路群 劉莉芳

【摘要】? 極限概念是大學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的一個(gè)難點(diǎn)，主要是對(duì)抽象的ε-N，ε-δ，ε-X，G-δ，G-X語(yǔ)言的理解.本文結(jié)合筆者在教學(xué)過(guò)程中的一些體會(huì)，對(duì)極限的引入、直觀定性描述與定量描述的教學(xué)方法進(jìn)行探討.

【關(guān)鍵詞】? 初等函數(shù);極限;ε-δ語(yǔ)言

高等數(shù)學(xué)是高等院校特別是高等理工科院校開設(shè)的一門重要基礎(chǔ)課程，它的主要研究對(duì)象是初等函數(shù)，包括初等函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、可微性及可積性.這其中有一個(gè)很重要的描述變量變化趨勢(shì)的概念——極限，它是微積分的靈魂，貫穿微積分學(xué)習(xí)的始終，不管上述函數(shù)的哪一個(gè)性質(zhì)，都不能離開極限（不同式子的極限問(wèn)題）.極限概念的理解是大學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的一個(gè)難點(diǎn)，即便學(xué)生在中學(xué)階段對(duì)它已經(jīng)有了初步直觀的了解，在大學(xué)階段也會(huì)對(duì)它望而生畏，主要是因?yàn)閷?duì)抽象的數(shù)學(xué)定義的理解是個(gè)難點(diǎn).本文結(jié)合筆者在教學(xué)過(guò)程中的一些體會(huì)進(jìn)行探討.

一、極限概念的引入

極限問(wèn)題是伴隨著實(shí)際問(wèn)題產(chǎn)生的，而不是憑空捏造出來(lái)的.求瞬時(shí)速度、切線、曲邊梯形的面積等都會(huì)用到極限概念.數(shù)學(xué)家劉徽“割圓術(shù)”的思想即“割之彌細(xì)，所失彌小.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，可以說(shuō)極限問(wèn)題來(lái)源于生活并服務(wù)于生活.

微積分的精髓在于以簡(jiǎn)單代替復(fù)雜，以不變（常量）代替變（變量），通過(guò)局部近似，在不斷加細(xì)的過(guò)程中得到所要求的量.

二、極限的通俗定義或定性描述

對(duì)于一些簡(jiǎn)單的數(shù)列或者函數(shù)，其因變量隨自變量變化的規(guī)律同學(xué)們并不陌生.如數(shù)列an=? （-1）n/n? ，當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，an越來(lái)越接近0;又如同學(xué)們都很熟悉的函數(shù)f（x）=x2，當(dāng)x充分接近3時(shí)，f（x）越來(lái)越接近9，當(dāng)x朝x軸的兩側(cè)越跑越遠(yuǎn)時(shí)，函數(shù)值就會(huì)越來(lái)越大，而且要多大就有多大;再如函數(shù)g（x）=? 1/?x? ，當(dāng)x充分接近0時(shí)，函數(shù)值的絕對(duì)值也會(huì)越來(lái)越大，換言之，曲線上的點(diǎn)會(huì)偏離x軸，而且這種偏離要多遠(yuǎn)就有多遠(yuǎn)，當(dāng)x朝x軸的兩側(cè)越跑越遠(yuǎn)時(shí)，函數(shù)值越來(lái)越接近0.這種描述就是極限的通俗定義或者定性描述.

三、極限的定量描述

極限的定性描述對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不難理解，并且能對(duì)一些較為簡(jiǎn)單的函數(shù)“感受”到它的極限值是多少.但對(duì)于較為復(fù)雜的函數(shù)，想要直觀地看出它的規(guī)律，恐怕不是一件簡(jiǎn)單的事情.這就要求我們從更科學(xué)的角度，以更為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)判斷極限，這也是大學(xué)生在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容的過(guò)程中遇到的難點(diǎn).

在考慮自變量變化過(guò)程中因變量的變化規(guī)律時(shí)，不妨從誤差估計(jì)角度入手，比如金屬圓盤受熱脹冷縮因素影響，面積會(huì)發(fā)生變化，如果要讓面積（因變量）在一定誤差范圍內(nèi)變化，圓盤的半徑（自變量）應(yīng)該在什么范圍內(nèi)變化.換言之，如果知道因變量的變化范圍，能否知道自變量的變化范圍.

四、結(jié)論

本文對(duì)極限定義的教學(xué)進(jìn)行了探討，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)該內(nèi)容時(shí)首先明確要解決的任務(wù)（總目標(biāo)），然后才是如何具體去實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程，加深對(duì)這一抽象定義的理解，為后續(xù)的微積分學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

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