王海寶，王 崢，龐振江，吳 超，高 陽(yáng)，周嫻姊，譚廣軍

(1.北京智芯微電子科技有限公司，北京102200;2燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

Tan-Sun變換方法是一種應(yīng)用于三相不平衡電力電子系統(tǒng)中的坐標(biāo)變換方法，其能夠?qū)⑷嗖黄胶饨涣髁恐苯幼儞Q為2個(gè)恒定的直流量，簡(jiǎn)化了對(duì)系統(tǒng)的建模分析與控制器設(shè)計(jì)[1-2]?；赥an-Sun變換的同步相量測(cè)量技術(shù)無(wú)須采用濾波環(huán)節(jié)提取三相不平衡電壓的基波正序分量，通過(guò)實(shí)時(shí)地調(diào)節(jié)Tan-Sun變換矩陣的參數(shù)即可快速地檢測(cè)三相不平衡交流量的幅值、相位和頻率等信息。在三相變換器的控制中，通常每相電流通過(guò)各自的電流傳感器轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào)，進(jìn)行AD轉(zhuǎn)換或直接送給模擬電路使用[3]；而在6～35 kV的中壓輸配電工程中，三芯電力電纜的應(yīng)用比例越來(lái)越高[4]。三芯電力電纜的A、B、C三相芯線一般兩兩相隔120°沿該電纜軸向圓周均勻分布，且三相芯線使用共同的屏蔽保護(hù)層。三芯電纜在正常工作時(shí)，三相電流平衡，利用安培定理可知，電纜外部等效電流為零，即電纜橫截面的總磁通量也為零。而傳統(tǒng)的基于電流互感器測(cè)量電流的方法主要是利用了電磁感應(yīng)原理，電纜截面沒(méi)有磁通變化，也就無(wú)法感應(yīng)出電流，因而就無(wú)法以電流互感器測(cè)量三芯電力電纜各芯線的電流?，F(xiàn)有的電力電纜檢測(cè)大多是通過(guò)電纜運(yùn)行特性的相關(guān)參數(shù)(例如電纜溫度[5-6]、局部放電特性[7]等)間接反映電纜運(yùn)行狀態(tài)[8]。間接參數(shù)雖然可以一定程度上反映出電纜運(yùn)行存在的缺陷或預(yù)測(cè)出可能發(fā)生故障的隱患，但是不能實(shí)時(shí)反應(yīng)電纜的運(yùn)行狀態(tài)，而且對(duì)于故障的位置或類型的判斷存在局限性。

隨著磁測(cè)量器件生產(chǎn)工藝和加工水平的提高，可以利用磁測(cè)量器件檢測(cè)電纜外部某點(diǎn)的磁通密度變化，從而獲取相應(yīng)的電流信息，而且這種采用磁測(cè)量器件檢測(cè)電纜電流的方法逐漸受到電力行業(yè)的認(rèn)可[9-10]。鑒于此，文獻(xiàn)[11]提出了一種利用三芯對(duì)稱電力電纜表面周向磁場(chǎng)與電纜各相芯線電流之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)測(cè)量三芯對(duì)稱電力電纜表面周向磁場(chǎng)的變化，可實(shí)現(xiàn)三芯對(duì)稱電力電纜中各相芯線電流的有效測(cè)量。而文獻(xiàn)[12]提出實(shí)施上述方法時(shí)，需要保證電纜軸心與磁傳感器陣列中心重合，否則就會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的偏心誤差，因此提出了一種磁傳感器陣列“旋轉(zhuǎn)法”，依據(jù)對(duì)磁傳感器陣列旋轉(zhuǎn)0°和180°兩種狀態(tài)，建立三芯電力電纜各芯線電流、磁傳感器陣列中心實(shí)際位置以及所測(cè)量磁感應(yīng)強(qiáng)度相互關(guān)聯(lián)的解析模型，以求得位置偏差與相應(yīng)各相電流。但是該方法在實(shí)施時(shí)需要對(duì)磁傳感器陣列進(jìn)行180°旋轉(zhuǎn)，對(duì)磁場(chǎng)進(jìn)行兩次測(cè)量，以建立相應(yīng)的方程組，這不僅帶來(lái)了操作步驟的增加，在旋轉(zhuǎn)操作和兩次測(cè)量中也容易引入誤差。

針對(duì)電力電纜中三相芯線位置非對(duì)稱所帶來(lái)的磁場(chǎng)強(qiáng)度不對(duì)稱情況的測(cè)量問(wèn)題，本文采用了基于Tan-Sun變換的同步相量測(cè)量技術(shù)，其方法可將三相平衡電流產(chǎn)生的3個(gè)不平衡磁感應(yīng)強(qiáng)度直接變換為具有恒定幅值的dq軸磁感應(yīng)強(qiáng)度，進(jìn)而可建立磁感應(yīng)強(qiáng)度和電流之間的比例關(guān)系，從而為三相非對(duì)稱芯線電纜電流的測(cè)量技術(shù)提供一種可行的解決方案。

