廣東省廣州市執(zhí)信中學(510000) 施永紅

筆者在多年教學實踐反思中發(fā)現(xiàn): 凡是為了完成課時而擠壓學生經(jīng)歷概念獲得、原理生成的教學,效果都不盡人意,不僅妨礙學生掌握數(shù)學的“四基”“四能”,而且不能形成好的數(shù)學情感態(tài)度價值觀,直接影響學生健全人格的培養(yǎng)及核心素養(yǎng)的提升.

新課程標準提出: 通過高中數(shù)學課程的學習,學生能在情境中抽象出數(shù)學概念、命題、方法和體系,積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗;養(yǎng)成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣,把握事物的本質(zhì),以簡御繁,運用數(shù)學抽象的思維方式思考并解決問題[1].

考慮到數(shù)學抽象的研究對象有兩類,一是真實世界,二是數(shù)學世界.另外,數(shù)學抽象的內(nèi)容主要有三類: 一是問題,二是數(shù)學概念,三是數(shù)學原理.于是數(shù)學抽象的內(nèi)容就可以細分為兩類六種: 一是在真實世界中利用理想化和數(shù)學表示提出數(shù)學問題、數(shù)學概念、數(shù)學原理,這個叫水平數(shù)學化;二在是數(shù)學世界中提出更高級的數(shù)學問題、數(shù)學概念、數(shù)學原理,這個叫垂直數(shù)學化[2].

下面以立體幾何“平面與平面垂直的判定”中的概念、原理教學為例,闡述如何在課堂教學中讓學生“經(jīng)歷概念獲得與原理生成的過程,發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)”.

1 重視單元設(shè)計,整合課時教學

數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展具有連續(xù)性和階段性,我們要整體把握教學內(nèi)容, 促進數(shù)學學科素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展[1].因此,扎扎實實進行單元整體設(shè)計教學很有必要.

例如: 人教A 版教材編排的順序是先學平行關(guān)系后學垂直關(guān)系;從另一個角度,也可以先研究線面的位置關(guān)系,再探討面面的位置關(guān)系.“平面與平面垂直的判定”在單元整體設(shè)計中可以安排在平面與平面平行的判定與性質(zhì)之后.

2 創(chuàng)設(shè)問題情境,重視概念引入

首先,從數(shù)學世界中提出更高級的數(shù)學問題,積累垂直數(shù)學化的體驗.

前面的課時學習了平面與平面平行的判定與性質(zhì),學生自然而然地提出: 下面要進行的學習內(nèi)容是: 研究平面與平面相交的位置關(guān)系.

其次,從對真實世界的直觀感知創(chuàng)設(shè)問題情境,積累水平數(shù)學化的體驗.

首先教師讓學生打開課本,觀察打開的“角度”變大和變小的不同,得到“兩個平面相交”的直觀體驗.然后讓學生舉出現(xiàn)實生活中可以抽象出“平面與平面”相交的直觀體驗的大量實例,如: 開著的門面和墻面等等.

3 落實問題引導,突出概念構(gòu)建

在教學中,以具有內(nèi)在邏輯關(guān)系的“問題鏈”方式突出概念的思維建構(gòu)和技能操作,突出思想方法的領(lǐng)悟過程分析.

教師展示開門、關(guān)門的過程,提出問題①: 對這些相交平面的直觀感知有什么不同?

學生回答: 感覺角度不同.教師指出: 為了研究兩個平面所成的角,我們引入二面角的概念.

問題②: 觀察老師的手提電腦,以及自己“打開課本”的圖形,我們得到二面角的直觀感知,請類比“角的概念”,用圖形語言和文字語言來描述二面角.

學生回答: 先把電腦的鍵盤所在平面以及屏幕所在的平面抽象為兩個半平面,把電腦旋轉(zhuǎn)軸抽象為一條直線,那么,這是一個從一條直線出發(fā)的兩個半平面組成的圖形.學生畫出圖形,標識字母.教師肯定學生的概括,提煉二面角的概念(略).注意在類比角的概念(共頂點的兩條射線)時,學生會自主想到共一條直線的兩個半平面,而不是兩個平面相交把空間分成四部分.

問題③: 類比角的表示,如何表示二面角?

學生類比角的表示,試著用數(shù)學符號表示二面角,教師修正、改進.

