時(shí)候，可以先將木棍想象為線段，通過(guò)三支細(xì)棒將本質(zhì)屬性分離出來(lái)，根據(jù)并非同一直線的三線段的首尾依次相連組成得到的圖形來(lái)進(jìn)行定義；接著再用△來(lái)表示；最后總結(jié)三角形的一些概念，如中線、高線等。

三、基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)改進(jìn)方法

(一)情境創(chuàng)設(shè)，帶領(lǐng)學(xué)生抽象問(wèn)題共性以形成數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念，簡(jiǎn)單地說(shuō)是人的大腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征進(jìn)行反映的一種形式。它是數(shù)學(xué)邏輯起點(diǎn)，也為認(rèn)知建立的基礎(chǔ)，更是數(shù)學(xué)思維形成的核心。要有效形成數(shù)學(xué)概念，就要借由實(shí)際問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、概括。比如，初中所教的函數(shù)，其概念便是實(shí)際問(wèn)題兩變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系抽象結(jié)構(gòu)；分式，其概念為分?jǐn)?shù)符號(hào)化所得，為一般性描述的分?jǐn)?shù)特殊屬性，通過(guò)類(lèi)比方法抽象方才獲得的。[4]

(二)培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

“以字母表示數(shù)”是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和核心，代數(shù)中列方程解應(yīng)用題、幾何中量的表示都無(wú)法離開(kāi)它。它是代數(shù)學(xué)科的精華，也是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展強(qiáng)化的重要內(nèi)容。[5]

例如，教師在教學(xué)生“月歷表中的數(shù)學(xué)規(guī)律”的時(shí)候，展示一個(gè)案例：表1、表2為某月的月歷。

表1 某月的月歷1

表2 某月的月歷2

提問(wèn)：(1)有陰影的方框中的9個(gè)數(shù)之和與方框正中心的數(shù)有什么關(guān)系？(2)假如把帶陰影的方框移到圖2的位置，(1)中的關(guān)系是否仍成立？(3)不變化陰影方框大小，將方框進(jìn)行不同位置的移動(dòng)，能獲得何結(jié)論？能否證明該結(jié)論？(4)這個(gè)結(jié)論對(duì)任意一個(gè)月的月歷都成立么？

粗略來(lái)看，前面的3個(gè)問(wèn)題要求學(xué)生對(duì)特殊位置上9個(gè)數(shù)的和進(jìn)行計(jì)算，但其實(shí)質(zhì)上是要找出9個(gè)數(shù)排列的規(guī)律，月歷中任意位置數(shù)字以整式來(lái)進(jìn)行表示。教師可引導(dǎo)學(xué)生分3種思路來(lái)深入思考，首先是分析月歷數(shù)字排列為何規(guī)律，再由排列規(guī)律來(lái)探尋得到運(yùn)算規(guī)律，化簡(jiǎn)應(yīng)用整式加減，表現(xiàn)一般規(guī)律，最后思考怎樣以字母簡(jiǎn)化表示方法與運(yùn)算。

這個(gè)過(guò)程充分體現(xiàn)出“數(shù)式通性”和由數(shù)到式、由特殊到一般弱抽象的數(shù)學(xué)思想。找出月歷中數(shù)字的排列規(guī)律并不困難，但要分不同角度、采用不同方法來(lái)探索抽象出月歷中隱含的數(shù)量關(guān)系及其規(guī)律，對(duì)于學(xué)生而言比較困難。所以，教師需要充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生愿意主動(dòng)投入學(xué)習(xí)中。教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，親身實(shí)踐操作選擇用字母表示數(shù)，自主探究后再小組談?wù)摻涣?，設(shè)那個(gè)數(shù)為字母a的情況不同，學(xué)生評(píng)價(jià)不同方法的差異，最后獲得最優(yōu)方案：以字母表示最中間的數(shù)(表3)。學(xué)生在交流合作的探究過(guò)程中，能夠體會(huì)到問(wèn)題解決的多種途徑策略，獲得更多的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)，增強(qiáng)實(shí)際問(wèn)題解決能力，熟練數(shù)學(xué)符號(hào)應(yīng)用方法，強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)能讓學(xué)生由具體情境來(lái)抽象出數(shù)量關(guān)系與變化規(guī)律，并用符號(hào)表示，直觀來(lái)看，實(shí)為問(wèn)題一般化過(guò)程，學(xué)生的符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)能帶動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)走向更高層次水平。