1 三芯電力電纜位置不對(duì)稱時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度模型

三芯非對(duì)稱電力電纜的結(jié)構(gòu)如圖1所示。3個(gè)磁傳感器以對(duì)稱的結(jié)構(gòu)安裝在電纜表面，如圖中SA、SB和SC的位置所示，其到電纜中心的半徑距離為R。三相芯線的位置如圖中A、B和C的位置所示，由于無(wú)法保證其位置的對(duì)稱性，因此一般地可設(shè)A、B和C位置到電纜中心的距離分別為ra、rb和rc，與電纜中心和SA連線的夾角分別為θa、θb和θc。

圖1 三芯非對(duì)稱電力電纜結(jié)構(gòu)Fig.1 Three-core asymmetric power cable structure

根據(jù)圖1可得，三相芯線位置A、B和C到磁傳感器SA位置的距離分別為

(1)

(2)

(3)

ABC三相電流iabc在SA處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為

(4)

(5)

(6)

式(4)～(6)所示三相電流在SA處磁感應(yīng)強(qiáng)度的切線分量分別為

(7)

(8)

(9)

因此SA處切線方向的總磁感應(yīng)強(qiáng)度為

BAn=BAan+BAbn+BAcn=

(10)

同理可得SB和SC處切線方向的總磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為

(11)

(12)

由式(10)～式(12)可知，由于三相芯線位置的不對(duì)稱性，即使三相電流是平衡的，3個(gè)磁傳感器所檢測(cè)到的磁感應(yīng)強(qiáng)度之間卻是不平衡的。

2 基于Tan-Sun變換的同步相量測(cè)量技術(shù)

假設(shè)三相芯線位置是對(duì)稱的，當(dāng)三相電流平衡時(shí)，則3個(gè)磁傳感器所檢測(cè)到的磁感應(yīng)強(qiáng)度也是平衡的，且相位與三相電流相位相同，此時(shí)就可對(duì)所檢測(cè)到的3個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度采用與三相電流相同的Clarke和Park變換得到與dq軸電流相對(duì)應(yīng)的dq軸磁感應(yīng)強(qiáng)度，因此可建立磁感應(yīng)強(qiáng)度與電流之間的比例關(guān)系，從而可根據(jù)所檢測(cè)到的磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算得出三相電流的大小。

然而當(dāng)三相芯線位置不對(duì)稱時(shí)，即使三相電流是平衡的，由于此時(shí)由磁傳感器所檢測(cè)到的三個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度之間是不平衡的，其不僅會(huì)存在幅值和相位上的不平衡性，而且還有可能存在零序分量，因此此時(shí)若仍對(duì)3個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度采用Clarke和Park變換的話，則所得到的dq軸磁感應(yīng)強(qiáng)度將不再恒定，其會(huì)含有二倍頻分量，這樣就無(wú)法建立磁感應(yīng)強(qiáng)度與電流之間的比例關(guān)系，也就無(wú)法通過(guò)檢測(cè)到的磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算得出三相電流的大小。

為了解決由于三相芯線位置的不對(duì)稱性所帶來(lái)的磁感應(yīng)強(qiáng)度二倍頻分量問(wèn)題，本文將采用基于Tan-Sun變換的同步相量測(cè)量技術(shù)，將3個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度作為此方法的輸入信號(hào)，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換之后可直接得到恒定的dq軸磁感應(yīng)強(qiáng)度，因此可建立其與dq軸電流的比例關(guān)系，從而可根據(jù)所檢測(cè)到的磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算得出三相電流的大小。

假設(shè)三相平衡電流產(chǎn)生的3個(gè)不平衡磁感應(yīng)強(qiáng)度BAn、BBn和BCn，對(duì)應(yīng)于式(10)～(12)，是含有零序分量的，則總可以經(jīng)過(guò)如下環(huán)節(jié)將其零序分量消掉

(BAn+BBn+BCn)，

(13)

(14)

式中,Bnm為BAn、BBn、BCn平均意義下的幅值,φba表示B相與A相的磁感應(yīng)強(qiáng)度相位差,φca表示C相與A相的磁感應(yīng)強(qiáng)度相位差。

基于式(14)定向的Tan-Sun坐標(biāo)變換矩陣為

(15)

若Park變換矩陣TPark基于磁感應(yīng)強(qiáng)度BAn定向,則可表示為

(16)

根據(jù)式(14)～(16)可得

(17)

式中,Bdn能夠反映并檢測(cè)出BABCn的幅值信息,Bqn為鑒相器的誤差。當(dāng)TTan-Sun和TPark中的各參數(shù)并不是其真實(shí)值,而只是其估算值時(shí),則有