問題②③的提出和解決,體現(xiàn)從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并用數(shù)學語言予以表征,可培養(yǎng)學生類比學習的能力,發(fā)展學生的抽象概括的數(shù)學素養(yǎng).

問題④: 如何嚴謹?shù)孛枋龃蠹腋杏X到的“角度不同”呢?

學生回答: 類比角可以度量,解決要怎么度量“二面角”的問題.

問題⑤: 你覺得要如何度量二面角呢?

學生回答: 類比“異面直線所成的角,直線與平面所成的角”是用平面角來刻畫的,我們應(yīng)該考慮用某個平面角來刻畫空間的二面角的大小.

這里滲透了數(shù)學研究的一般思路,以使學生養(yǎng)成前后一致,邏輯連貫的思考問題的方式.

4 設(shè)計探究活動,實現(xiàn)數(shù)學抽象

概念學習是有意義的學習, 根據(jù)有意義的學習的條件,學習者必須具備有意義學習的心向.要做到這一點,除了激發(fā)外在動機的手段之外,教師應(yīng)該根據(jù)學生認知的心理特點,充分激發(fā)學生的內(nèi)在動機.如果教學內(nèi)容及活動具有新奇性、運動性、可探索性等特點,那么就能激發(fā)學生的求知欲[3].本節(jié)課設(shè)計如下學生自主探究活動,讓學生實現(xiàn)從直觀圖形到數(shù)學抽象.

教師把手提電腦打開分別如圖1、2、3 的情景,提問⑥:同學們觀察: 這幾個二面角的大小,給你什么直觀感知?

圖1

圖2

圖3

同學們回答: 感知是: 直角、銳角、鈍角.

教師請同學們模仿老師的動作,打開課本如圖1、2、3 的情景,互相討論一下: 你是通過什么角度來感知: 直角、銳角、鈍角的?

同學們經(jīng)過觀察,討論,回答: 是從觀察該二面角的正視圖感知到的;這個正視圖就是一個平面角,很明顯分別是直角、銳角、鈍角,如圖4、5、6.

圖4

圖5

圖6

教師肯定學生的觀察角度及有用的發(fā)現(xiàn),并再次抬起手提電腦,請同學們觀察二面角的正視圖,教師提出問題⑥: 你剛才看到的直角、銳角、鈍角,在具體的二面角中能否找到?請你畫一畫,并用符號語言描述.

大部分同學都畫成如圖7,8,9 所示:

圖7

圖8

圖9

教師展示同學所畫的平面角.提問⑦: 一個具體的二面角中,只有這兩個平面角∠A1O1B1或∠A2O2B2可以給你度量二面角的直觀感知嗎? 想一想,如果覺得還有,就再畫一畫,然后互相交流一下.

根據(jù)正視圖的直觀感知,學生畫出圖10,11,12,并說出畫法: 在二面角的棱l上任取一點O, 以點O為垂足, 在半平面α和β內(nèi)分別做垂直于棱的射線OA和OB,則平面角∠AOB就是可以刻畫二面角α－l－β大小的角.

圖10

圖11

圖12

也會有學生畫出的平面角的兩條射線與棱不垂直的情況,這時候可以繼續(xù)追問: 這個平面角可以刻畫二面角大小嗎?

學生討論、分析,發(fā)現(xiàn): 過同一點,分別在兩個半平面上的兩條射線不垂直于棱的平面角可以是任意大小的角,不僅不唯一,也不符合之前觀察的直觀感知.

在互相交流作圖的過程中,學生發(fā)現(xiàn): 不同的同學,畫同一個二面角的平面角的時候,點O的具體位置不同;但是二面角的平面角大小不變.學生會自行發(fā)現(xiàn): 改變點O的具體位置,這個角度的大小不會改變.教師追問理由,學生回答:因為等角定理.

教師及時肯定學生的表現(xiàn).并指出: 這樣得到的平面角,就叫做二面角的平面角.

二面角的大小可以用它的平面角來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個二面角是多少度.

注意,學生的表述可能不那么嚴謹,教師要允許學生講得不清楚,甚至表述混亂,只要耐心提點,逐漸修正就可以得到邏輯清晰的描述.這里學生能提升數(shù)形結(jié)合的能力,發(fā)展幾何直觀與空間想象的能力;增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識;形成數(shù)學直觀,在具體的情境中感悟事物的本質(zhì),因此要舍得花時間.學生參與的過程是很生動活潑的,這樣的教學才能落實“四基”(基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗)“四能”(從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題的能力)的培養(yǎng).

