楊靜寧，趙永剛*，張亞民，雷芳明

(1.蘭州理工大學理學院，730050，蘭州；2.中如建工集團有限公司，226500，江蘇，南通)

0 引言

振動現(xiàn)象廣泛存在于日常生活或生產(chǎn)實踐中，也是工程實踐中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象。而在工程實際中，經(jīng)常遇到的最簡單的振動系統(tǒng)則是單自由度系統(tǒng)，單自由度系統(tǒng)的自由振動反映了振動的一些最基本的規(guī)律。現(xiàn)行的理論力學教科書中，對振動系統(tǒng)(尤其是單自由度系統(tǒng))微幅自由振動的固有頻率求解均作了介紹。通常情況下，單自由度系統(tǒng)微幅自由振動的固有頻率可通過振動的微分方程、能量法以及靜位移(靜變形)法3種途徑來求解。但是現(xiàn)有教科書[1-5]以及相關資料[6-8]中大多通過微分方程和能量法來求解單自由度系統(tǒng)自由振動的固有頻率，而對靜位移法介紹甚少。本文將對靜位移法做進一步的討論和推廣，得到了利用系統(tǒng)在外力(外力偶)作用下產(chǎn)生的靜位移(靜角位移)來求一般單自由度系統(tǒng)微幅自由振動固有頻率的一般方法。

1 理論分析

如圖1所示，鉛垂平面內(nèi)的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，彈簧(彈性元件)的剛性系數(shù)為k，物體(慣性元件)的質(zhì)量為m。圖1中δsd為物體產(chǎn)生的微小位移，稱為靜位移。以平衡位置為鉛直坐標x的原點，其自由振動微分方程為[5]

圖1 鉛垂面內(nèi)的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)

(1)

固有頻率為

(2)

一般的單自由度振動系統(tǒng)，均可簡化成如圖2所示的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)。設等效在集中質(zhì)量點的質(zhì)量為m，等效剛性系數(shù)為k。在集中質(zhì)量點加一振動方向上的小常力F，m產(chǎn)生的靜位移為δsd，則δsd=F/k，以平衡位置為坐標x的原點，微幅自由振動時的振動方程與式(1)相同，固有頻率為

圖2 單自由度系統(tǒng)的簡化模型

(3)

由振動方程可見，此常力并不影響系統(tǒng)自由振動的固有頻率；而從式(3)可知，固有頻率可通過外力F和外力作用下產(chǎn)生的靜位移δsd來計算。

水平面內(nèi)可繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體，如圖3所示。盤簧的剛性系數(shù)為k，剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，在小的外力偶M作用下轉(zhuǎn)過一個角度φsd=M/k，稱為靜角位移。以相對于平衡位置的轉(zhuǎn)角φ為位移坐標，其自由振動微分方程為

圖3 水平面內(nèi)可繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體

(4)

(5)

考慮一般的有轉(zhuǎn)動的單自由度振動系統(tǒng)(如具有一個自由度的平移剛體或機構(gòu))，由于是單自由度系統(tǒng)，運動中各構(gòu)件角速度ωi的比例關系可由各構(gòu)件間的運動關系確定。設系統(tǒng)微幅振動時，各構(gòu)件對其各自速度瞬心的轉(zhuǎn)動慣量為Ji，則定義系統(tǒng)對于第j個構(gòu)件瞬心的廣義轉(zhuǎn)動慣量(平移剛體可設與運動方向垂直線上一點為其速度瞬心，按集中質(zhì)量來計算，對廣義轉(zhuǎn)動慣量不產(chǎn)生影響)為

在第j個構(gòu)件上作用一轉(zhuǎn)動方向上的小力偶M，該構(gòu)件在振動方向上繞瞬心轉(zhuǎn)過一個微小轉(zhuǎn)角φsd，此時振動系統(tǒng)的固有頻率可表示為

(6)

2 實例分析

2.1 無轉(zhuǎn)動的振動

如圖4所示，斜面上的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，集中質(zhì)量為m，彈簧的剛性系數(shù)為k，斜面的傾角為α，在重力作用下物體的靜位移[5]為δsd=mgsinα/k，由式(3)可知其固有頻率為

圖4 斜面上的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)

而由式(2)得出的結(jié)果是錯誤的，這是因為重力作用的方向和振動方向不同。

2.2 有轉(zhuǎn)動的振動

如圖5所示的有轉(zhuǎn)動的系統(tǒng)，設繩子不可伸長，均質(zhì)圓輪半徑為r，對輪心的轉(zhuǎn)動慣量為J，物體重P=mg，彈簧的剛性系數(shù)為k。不考慮輪軸的摩擦，則靜位移δsd=P/k，靜角位移φsd=δsd/r=P/(rk)。系統(tǒng)對輪心的廣義轉(zhuǎn)動慣量為JQ=J+mr2，根據(jù)式(6)，系統(tǒng)的固有頻率為

圖5 有轉(zhuǎn)動的單自由度系統(tǒng)

(7)

而根據(jù)式(3)得出的結(jié)果是錯誤的，這說明系統(tǒng)中的構(gòu)件有轉(zhuǎn)動時，式(3)將不再適用。

2.3 多機構(gòu)的振動

圖6 與彈簧及滑塊相連的曲柄連桿機構(gòu)

(8)

這說明系統(tǒng)中的構(gòu)件有轉(zhuǎn)動時，可利用任一構(gòu)件的靜角位移來計算固有頻率。

2.4 平面運動剛體的振動

若水平面是光滑的，半圓環(huán)此時的速度瞬心在C點，如圖7(b)所示，則固有頻率

(9)

若水平面是粗糙的，半圓環(huán)微幅振動時為純滾動，瞬心在A點，如圖7(c)所示，則固有頻率

圖7 垂直放置在水平面上做微幅自由振動的半圓環(huán)

(10)

可以看出，利用靜位移法求解此振動系統(tǒng)固有頻率簡捷有效。

3 結(jié)束語

本文對靜位移法作了進一步的討論和推廣，得到了利用系統(tǒng)在外力(外力偶)作用下產(chǎn)生的靜位移(靜角位移)來求一般單自由度系統(tǒng)微幅自由振動固有頻率的一般方法，此方法簡潔有效，可用于理論力學教學的補充。并得出如下結(jié)論。

1)單自由度系統(tǒng)微幅自由振動時的固有頻率可利用在其振動方向上作用常力時產(chǎn)生的靜位移，通過式(3)或式(6)計算求得。

2)所加的微小常力的方向必須是在振動方向上，靜位移為此力作用處的微小位移。

3)系統(tǒng)中的構(gòu)件沒有轉(zhuǎn)動時可應用式(3)計算其固有頻率，若存在轉(zhuǎn)動構(gòu)件則必須應用式(6)。

4)應用式(6)時，可把機構(gòu)的振動等效到任一轉(zhuǎn)動剛體上，不影響固有頻率計算結(jié)果的正確性。