(18)

(19)

(20)

式中,Δθa、Δφba和Δφca分別為所對(duì)應(yīng)參數(shù)的估算誤差,并記Δp=[ΔθaΔφbaΔφca]T。根據(jù)式(17)～式(19)可得鑒相器誤差Bqn為

(21)

式(21)為關(guān)于各參數(shù)估算值的三角函數(shù)表達(dá)式,為了能夠?qū)⒄{(diào)節(jié)誤差Bqn表示為與各參數(shù)的估算誤差呈線性的關(guān)系,可對(duì)式(21)在各參數(shù)的估算誤差為零處進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)可得

(22)

本文將設(shè)計(jì)一種能夠消除各參數(shù)估算誤差間耦合關(guān)系的同步相量測(cè)量技術(shù),其能夠在某個(gè)參數(shù)存在估算誤差時(shí),只需對(duì)其所對(duì)應(yīng)的參數(shù)估算值進(jìn)行調(diào)節(jié),而對(duì)其他參數(shù)估算值控制律的影響幾乎為零,這也就是說(shuō),某個(gè)參數(shù)估算值的控制律只與其本身的參數(shù)估算誤差有關(guān),而與其他參數(shù)估算誤差無(wú)關(guān),從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)各參數(shù)估算誤差之間的解耦,因此能夠提高對(duì)同步相量測(cè)量的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度。

在實(shí)空間L2[0, 2π]上,f(x),g(x)∈L2[0, 2π],若定義內(nèi)積公式為

(23)

則函數(shù)系

(24)

為L(zhǎng)2[0, 2π]中的一個(gè)規(guī)范正交系。若僅考慮式(24)所示函數(shù)系中的前3個(gè)元素,則由其所構(gòu)建的Hilbert空間的規(guī)范正交系與Euclidean空間的空間直角坐標(biāo)系之間存在一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此對(duì)于只含有3個(gè)元素的Hilbert空間規(guī)范坐標(biāo)系,其各元素可分別對(duì)應(yīng)于三維Euclidean空間的3個(gè)單位向量i、j和k。基于此,若令x=2θa,則式(22)所示Bqn可表示為如下向量形式

(25)

式中,a、b和c分別為Bqn中關(guān)于Δp的3個(gè)向量系數(shù),其不僅有大小,而且還有方向。各參數(shù)估算值的控制律可寫(xiě)為如下兩向量數(shù)量積的形式

(26)

(27)

(28)

(29)

式中,k1～k4均大于零。為了消除各參數(shù)估算誤差之間的耦合關(guān)系,實(shí)現(xiàn)對(duì)各參數(shù)估算值的解耦控制,v1和v4應(yīng)分別與b和c垂直,v2應(yīng)分別與c和a垂直,v3應(yīng)分別與a和b垂直,只有這樣,其與Bqn的數(shù)量積結(jié)果中才會(huì)消除另外2個(gè)參數(shù)估算誤差項(xiàng)。此外,為使得v1～v4為單位向量,v1～v4應(yīng)分別為

(30)

(31)

(32)

式中,符號(hào)的選取應(yīng)保證各控制律是穩(wěn)定的,即各控制律等號(hào)右側(cè)的參數(shù)估算誤差系數(shù)小于零。為滿足上述穩(wěn)定性條件,經(jīng)計(jì)算可得

(33)

v2=jsinφba+kcosφba,

(34)

v3=-jsinφca-kcosφca。

(35)

因此,各控制律可表示為如下兩向量數(shù)量積的形式

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

式中

Bdn=BAncos(θa+φba+φca)+

BBncos(θa-φba+φca)+

BCncos(θa+φba-φca)。

為了簡(jiǎn)化控制律算法,而非一定要求各參數(shù)估算值的控制律均具有相同的調(diào)節(jié)時(shí)間,控制系數(shù)k3和k4的取值可按照3個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度平衡的情況進(jìn)行選取,此時(shí)則有

。

(44)

若將Euclidean空間的向量v1～v4采用Hilbert空間的規(guī)范正交系式(24)進(jìn)行表示,則式(36)～(39)所示控制律可寫(xiě)為

(45)

(46)

(47)

(48)

基于上述分析和設(shè)計(jì)過(guò)程,當(dāng)3個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度不平衡時(shí),本文所提出的基于Tan-Sun變換的同步相量測(cè)量方法結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 基于Tan-Sun變換的同步相量測(cè)量方法結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Block diagram of synchronous phasor measurement method based on Tan-Sun transform

