喬玉潔 張 罡

（ 天津師范大學物理與材料科學學院，天津300387）

1 概述

光學作為一門最基礎的物理學科，在物理學的發(fā)展過程中起到至關重要的作用。但隨著研究的深入，物理學家們發(fā)現(xiàn)經(jīng)典力學已經(jīng)不足以描述微觀系統(tǒng)，所以在20 世紀初由普朗克、玻爾、海森堡、薛定諤等一大批物理學家共同創(chuàng)立的量子力學帶領大家進入了“新世界”，至此一些經(jīng)典力學中無法克服的困難——波粒二象性、黑體輻射、光電效應等都得到了合理地解釋，量子力學的快速發(fā)展推動了科學技術的進步，也促進了我們對光的性質(zhì)的進一步研究與探索。當我們將量子場論與光學相結(jié)合，用量子力學的觀點處理光與物質(zhì)的相互作用時，量子光學的概念就此提出。腔量子電動力學作為量子光學的一個主要的領域，在過去幾十年中取得了巨大的進展，在量子信息和量子計算方面也體現(xiàn)出了極大的應用潛力。

2 腔量子電動力學簡介

腔量子電動力學概念的首次提出可以追溯到20 世紀40 年代，1946 年Edward M. Purcell 在美國物理學春季會議上的論文摘要中提到[2]：當自旋系統(tǒng)與共振電路耦合時，原子的射頻躍遷的自發(fā)輻射率會發(fā)生變化，這就打破了在這之前人們普遍認為自發(fā)輻射是一種固有屬性的說法，從而使更多的科學家們把注意力放在自發(fā)輻射和能級移動方面。1948 年，Casimir 和Polder逐漸把單個原子與導電平面之間的研究擴展到兩個平行金屬板之間的相互作用情況[3，4]，并發(fā)現(xiàn)了“Casimir 效應”。20 世紀50年代，微波激射器[5]的實現(xiàn)激發(fā)了人們對腔中物質(zhì)與輻射場相互作用的深入研究，在這段時期內(nèi)，電子自旋躍遷自發(fā)輻射率的修正被預測并得到實驗證實[6]。1963 年，Jaynes 和Cummings建立了一個理想模型“Jaynes Cumming（J-C）模型”，該模型的提出在腔量子電動力學的發(fā)展過程中具有里程碑的意義。1970年，Drexhage 等人第一次在實驗中觀察到“Purcell 效應”[7]。以上大部分實驗都是在弱耦合條件下進行的，但隨著科學技術的發(fā)展，腔QED 系統(tǒng)實驗逐漸進入強耦合區(qū)域，在此區(qū)域可以使光子與原子的量子態(tài)更具有確定性，并且它們之間的相互作用也會增強，有利于促進量子態(tài)的傳輸，給量子信息的實現(xiàn)奠定了堅實的基礎。

3 光頻區(qū)段腔QED 的理論計算

這是一個吸引力。我們把這種由外界其他波促使導體板產(chǎn)生吸引力的現(xiàn)象稱為Casimir 效應，（2）式的Casimir 效應是非常微弱的，直到1996 年，物理學家首次對它進行了測定，使得理論值和實驗值基本吻合。

然而在真實的光學腔中，腔內(nèi)的電磁波會發(fā)生泄漏進而衰減，使得真實的光學腔存在耗散的問題，所以態(tài)密度不是一個理想的δ 函數(shù)。對于品質(zhì)因素為Q 的光學腔，若我們只考慮腔模頻率為v 時，由于腔模頻率是基頻的整數(shù)倍，高階模式不容易被激發(fā)，所以可以采用單模近似的方法得到品質(zhì)因素為Q 的光學腔與腔外電磁場耦合所致的譜密度為：

其中Vc是腔體積。

如果腔體積Vc～λ03，則自發(fā)輻射率有～Q 倍的提升。到目前為止，光學腔中自發(fā)輻射的抑制和增強均已經(jīng)被實驗所證實[10-12]。

接下來我們會從微觀的角度對（3）式進行解釋。對于一個非理想的光學腔來說，品質(zhì)因素是由系統(tǒng)的微觀參數(shù)決定的。非理想光學腔作為一個開放系統(tǒng)，光子可以在腔內(nèi)部和外部之間隧穿，系統(tǒng)的哈密頓量為[13，14]：

