溫斐旻,楊瑞峰,郭晨霞,葛雙超

(中北大學(xué) 電子測(cè)試技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 太原 030051)

源定位技術(shù)一直是陣列信號(hào)處理的重要應(yīng)用[1-3]。該研究課題廣泛應(yīng)用于FF源，麥克風(fēng)接受到的是平面波,只需要估計(jì)DOA參數(shù)[4-6]。然而，對(duì)于NF源，平面波假設(shè)不再有效，因此需要同時(shí)提供DOA和距離參數(shù)[7-8]。針對(duì)這種問題，許多學(xué)者提出了種種算法來(lái)對(duì)FF源和NF源定位。上述所有算法都集中在純FF或NF源場(chǎng)景中，但在許多實(shí)際應(yīng)用中FF和NF源是共存的[9]，例如使用麥克風(fēng)陣列的揚(yáng)聲器定位和地震勘探。在FF或NF混合源場(chǎng)景中，大多數(shù)純FF或NF源的算法可能無(wú)法區(qū)分和定位混合源。

為了實(shí)現(xiàn)FF和NF混合源定位，近幾年國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者都鉆研于此，并研究出了大量解決此類問題方法。Liang等[10]利用四階累積量和譜搜索，首次提出了一種有效的二階MUSIC(Multiple Signal Classification多信號(hào)分類)定位算法(TSMUSIC)，但其計(jì)算復(fù)雜度較高，孔徑損失相對(duì)嚴(yán)重。為了減小計(jì)算量，文獻(xiàn)[11]提出了一種只使用二階統(tǒng)計(jì)量的斜投影MUSIC算法(OPMUSIC)，但該算法的參數(shù)估計(jì)存在嚴(yán)重的孔徑損失和一維譜搜索的問題，會(huì)產(chǎn)生額外的估計(jì)誤差。Xie等人在文獻(xiàn)[12]提出了一種基于時(shí)域四階統(tǒng)計(jì)量的MUSIC MVDR算法，并且不需要知道信號(hào)源數(shù)目。Liu和Sun在文獻(xiàn)[13-14]提出了協(xié)方差差分算法(TSMDA)來(lái)減小陣列孔徑，為信號(hào)類型的分類提供了一種更合理的方法。我們了解到隨著陣列的孔徑增大，DOA參數(shù)的估計(jì)精度也越高[16]。為避免DOA模糊，現(xiàn)有方法的陣元間距都在四分之一波長(zhǎng)之內(nèi)[17]。最近，Wang等[15]提出了一種稀疏線陣來(lái)擴(kuò)展陣列孔徑，提高了估計(jì)精度。

本文提出了一種新的混合源定位算法。由于巧妙地使用了高階累積量，ESPRIT算法和奇異值分解方法，該算法不僅對(duì)DOA和距離參數(shù)由有較好的估計(jì)性能，而且計(jì)算量也比現(xiàn)有算法低。

1 建立信號(hào)模型

考慮K個(gè)波長(zhǎng)為λ的窄帶獨(dú)立混合源撞擊到N= 2L+1個(gè)傳感器稀疏線性陣列(SLA)上，該陣列由a、b、c三個(gè)麥克風(fēng)子陣組成，每個(gè)子陣都有均勻排布的2M+1個(gè)陣元，N，L和M均為正整數(shù)。

在圖1中，陣元間距為d，將d作為長(zhǎng)度單位，子陣列的間距為dx=d·Δ，其中dx>>d，Δ為正整數(shù)。傳感器位置向量P具有以下形式。

圖1 稀疏線陣示意圖

(1)

假設(shè)陣列中心為相位參考點(diǎn)。則陣列的輸出可表示為

(2)

其中:xm(t)為第k個(gè)源信號(hào)；nm(t)為附加傳感器噪聲；τtm為第k個(gè)信號(hào)源傳播到倆個(gè)麥克風(fēng)時(shí)間的相對(duì)延遲。當(dāng)?shù)趉個(gè)信號(hào)源是NF源時(shí)，即信號(hào)源位于菲涅爾區(qū)域，到中心麥克風(fēng)的距離符合 0.62(D3/λ)1/2>rm>2D2/λ這一條件，陣列孔徑D=(N-1)d,

(3)

其中γk和φk分別為

(4)

(5)

其中，λ是信號(hào)波長(zhǎng)，θk∈[-π/2,π/2]和rk分別為第k個(gè)混合源的DOA和到麥克風(fēng)陣列中心的距離。目的是得到第k個(gè)混合源的一個(gè)參數(shù)對(duì)(θk,rk)，然后辨別混合源中的FF源和NF源。

反之，如果第k個(gè)混合源是FF源，則τtm的形式為

(6)

將FF源和NF源的轉(zhuǎn)向矢量統(tǒng)一為 (θk,rk)，因?yàn)镕F源的轉(zhuǎn)向矢量可以看成類似近場(chǎng)信號(hào)的形式，即(θk,+∞)。根據(jù)式(2)，由于FN源遠(yuǎn)大于菲涅爾區(qū)域的上界，而NF源處于菲涅爾區(qū)域[18]。因此，我們可以根據(jù)距離估計(jì)值的大小將混合源中FF源和NF源區(qū)別開來(lái)。