圖2中,當(dāng)此系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí),d軸磁感應(yīng)強(qiáng)度Bdn即為恒定值,由式(17)可知,當(dāng)φba和φca為定值時(shí),其與3個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度的通用幅值Bnm有固定的比例關(guān)系。而根據(jù)式(10)～(12)可知,當(dāng)三相電流平衡時(shí),即ia=Imcos(ωt+φ)、ib=Imcos(ωt-2π/3+φ)、ic=Imcos(ωt+2π/3+φ)時(shí),代入式中可得BAn、BBn、BCn的幅值與Im是成固定比例關(guān)系的,同時(shí)根據(jù)式(14)可知,BAn、BBn、BCn的幅值與Bnm也是成固定比例關(guān)系的,因此,Bnm和三相電流的幅值Im之間也存在固定的比例關(guān)系。當(dāng)圖2所示的同步相量測(cè)量方法達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí),其Bdn與Im之間也存在一定的比例關(guān)系,因此可直接根據(jù)Bdn的測(cè)量值確定三相電流的大小。

3 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)

實(shí)驗(yàn)室所搭建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)采用TI公司的數(shù)字信號(hào)控制器TMS320F28335作為主控芯片,采用3個(gè)Phidgets公司型號(hào)為1108_0的磁傳感器測(cè)量三芯電纜的磁感應(yīng)強(qiáng)度,所測(cè)量到的磁感應(yīng)強(qiáng)度經(jīng)低通濾波處理后由三路數(shù)模轉(zhuǎn)換即最終得到了3個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度的實(shí)際數(shù)據(jù),然后進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

對(duì)于某一特定的三芯非對(duì)稱電力電纜,當(dāng)三相電流平衡時(shí),其3個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度之間的幅值比和相位差是固定的,只有各磁感應(yīng)強(qiáng)度的絕對(duì)幅值和頻率是可變的。因此本節(jié)首先對(duì)磁感應(yīng)強(qiáng)度為穩(wěn)態(tài)值時(shí)對(duì)其方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證,并考察當(dāng)3個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度的幅值同比例變化以及頻率發(fā)生變化這兩種暫態(tài)的動(dòng)態(tài)性能。

電網(wǎng)頻率ω=100π rad/s,調(diào)節(jié)時(shí)間ts=22 ms。當(dāng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí),其仿真波形如圖3所示。圖3(b)中,d軸磁感應(yīng)強(qiáng)度Bdn為恒定值,其與SA處所測(cè)得的磁感應(yīng)強(qiáng)度幅值BAnm的比值約為1.283 9。從圖3(c)中可看出,頻率響應(yīng)波形穩(wěn)定在50 Hz處。

圖3 穩(wěn)態(tài)仿真波形Fig.3 Steady state simulation waveforms

當(dāng)設(shè)置BAnm在0.5 s時(shí)刻由0.5 mT突變?yōu)?.6 mT時(shí),其仿真波形如圖4所示。從圖4(c)中可看出,頻率響應(yīng)波形穩(wěn)定在50 Hz處。圖4(b)中,當(dāng)BAnm突變后,d軸磁感應(yīng)強(qiáng)度Bdn也會(huì)隨之突然增大,但在幅值變化前后,其二者之間的比值維持不變,均約等于1.283 9,而B(niǎo)Anm又與Im成比例關(guān)系,從而說(shuō)明Bdn與Im也成比例關(guān)系。若事先在某個(gè)穩(wěn)態(tài)條件下能夠測(cè)量得到Bdn與Im之間的比值kB-I,則當(dāng)電流大小發(fā)生變化時(shí),可將所測(cè)得的d軸磁感應(yīng)強(qiáng)度Bdn代入到公式Im=Bdn/kB-I中可求得三相電流的幅值大小。

圖4 磁感應(yīng)強(qiáng)度幅值突變時(shí)的仿真波形Fig.4 Simulation waveform of a sudden change ofmagnitude of the magnetic induction intensity

當(dāng)通過(guò)交流可編程電源設(shè)置頻率f由50 Hz突變?yōu)?8 Hz時(shí),其仿真波形如圖5所示。從圖5(b)中可看出,當(dāng)頻率突變時(shí),Bdn存在一小幅波動(dòng),并經(jīng)過(guò)35 ms恢復(fù)到原來(lái)的穩(wěn)定狀態(tài)。圖5(c)中,頻率的響應(yīng)波形經(jīng)過(guò)20 ms至新的穩(wěn)定狀態(tài),從而驗(yàn)證了本文所設(shè)計(jì)的同步相量測(cè)量方法對(duì)于頻率擾動(dòng)具有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能。圖6給出了通過(guò)計(jì)算得到的三相電流穩(wěn)態(tài)波形。

圖5 頻率突變時(shí)的仿真波形Fig.5 Simulation waveforms of a sudden change of frequency

4 結(jié)論

圖6 計(jì)算得出的三相電流Fig.6 Evaluated three-phase current waveforms