倪 華， 張劍梅, 張麗薇

(1. 江蘇大學(xué) >理學(xué)院，江蘇 >鎮(zhèn)江212013； 2. 蘇州文昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校，江蘇 >蘇州215151)

1 引 言

二階線性微分方程

x″+p(t)x′+q(t)x=0

(1)

在工程、彈性力學(xué)、電學(xué)和振動(dòng)等問題中經(jīng)常遇到，由于其重要性，學(xué)者們對(duì)(1)的研究從未停止,尤其是對(duì)其通解和穩(wěn)定性的研究[1-6].

變量代換法在微分方程的求解中起著重要作用，文[7-9]利用變量代換法得到幾類二階線性微分方程的通解.本文則利用不同于上文的變量代換法，將二階線性微分方程降階，轉(zhuǎn)化為可積的一階微分方程，從而得到二階線性微分方程的通解，豐富了二階線性微分方程的可積類型.

2 主要結(jié)論

證令x=eu, 則(1)化為

u″+u′2+p(t)u′+q(t)=0.

(2)

令y=u′, 則(2)變成

(3)

由定理?xiàng)l件，(3)可化為

(4)

定理2考慮(1)，p(t)是I上的連續(xù)可微函數(shù)，如果q(t)=p′(t)，則(1)的通解為

證令x=eu，則(1)化為

u″+u′2+p(t)u′+q(t)=0.

(5)

令y=u′，則(5)變成

(6)

由定理?xiàng)l件，(6)變?yōu)?/p>

(7)

令y+p(t)=z，則(7)成為

(8)

(8)是伯努利方程，它的通解為

且z(t)=0是(8)的平凡解.由y+p(t)=z，可得

且y=-p(t)是(6)的一個(gè)特解.

由y=u′，可得

由x=eu，可得(1)的通解為

定理3考慮(1)，p(t),q1(t)是某區(qū)間I上的連續(xù)可微函數(shù)，假設(shè)下列條件成立：

(i)p2(t)-4q1(t)>0,

(iii)q(t)=q1(t)+q2(t)，

則(1)的通解為

證令x=eu，則(1)變?yōu)?/p>

u″+u′2+p(t)u′+q(t)=0.

(9)

令y=u′，則(9)變成

(10)

由(i)和(iii)，(10)變?yōu)?/p>

=-y2-p(t)y-q1(t)-q2(t)

(11)

由(ii)，(11)變?yōu)?/p>

(12)

令

(13)

則(12)變?yōu)?/p>

(14)

(14)是伯努利方程，其通解為

且z=0是(14)的一個(gè)平凡解.由(13)，可得

由y=u′，可得

由x=eu，可得(1)的通解為

定理4考慮(1)，p(t),q1(t)是某區(qū)間I上的連續(xù)可微函數(shù)，假設(shè)下列條件成立

(i)p2(t)-4q1(t)>0，

(iii)q(t)=q1(t)+q2(t)，

其一，創(chuàng)新教育模式。應(yīng)采用“以教師為主導(dǎo)、以學(xué)生為主體”的開放性教育模式，突出學(xué)生的主體性?？赏ㄟ^實(shí)施小班教學(xué)、分層教學(xué)，探索實(shí)施翻轉(zhuǎn)課堂，讓學(xué)生參與到課堂上來(lái)，與老師同學(xué)相互交流、探討，實(shí)現(xiàn)信息的多向流轉(zhuǎn)與深層互動(dòng)，以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和創(chuàng)造性。

則(1)的通解為

證令x=eu，則(1)變?yōu)?/p>

u″+u′2+p(t)u′+q(t)=0.

(15)

令y=u′，則方程(15)變成

(16)

由(i)和(iii), (16)變?yōu)?/p>

(17)

由(ii)，(17)變?yōu)?/p>

(18)

令

(19)

則(18)變?yōu)?/p>

(20)

(20)是伯努利方程，其通解為

z=0是(20)的一個(gè)平凡解. 由(19)，可得

由y=u′，可得

由x=eu，可得(1)的通解為

3 應(yīng)用實(shí)例

例1求下列微分方程

(21)

的通解.

例2求下列微分方程

(22)

的通解.

解這里，p(t)=cost,q(t)=-sint,方程(22)滿足定理2的條件，所以方程(22)的通解為

且x(t)=e-sint是(22)的一個(gè)特解.

例3求下列微分方程

(23)

的通解.

解這里，p(t)=4+2sint,q1(t)=4sint+sin2t,q2(t)=cost，方程(23)滿足定理3的所有條件，所以方程(23)的通解為

且x(t)=e-4t+cost是(23)的一個(gè)特解.

例4求下列微分方程

(24)

的通解.

3 結(jié) 論

二階常系數(shù)線性微分方程的求解理論，目前已經(jīng)比較完善.然而對(duì)于二階變系數(shù)線性微分方程，其求解問題則還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有解決.本文利用變量代換x=eu將四類二階線性微分方程轉(zhuǎn)化為可求出通解的一階微分方程，從而求出二階線性微分方程的通解，豐富了二階線性微分方程的可積類型，具有一定的應(yīng)用價(jià)值.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.