5 “精致”概念獲得,奠基原理生成

認知心理學家認為: 在學習某個概念時,可能對所學概念有所拓展,有時甚至會做出某種推論,這個過程就是對概念“精致”的過程.在數(shù)學學習中,“精致”的實質(zhì)就是對數(shù)學概念的內(nèi)涵與外延進行盡量詳細的“深加工”,以使學生建立更清晰的概念表象,獲得更多的概念例證,對概念的細節(jié)把握得更準確,理解概念的各個方面,獲得概念的某些限制條件等.這一“精致”過程通常表現(xiàn)為對各種可能的特例進行剖析,分析可能發(fā)生的概念理解錯誤,理解概念的各種變式等等[4].本節(jié)課的具體做法是:

5.1 以等值語言精致復述概念,不斷構(gòu)建概念知識體系

問題⑧: 請同學們談?wù)勀銓Χ娼堑木唧w認識?

答1: 這是由棱上的一點在兩個半平面上引出的同時垂直于棱的射線構(gòu)成的一個平面角,是用來度量二面角的大小的,空間問題平面化,體現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化的思想;

答2: 二面角的平面角大小由二面角的兩個面的位置關(guān)系唯一確定,與棱上點的位置無關(guān);

答3: 二面角的平面角所在的平面與二面角的棱垂直,這個平面實際上就是之前觀察二面角的正視圖的投影面.

教師繼續(xù)提問⑨: 二面角的平面角中,哪個度數(shù)最特殊?

學生回答: 90°,或者直角.

教師指出: 平面角是直角的二面角叫做直二面角.

教師引導學生觀察: 教室相鄰的兩個墻面與地面可以構(gòu)成幾個二面角? 分別指出構(gòu)成這些二面角的面、棱、平面角及其度數(shù).最好用圖形(長方體)具體畫出并寫下來.

很多老師會迅速從直二面角直接去到平面與平面垂直的定義.這可能沒有理解教材在這里安排“觀察活動”的意圖: 這是對二面角的平面角概念的一個“從抽象到具體”的應(yīng)用,同時也是“平面與平面垂直的判定”的重要奠基,也是對概念“直二面角”的精致過程,是讓“直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理”等核心素養(yǎng)落地的具體操作.

接著教師給出“平面與平面垂直的定義”: 如果兩個平面相交,它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.例如之前觀察到的墻面與地面,黑板面和天花板平面,墻面和天花板面,都是平面與平面互相垂直的直觀體驗.

教師繼續(xù)提問⑩: 你怎么理解“平面與平面垂直的定義”? (引導學生“概念精致”)

學生答: 定義可以從“線線垂直”(二面角的平面角是直角)到“面面垂直”;同時,由“面面垂直”到“線線垂直”(二面角的平面角是直角),從而把空間線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系進一步緊密構(gòu)建起來.

5.2 揭示結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程,落實原理的自然生成

從培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和科學發(fā)現(xiàn)的能力的角度考慮,教師應(yīng)該根據(jù)學生認知的特點和要求,有選擇地進行定理的再發(fā)現(xiàn)——引導學生重復或者模擬定理的發(fā)現(xiàn)過程,這不僅僅使學生了解定理結(jié)論的由來,強化對定理具體內(nèi)容的理解和記憶,而且可以充分發(fā)揮學生的主觀能動性,培養(yǎng)學生科學發(fā)現(xiàn)的能力[3].

教師指出: 僅用定義來判定“平面與平面垂直”,還不是很方便;而且定義的方式僅僅揭示了面面垂直與線線垂直的互相轉(zhuǎn)化.下面我們看看,還有沒有判定“平面與平面垂直”的其它更方便的途徑?

學生無論是由之前的學習經(jīng)驗(由線面平行判定面面平行),還是從和老師的互動中,都很容易聯(lián)想到: 由線面垂直判定面面垂直.

這里積累了學生垂直數(shù)學化的體驗,促使學生類比面面平行的判定定理,提出猜想: 一個平面上有一條直線垂直于另一個平面,這兩個平面互相垂直.