在混合場(chǎng)中，式(2)可以寫為矩陣形式

x(t)=AFsF(t)+ANsN(t)+n(t)=AS+N

(7)

x(t)和n(t)是(2L+1)×1維復(fù)向量，

(8)

(9)

(10)

(11)

2 混合源定位算法

2.1 混合源DOA估計(jì)

首先估計(jì)FF和NF混合源的波達(dá)方向，定義一個(gè)四階累積量

(12)

高階累積量可以有效地抵抗高斯白噪聲和有色噪聲，當(dāng)統(tǒng)計(jì)階數(shù)不小于3時(shí)，高斯噪聲的累積量應(yīng)為零[19]，所以有

(13)

(14)

(15)

為了進(jìn)一步減少運(yùn)算量，并削弱噪聲的影響，對(duì)四階累積量矩陣C進(jìn)行奇異值分解，寫成厄米矩陣的形式

(16)

CV=U∑VTV?CV=U∑?Cvi=uiai?

ai=Cvi/ui,i=1,…,K

(17)

圖2 用于DOA估計(jì)的2個(gè)重疊子陣示意圖

Cθ=C1ΙC2

(18)

將Cθ進(jìn)行特征值分解有

Cθ=TΦT-1

(19)

其中Φ為對(duì)角矩陣，其特征值為φi=e-2jγi，i=1,K,N。N階矩陣A是其對(duì)應(yīng)的特征向量組成，而且跨越了N×N的信號(hào)子空間。因而可以得到混合源信號(hào)的DOAs

(20)

2.2 近場(chǎng)源距離估計(jì)

為了獲得更加精確的距離估計(jì)，根據(jù)不同入射角決定了陣列傳感器之間的相位差的原理，區(qū)分遠(yuǎn)近場(chǎng)信號(hào)。當(dāng)信號(hào)實(shí)際距離參數(shù)r遠(yuǎn)大于d時(shí)，SLA所接收到混合源信號(hào)的Δθ很小，則相鄰傳感器的相位差可表示為

Δφ=(4πd/λ)sinθk

(21)

定義一個(gè)垂直方向型函數(shù)

(22)

δt為振幅加權(quán)系數(shù)，當(dāng)θ=θk時(shí)，函數(shù)值最大，此時(shí)取得的角度為混合源的波達(dá)方向。將式(22)表達(dá)為歸一化函數(shù)

(23)

水平方向型函數(shù)表示為

(24)

將上式簡(jiǎn)化為

|W(θ,φ)|=|W2(θ,φ)|·|W1(θ)|

(25)

我們可以理解為倆個(gè)一維線陣方向函數(shù)的組合。通過多次改變陣列的相位，并結(jié)合式(5)，就可得到近場(chǎng)源的距離參數(shù)

(26)

2.3 算法步驟總結(jié)

本文所提算法可總結(jié)為五步：

1) 構(gòu)造并計(jì)算麥克風(fēng)陣列接收混合源信號(hào)的累積量矩陣C，即式(12)；

2) 分析只含DOA的累積量矩陣C，并對(duì)C進(jìn)行奇異值分解；

3) 通過構(gòu)造的倆個(gè)重疊子陣重新表達(dá)累積量矩陣C為Cθ；

4) 利用酉ESPRIT算法實(shí)現(xiàn)DOA參數(shù)估計(jì)；

5) 利用相位差將信號(hào)強(qiáng)度通過曲線關(guān)系轉(zhuǎn)化為距離參數(shù)，判斷混合源類型；

3 討論

3.1 陣列孔徑

本文算法可以構(gòu)造(2L+1)×(2L+1)維矩陣，然后將該矩陣分解為倆個(gè)2(2M+1)×2(2M+1)維矩陣，分別對(duì)應(yīng)第一子陣和第二子陣。因此，該算法可以利用陣元為2L+1的SLA同時(shí)估計(jì)4M+1個(gè)信號(hào)源的DOA。OP MUSIC[11]算法可以定位2L個(gè)信源，而MUSIC MVDR[12]算法只能利用2L+1 個(gè)麥克風(fēng)來(lái)定位L個(gè)信源。因此在陣列孔徑上，該算法與OP MUSIC[11]算法接近，比OP MUSIC[11]有更好的性能。由此可以看出，相比MUSIC MVDR[12]算法，本文所提出的方法更好地防止了陣列孔徑的損失。

3.2 計(jì)算復(fù)雜性分析

定義了混合源DOA的范圍θ∈[-π/2,π/2]和NF源參數(shù)r處于菲涅爾區(qū)域.將本文所提算法與MUSIC MVDR[12]算法的復(fù)雜度進(jìn)行對(duì)比。本文的計(jì)算負(fù)荷主要包括構(gòu)造一個(gè)(2L+1)×(2L+1)維四階累積量矩陣和一個(gè)2(2M+1)×2(2M+1)維四階累積量矩陣、奇異值分解實(shí)現(xiàn)、ESPRIT算法和行列式實(shí)現(xiàn)與求解。計(jì)算復(fù)雜度為O{9(2L+1)2N+9(4M+2)2N+4/3 (2L+1)3+4/3 (4M+1)3}。而MUSIC MVDR[12]一共執(zhí)行了三次一維MUSIC搜索，其計(jì)算復(fù)雜度O{9(2L+1)2N+9(L+2)2N+4/3(2L+1)3+4/3(L+2)3+2·π/Δθ(2L+1)2+K1(2L+1)2}，K1為FF源個(gè)數(shù)?？梢姳疚乃岢龇椒ǖ挠?jì)算量要比MUSIC MVDR[12]算法小。

