王麗麗 趙 娟

（合肥學(xué)院<人工智能與大數(shù)據(jù)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)系，安徽 合肥 230601）

0 引言

數(shù)理統(tǒng)計(jì)是理工科院校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)專業(yè)的必修專業(yè)課，是一門從隨機(jī)數(shù)據(jù)中獲取信息、發(fā)現(xiàn)規(guī)律并指導(dǎo)決策的科學(xué)。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)以概率論為基礎(chǔ)，研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律， 其主要內(nèi)容有參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析和回歸分析。由于計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，數(shù)理統(tǒng)計(jì)在自然科學(xué)、工程技術(shù)、管理科學(xué)及人文社會科學(xué)中的應(yīng)用越來越廣泛和深入，而傳統(tǒng)的“理論+推導(dǎo)+例題講解” 的上課方式已經(jīng)無法滿足數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)要求。 隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及和各種統(tǒng)計(jì)軟件的廣泛應(yīng)用，減少數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中復(fù)雜理論知識的講解和繁復(fù)的證明，著重介紹模型的應(yīng)用背景和應(yīng)用實(shí)例， 并介紹一款統(tǒng)計(jì)軟件工具，力爭每個實(shí)例都能以算法實(shí)現(xiàn)，就顯得尤為重要了。

統(tǒng)計(jì)軟件R 是以一種S 語言的擴(kuò)展實(shí)現(xiàn)作圖和數(shù)據(jù)分析的系統(tǒng)，是一個優(yōu)秀的統(tǒng)計(jì)計(jì)算和可視化的軟件。 相對于目前廣泛使用的商業(yè)統(tǒng)計(jì)SAS、SPSS 軟件而言，統(tǒng)計(jì)軟件R 最大的特點(diǎn)是：開源，版本更新快，有大量的用于各種任務(wù)的庫。 尤其是有許多使用統(tǒng)計(jì)軟件R 的各領(lǐng)域的學(xué)者源源不斷地提供最新和最前沿的開源軟件包可供使用。本文著重介紹統(tǒng)計(jì)軟件R 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的探索與應(yīng)用。

1 統(tǒng)計(jì)軟件R

1.1 R 軟件的下載及安裝

用戶可根據(jù)自己計(jì)算機(jī)所用的操作系統(tǒng)， 從R 官方網(wǎng)站或其遍及各國的CRAN 鏡像站點(diǎn)選擇對應(yīng)的版本下載。目前R 最新版文件命名形式已統(tǒng)一為R-x.x.xwin.exe，直接運(yùn)行，并選擇安裝目錄及選裝內(nèi)容即可。

R 是一種解釋型語言，輸入的指令可以直接被執(zhí)行。在提示符后可以以交互式的行命令方式一個個地輸入指令，也可以創(chuàng)建一個腳本文件并以此方式運(yùn)行所寫的腳本文件。許多擴(kuò)展的、新的開發(fā)包可以在“程序包”選單選擇安裝加載。

1.2 與統(tǒng)計(jì)計(jì)算有關(guān)的常用函數(shù)

常用函數(shù)：max（），min（），which.max（），which.min（），length（），sum（），prod（），mean（），median（），var（），cov（），cor（），std（），quantile（），summary（），rev（），sort（），order（），rank（）常與統(tǒng)計(jì)函數(shù)聯(lián)用的兩個重要的函數(shù)：apply（），sweep（）

表1 R 中常用的分布函數(shù)

R 軟件在統(tǒng)計(jì)分析時為處理方便準(zhǔn)確，提供了更為細(xì)致的有關(guān)概率函數(shù)。 這些函數(shù)包括四類：d（密度函數(shù)），p（分布函數(shù)），q（分位數(shù)函數(shù)），r（隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)）。

2 R 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的探索與應(yīng)用舉例

2.1 抽樣分布中的應(yīng)用實(shí)例及R 語言實(shí)現(xiàn)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章主要介紹基本概念理論，包括常見統(tǒng)計(jì)量如樣本均值、方差、樣本矩的計(jì)算；散點(diǎn)圖、餅圖、直方圖、盒裝圖、莖葉圖等的繪制；抽樣分布、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)等的直觀展示。 R 具有便捷的數(shù)據(jù)可視化系統(tǒng)，除了常規(guī)的圖形之外，還可作出美觀、個性化的圖案，如小提琴圖，臉譜圖等。 在上課過程中，結(jié)合學(xué)生參加全國大學(xué)生市場調(diào)查與分析大賽的題目和調(diào)查問卷收集的數(shù)據(jù)，作出臉譜圖，引起了學(xué)生極大的興趣。 附R-語言程序及執(zhí)行結(jié)果如下：