教師表揚學生猜想正確,并給出實例,操作確認1: 建筑工地上,砌墻時,泥水匠為了保證墻面與地面垂直,常常在較高處固定一條端點系有鉛錘的線,再沿著該線砌墻,如圖,這樣就能保證墻面與地面垂直.操作確認2: 旋轉(zhuǎn)的門,因為門軸總垂直于地面,所以門面總垂直于地面.

然后教師要求學生: 把這個判定方法的文字語言再提煉一下,得到判定定理(略).

接著教師引導學生把文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言、符號語言,并進行嚴格的邏輯論證.證明的依據(jù)只能是平面和平面垂直的定義,即證明二面角是直二面角.證明的過程需要自主構(gòu)建輔助線,得到二面角的平面角,再證明這個角是直角(此略).

這里可以發(fā)展學生從一些事實和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng),即邏輯推理的素養(yǎng).學生先是經(jīng)歷了歸納、類比兩種從特殊到一般的推理,接著是從一般到特殊的演繹推理,用面面垂直的定義,證明了面面垂直的判定定理.

5.3 給出典型例子,逐步深入理解概念、掌握原理

教師繼續(xù)追問: 判定定理有什么作用?

學生答: 可用判定定理判斷或者證明平面與平面垂直.判斷或證明的方法是: 只要從其中一個平面上,找到另一個平面的垂線即可.

例題選擇課本P69 例3 及探究(在單元整體設(shè)計中的課時“直線與平面的垂直”已經(jīng)落實探究并證明了《九章算術(shù)》中鱉臑、陽馬模型中所有可能的線面垂直關(guān)系),然后進行探究變式: 已知底面是矩形的四棱錐P －ABCD,PA⊥平面ABCD,問此四棱錐中你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直?

通過典型問題解決以及典型問題的探究、論證,將平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用得到扎實掌握,同時讓學生規(guī)范表述論證過程,學會有邏輯地表達和交流,形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神,發(fā)展學生的數(shù)學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).

6 小結(jié)邏輯清晰,提煉畫龍點睛

知識小結(jié): 略

方法小結(jié): 從直觀到抽象,通過對具體的“平面與平面相交”實例的觀察、分析, 歸納出共性(一條公共棱, 兩個半平面組成的圖形)得到“二面角”的概念及符號表示;通過觀察“打開手提電腦”的正視圖得到的平面角,類比“異面直線所成的角”“直線與平面所成的角”中用平面角度量空間角的方法,我們找到了度量二面角大小的平面角;從一般到特殊,我們的研究重點是直二面角,再從抽象到具體,我們在現(xiàn)實世界找到“直二面角”的直觀體驗; 最后我們用“直二面角”定義了平面與平面垂直,并類比“平面與平面平行的判定定理”猜想了“平面與平面垂直的判定定理”,并進行了嚴格的邏輯論證,以及選擇了典型的例題及問題探究,運用了判定定理,將平面與平面垂直的問題,轉(zhuǎn)化為直線與平面垂直,最終轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直去解決.空間問題平面化(尤其線線、線面、面面位置關(guān)系轉(zhuǎn)化)是解決立體幾何問題的一般觀點(即“套路”).

這里從具體到抽象, 通過對具體的“平面與平面相交”例子的觀察、分析, 歸納共性得到“二面角”的概念等等一系列讓學生經(jīng)歷概念獲得、原理生成過的程, 就是落實“四基”、“四能”的過程,也是直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理(各有側(cè)重又相互交融)等核心素養(yǎng)落地的過程.事實上,最終的目標都是聚集在理性思維,要使學生逐步養(yǎng)成有結(jié)構(gòu)、有邏輯地思考的習慣.為此,教師應(yīng)把培養(yǎng)學生“用數(shù)學的眼光觀察世界”放在心上,要在“從哪些角度循序漸進地觀察”上加強引導[5].

在立體幾何中, 還有“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”、“平面及平面的性質(zhì)”、“異面直線及異面直線所成的角”、“直線與平面垂直的定義及判定定理”、“直線與平面所成的角”等等的教學,都是讓學生“經(jīng)歷概念獲得與原理生成的過程、發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)”的孕育點、生長點,找到數(shù)學學科核心素養(yǎng)與具體教學內(nèi)容的關(guān)聯(lián),關(guān)注數(shù)學學科素養(yǎng)目標在教學中的可實現(xiàn)性,才能逐步在學生數(shù)學學習的過程中,持續(xù)發(fā)展并提升數(shù)學核心素養(yǎng).