對其求解可得：

由于外部空間中的電磁場處于熱平衡態(tài)，所以＜F（t）＞=0，可得：

由上式我們可以看出，腔內(nèi)電磁場是以κ/2 的速率進行衰減，有品質(zhì)因素Q=v/κ。則可以得到（7）式的關聯(lián)函數(shù)：

所以譜函數(shù)是

其中f（r）是光學腔中的駐波模式。

因此當腔內(nèi)存在一個二能級原子時，總的哈密頓量是：

然后對光場（腔內(nèi)和腔外）進行對角化，得到一系列簡正模式，之后采用Weisskopf-Wigner 近似來處理原子的自發(fā)輻射，這種方法適用于 g （r ）?κ的弱耦合區(qū)域。下面我們對其做簡要描述：

其中

對于處理二能級原子的總哈密頓量（13）式，我們還有另一種方法，就是把原子和腔場視為一個系統(tǒng)，再考慮外部環(huán)境對其的影響，則系統(tǒng)密度矩陣的演化可以用主方程描述為[15]：

其中

該方程描述的是原子和腔場的哈密頓量（這里已假定原子躍遷頻率和腔模頻率相等）。等式的第一項描述的是密度矩陣的幺正演化，第二項則是外部電磁環(huán)境導致的耗散。

這一形式和真空中自發(fā)輻射類似，只不過衰變率改變了，這正是一開始得到的結(jié)論[2]。

另一方面，在Ω＞＞κ 的強耦合區(qū)，有：

因此當時間t＜＜1/κ 時，ρ11（t）呈現(xiàn)周期性的拉比振蕩。這一結(jié)果定性上很容易理解，對于κ=0 的完美光學腔，激發(fā)態(tài)的原子輻射出的光子在腔中來回反射，原子- 光子耦合系統(tǒng)必然呈現(xiàn)拉比振蕩；對于非理想光學腔，如果g＞＞κ，則在一個振蕩周期內(nèi)腔場幾乎不衰減，那么也近似為拉比振蕩。

4 Jaynes-Cummings 模型

Jaynes-Cummings 模型是由Jaynes 和Cummings 在討論微波激射器（Maser）時提出的，它可以用來描述一個二能級原子與單模腔之間的相互作用，并且在旋波近似下，該原子- 腔耦合系統(tǒng)可以用Jaynes-Cummings 哈密頓量來描述[16]，其解析解也是較為容易得到的，還有利于進行動力學性質(zhì)的研究。

目前為止，該模型已成功應用于一系列實驗現(xiàn)象，如量子Rabi 振蕩[17]等。

對于上面的（13）式，若我們只考慮系統(tǒng)的短期行為，忽略腔場的衰減，在不限制腔模頻率等于原子躍遷頻率的條件下，則由哈密頓量

決定的幺正演化，就可以稱為Jaynes-Cummings 模型[16]。

對H 做一幺正變化使其變?yōu)椴缓摂?shù)的形式：

本征態(tài)為

值得注意的是基態(tài)是特殊的，基態(tài)n=-1，只有一個態(tài)就是

形如|n，±＞的態(tài)被稱為“綴飾態(tài)”[18]，形象地說似乎是電磁場“裝飾”了原子態(tài)。在失諧量δ=0 的情形，綴飾態(tài)的形式特別簡單[19]：

不同的是，二能級原子的Rabi 振蕩是可以由半經(jīng)典理論解釋[20]。

5 結(jié)論

腔量子電動力學作為研究腔內(nèi)原子與光場相互作用的系統(tǒng)，在量子理論方面展現(xiàn)出較好的應用前景，尤其在強耦合機制下的光頻區(qū)，吸引了眾多研究者的目光。CQED 的進展，對量子信息和量子計算的實現(xiàn)有著至關重要的作用。

本文給出了非理想光學腔下品質(zhì)因素為Q 的光學腔與腔外電磁場耦合，所致的譜密度在微觀角度的理論推導，以及給出的二能級原子與單模腔相互作用的理論計算，在后面的研究過程中，可以將其推廣應用到多能級原子與單模腔相互作用動力學性質(zhì)研究之上，以及對超強耦合機制方面的研究提供了理論基礎。