圖1 臉譜圖

在臉譜圖中，臉的長度、寬度、臉型及嘴的高度、寬度分別代表著品牌的高端、性價比高、安全可靠、智能及方便。

2.2 參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用實(shí)例及R 語言實(shí)現(xiàn)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章主要介紹的是參數(shù)估計(jì)，包括點(diǎn)估計(jì)中的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、估計(jì)量的評價標(biāo)準(zhǔn)和克拉默-拉奧不等式。

例：已知某人分別搭乘公共汽車和地鐵上班所需的時間數(shù)據(jù)，假設(shè)其服從正態(tài)分布。假設(shè)分別有65 分鐘和58 分鐘可用，問應(yīng)選取哪種交通工具上班？

解：輸入數(shù)據(jù)，R-語言程序及計(jì)算結(jié)果如下：

時間限制 65 時 P（x＜=65）的估計(jì)：乘公汽 0.7233102；乘地鐵0.7699699

時間限制 58 時 P（x＜=58）的估計(jì)：乘公汽 0.5295298；乘地鐵0.1969957

所以，假設(shè)有65 分鐘可用，應(yīng)乘地鐵上班；假設(shè)有58 分鐘可用，應(yīng)乘公交車上班。

2.3 假設(shè)檢驗(yàn)中的應(yīng)用實(shí)例及R 語言實(shí)現(xiàn)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章主要介紹的是假設(shè)檢驗(yàn)。假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的一個重要方面，包括參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)和非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)。

例：廠家A、B、C 是生產(chǎn)某一產(chǎn)品的知名企業(yè)，在過去的一年里，它們的市場占有率分別是15%、35%、25%。 廠家A 為了提高市場占有率，對該產(chǎn)品進(jìn)行了改進(jìn)。 現(xiàn)進(jìn)行抽樣調(diào)查，對銷售出的200 件調(diào)查的結(jié)果如表2 所示：

表2 廠商銷售量數(shù)據(jù)

依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)對該產(chǎn)品的市場占有率是否發(fā)生變化做出判斷，以便為廠家A 下一步的決策提供依據(jù)（顯著性水平0.05）

解： 設(shè) p1，p2，p3分別為廠家 A、B、C 的市場占有率， 現(xiàn)進(jìn)行非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)：H0∶p1=0.15，p2=0.35，p3=0.25 R-語言程序及計(jì)算結(jié)果如下：

所以，不拒絕H0，即現(xiàn)有數(shù)據(jù)不拒絕“市場占有率未變”這一論斷。

2.4 回歸分析中的應(yīng)用實(shí)例及R 語言實(shí)現(xiàn)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章介紹的是兩種非常重要的統(tǒng)計(jì)方法：方差分析和回歸分析。

例：某企業(yè)逐年用于技術(shù)改造資金x（單位：萬元）與產(chǎn)品銷售利潤的增加額y（單位：萬元）資料如下：

表3 某企業(yè)技術(shù)改造投入與銷售利潤數(shù)據(jù)

若使利潤增加額以95%的概率在100 萬～150 萬元之間，利用一元線性回歸預(yù)測，技術(shù)改造資金應(yīng)在何范圍內(nèi)？

解：①建立一元回歸方程；②預(yù)測。R-語言程序及計(jì)算結(jié)果如下：

通過觀察t 檢驗(yàn)和F 檢驗(yàn)的p 值，可判斷自變量和整個模型都是顯著的。 技術(shù)改造資金應(yīng)在38.87萬～42.89 萬之間，才能使利潤增加額以95%的概率在100 萬～150 萬之間。

3 結(jié)論

數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門應(yīng)用性非常強(qiáng)的學(xué)科，在近幾年的教學(xué)過程中， 我們突出了數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本思想的介紹，適當(dāng)略去了復(fù)雜的公式推導(dǎo)和定理證明。 著重介紹統(tǒng)計(jì)方法和模型的應(yīng)用背景和應(yīng)用實(shí)例，并引入統(tǒng)計(jì)軟件R，力爭每個實(shí)例都能以算法實(shí)現(xiàn)，以期全面改善教學(xué)效果。

通過兩個學(xué)期的教學(xué)實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)使用R 軟件后， 學(xué)生擺脫了煩瑣的計(jì)算，R 強(qiáng)大的互動性極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 未來，我們將進(jìn)一步探索R在教學(xué)中的應(yīng)用，使學(xué)生能夠在領(lǐng)會各種統(tǒng)計(jì)方法的基本思想的基礎(chǔ)上，自覺地、得心應(yīng)手地借助R 軟件來解決遇到的各種實(shí)際問題。