4 實(shí)驗(yàn)仿真

進(jìn)行Matlab仿真來(lái)檢驗(yàn)所提算法的有效性和精確性。選取多個(gè)等功率撞擊信號(hào)，且在統(tǒng)計(jì)上是相關(guān)的，對(duì)于所有實(shí)驗(yàn)考慮d=λ/4的9元素SLA。選取OP MUSIC[11]、MUSIC MVDR[12]、TSMDA[14]這幾種方法進(jìn)行比較，OP MUSIC[11]、TSMDA[14]需要知道信號(hào)源個(gè)數(shù)，同時(shí)，OP MUSIC[11]要求知道FF源個(gè)數(shù)。s(t)=ejφk具有非高斯形式，假定傳感器噪聲為高斯白噪聲，相位φk∈[0,2π]。信噪比SNR以及均方根誤差RMSE的公式可寫為

(27)

(28)

4.1 驗(yàn)證算法有效性

假定空間中兩個(gè)處于{20°,1.5λ}和{60°,1λ}的NF源對(duì)SLA產(chǎn)生沖擊。設(shè)SNR=15 dB，快拍數(shù)為1 000，d=λ/2。假設(shè)采樣頻率為8 000 Hz，定位結(jié)果圖形如圖3所示。我們做另一個(gè)實(shí)驗(yàn)，設(shè)置d1=λ，d2=λ/2，d3=λ/3，d4=λ/4，其他一切都不變動(dòng)，圖4展示了信號(hào)源在20°和60°的波形。

圖3 信噪比為15 dB的定位結(jié)果圖形

圖4 不同陣元間距下對(duì)DOA的估計(jì)波形

在圖3中可以看出，所提算法在SLA場(chǎng)景下成功定位了這兩個(gè)信號(hào)源。從圖中可以清楚的了解到信號(hào)源(r,θ)和信號(hào)強(qiáng)度E，具有良好地估計(jì)性能。圖4中，在不同的陣元間距下(除了d1=λ的波形呈現(xiàn)4個(gè)波峰外)都得到了有效的DOA估計(jì)結(jié)果。

4.2 定位性能分析

假定兩個(gè)窄帶源信號(hào)(由一個(gè)來(lái)自(10°,+∞)的FF源和一個(gè)來(lái)自(30°,2λ)的NF源組成的)撞擊到SLA上。將估計(jì)值的RMSE與從-20 dB到5 dB的SNR進(jìn)行比較，并在圖中顯示了基于500個(gè)獨(dú)立試驗(yàn)的結(jié)果。快照數(shù)設(shè)置為200。所提算法與其他算法分別對(duì)DOA和距離參數(shù)RMSE進(jìn)行仿真，RMSE和CRB仿真曲線如圖5，圖6和圖7所示。

圖5 FF源距離RMSE隨SNR變化曲線

從圖5可以看出，本文算法與MUSIC MVDR[12]、TSMDA[14]的估計(jì)精度接近，隨著信噪比的增大，OP MUSIC[11]、MUSIC MVDR[12]、TSMDA[14]和本文算法能夠接近并與CRB曲線重合，從中也可以看出不同信號(hào)源的DOA基本相同。但MUSIC MVDR[12]和TSMDA[14在信噪比比較大時(shí)估計(jì)效果不佳。在圖6中，F(xiàn)F源DOA波形基本與CRB重合，其他算法的波形與CRB相離較遠(yuǎn)。在圖7中，雖然在信噪比低的時(shí)候，OP MUSIC[11]較為接近CRB，但當(dāng)信噪比數(shù)值大的時(shí)候，NF源波形則偏離了CRB，其RMSE下降緩慢，所以偏離CRB曲線。從結(jié)果上看，本文算法對(duì)于FF源和NF源波達(dá)方向估計(jì)精度更接近CRB曲線。需要指出的是，本文算法不需要知道混合源個(gè)數(shù)K和NF源個(gè)數(shù)。

圖6 NF源波達(dá)方向RMSE隨SNR變化曲線

圖7 NF源距離RMSE隨SNR變化曲線

5 結(jié)論

提出了能直接辨別并定位NF和FF源低復(fù)雜度混合源定位算法。利用類ESPRIT算法實(shí)現(xiàn)更合理的信號(hào)定位，并用信號(hào)強(qiáng)度與相位差求NF源距離和確定這些源的類型。比現(xiàn)有的一些混合源定位算法，如MUSIC MVDR和OP MUSIC算法擴(kuò)展了陣列孔徑，減小了計(jì)算復(fù)雜度，提高了NF源距離參數(shù)的精度。