表3 設(shè)中間的數(shù)為a

(三)立足“運(yùn)用”的結(jié)構(gòu)式抽象，把牢數(shù)學(xué)概念關(guān)系

“運(yùn)用是學(xué)習(xí)的最終目的?！痹跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的漫漫長(zhǎng)路上，“運(yùn)用”毋庸置疑是最終的境界，其為數(shù)學(xué)抽象的轉(zhuǎn)化，也能幫助學(xué)生牢牢把握概念關(guān)系。要深刻認(rèn)識(shí)概念本質(zhì)關(guān)系，數(shù)學(xué)強(qiáng)抽象這一行為的支持十分重要。強(qiáng)抽象與弱抽象類(lèi)同，其都為事物認(rèn)知的基本方式。站在思維行為的角度來(lái)說(shuō)，弱抽象、強(qiáng)抽象其實(shí)都具有特殊與一般性的關(guān)系特征。[6]

比如，“四邊形—梯形—平行四邊形—矩形或菱形—正方形”和“映射—函數(shù)—初等函數(shù)—一次函數(shù)—正比例函數(shù)”這一概念流程。通過(guò)強(qiáng)抽象，學(xué)生能對(duì)“子概念”特征有更深入的認(rèn)識(shí)，如矩形對(duì)角線互相相等且平分、菱形對(duì)角線相互平分且垂直，等等。這一些局部特征，能輔助學(xué)生對(duì)基本圖形性質(zhì)、類(lèi)型有更明確的了解，凸顯出數(shù)學(xué)抽象作用及事物認(rèn)知價(jià)值。

前面提到，根據(jù)抽象程度不一，可分為約簡(jiǎn)階段、符號(hào)階段和普適階段。依托強(qiáng)抽象的作用，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)需要擔(dān)起三維度抽象的任務(wù)。第一，“約簡(jiǎn)概念”，需切實(shí)把握概念本質(zhì)特征，明確強(qiáng)抽象具體化功能；第二，“符號(hào)概念”，需把握概念關(guān)系特征，實(shí)現(xiàn)更優(yōu)強(qiáng)抽象素養(yǎng)；第三，“普適概念”，開(kāi)拓解法體系結(jié)構(gòu)，讓問(wèn)題解決能力與抽象思維更進(jìn)一步，如此，學(xué)生在課堂上便能夠?qū)W有所獲。

例如，教師在上“圓的基本概念”這一課時(shí)，可以根據(jù)強(qiáng)抽象原則，由三條主線來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析探索。主線一，讓學(xué)生隨意剪下一張圓卡紙，并互相交流自己的剪裁方法，然后將卡紙旋轉(zhuǎn)進(jìn)行觀察，再根據(jù)自己觀察所得來(lái)以語(yǔ)言描述圓和動(dòng)態(tài)圓所具有的特征。學(xué)生積極舉手說(shuō)說(shuō)自己平常生活中見(jiàn)過(guò)哪些圓形，著重形態(tài)本質(zhì)。主線二，學(xué)生在圓卡紙上將圓心標(biāo)記出，然后于同一平面任意取一點(diǎn)，將其和圓心連起來(lái)，度量思考半徑與圓心距大小的關(guān)系。學(xué)生在互相交流后，可抽象出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。主線三，教師啟發(fā)牽引著學(xué)生在探索處理問(wèn)題的過(guò)程中，著重感受點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、基本屬性，以圓卡紙折疊后抽象得到垂徑定理，畫(huà)圖的時(shí)候能更好地認(rèn)識(shí)集合概念的一般意義。以上子概念內(nèi)涵特征的有效把握基于強(qiáng)抽象的反復(fù)作用。

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)占據(jù)著初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的第一位置，也始終貫穿學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。教師要立足實(shí)際，基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)來(lái)積極改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)模式，循序漸進(jìn)地在教學(xué)活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生積累由具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。