王洋洋

(北京師范大學(xué)(珠海)附屬高級(jí)中學(xué) 519000)

“數(shù)學(xué)建?！笔抢贸橄蟮臄?shù)學(xué)知識(shí)描述具體的現(xiàn)實(shí)問題，并依托數(shù)學(xué)模型分析、解決問題的素養(yǎng).高中數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含著深刻的建模思想，在教學(xué)實(shí)踐中，引導(dǎo)學(xué)生通過“數(shù)學(xué)建?！苯鉀Q問題，能夠有效鍛煉學(xué)生的抽象思考能力，提升學(xué)生的邏輯推理水平，同時(shí)激發(fā)學(xué)生深入解讀數(shù)學(xué)知識(shí)在社會(huì)生產(chǎn)生活中的應(yīng)用價(jià)值，進(jìn)而達(dá)到學(xué)以致用教學(xué)目的.因此，教師在解題指導(dǎo)中應(yīng)利用建模思想啟發(fā)學(xué)生探究解題思路，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、“數(shù)學(xué)建?！痹诟咧袛?shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)踐

本文根據(jù)高中數(shù)學(xué)人教A版必修一教材內(nèi)容，結(jié)合函數(shù)模型相關(guān)例題說明“數(shù)學(xué)建?！钡膶?shí)踐應(yīng)用.

例1某燈具城新進(jìn)一批臺(tái)燈，進(jìn)價(jià)20元/臺(tái).臺(tái)燈日銷售量為w(臺(tái))，且銷售單價(jià)x(元)與銷售量之間存在函數(shù)關(guān)系，即w=-2x+80，如果每日銷售臺(tái)燈的利潤(rùn)為y(元)，那么(1)y與x之間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？如果在保證銷售量最大的前提下，燈具城要想每天獲得150元的利潤(rùn)，則售價(jià)應(yīng)如何調(diào)整？

解答(1)由于每天的銷售利潤(rùn)等于每臺(tái)的利潤(rùn)乘以銷售量，則有y=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120x-1600.

(2)根據(jù)題意，令y=150，即-2x2+120x-1600=150，解的x1=25，x2=35，根據(jù)w=-2x+80，可知函數(shù)單調(diào)遞減，即當(dāng)w增大時(shí)，x減小，所以，每臺(tái)售價(jià)為25元時(shí)，燈具城能夠在保證銷售量最大的前提下，每天獲得150元的利潤(rùn).

例2某景區(qū)為方便游客設(shè)置了租車服務(wù).已知景區(qū)共投放單車50輛，單車的日常管理費(fèi)用每天115元，根據(jù)數(shù)據(jù)顯示當(dāng)單車日租金不高于6元，單車可以全部租出；超過6元，每增加1元，租出的單車就會(huì)減少3輛.如果單車日租金x取整數(shù)，且景區(qū)要求租車日總收入高于日常管理費(fèi)用，用y表示租車的日凈收入，請(qǐng)問當(dāng)日租金為多少元，租車的日凈收入最多？

解答根據(jù)題意列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，即當(dāng)x≤6時(shí)，y=50x-115，令50x-115>0，解得x>2.3.由于x∈N*，所以x≥3，且3≤x≤6，x∈N*.

當(dāng)x>6時(shí)，y=[50-3(x-6)]x-115.

令[50-3(x-6)]x-115>0，有3x2-68x+115<0，

上述不等式的整數(shù)解為2≤x≤20(x∈N*)，

所以6

對(duì)于y=50x-115(3≤x≤6，x∈N*).

顯然當(dāng)x=6時(shí)，ymax=185(元)，

當(dāng)x=11時(shí)，ymax=270(元).

由于270>185，

所以，當(dāng)每輛自行車的日租金定在11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多.

例3一電子企業(yè)年終報(bào)表中反映2010年共生產(chǎn)智能手機(jī)2萬(wàn)部，為擴(kuò)大生產(chǎn)，該企業(yè)計(jì)劃從2011年起以 20%的年增速度逐步擴(kuò)大產(chǎn)量，請(qǐng)問按照這一速度，這家企業(yè)從哪一年開始智能手機(jī)的年產(chǎn)量超過12萬(wàn)件？

解答根據(jù)題意設(shè)該企業(yè)的年產(chǎn)量為y，n年后的產(chǎn)量為y=2(1+20%)n.

當(dāng)該企業(yè)產(chǎn)量超過12萬(wàn)件時(shí)，則有y>12，即2(1+20%)n>12，化簡(jiǎn)(1.2)n>6.

兩邊以1.2為底取對(duì)數(shù)，可得n>log1.26,查看對(duì)數(shù)表可以得出n≈9.8.取整數(shù)n=10.

所以，從2020年開始這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過 12 萬(wàn)件.

上述例題結(jié)合高中常見問題集中分析了“數(shù)學(xué)建?！痹诮忸}中的運(yùn)用.當(dāng)然，“數(shù)學(xué)建模”的應(yīng)用并不僅限于此，方程建模、數(shù)列建模以及統(tǒng)計(jì)學(xué)中的相關(guān)模型，學(xué)生在日常解題遇到的概率也很大.教師在解題指導(dǎo)中，應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)對(duì)建模思想的滲透，具體來(lái)講就是針對(duì)建模步驟啟發(fā)學(xué)生的深入思考，讓學(xué)生在規(guī)范解題過程中深化對(duì)“數(shù)學(xué)建?！钡乃伎?，把握“數(shù)學(xué)建模”的應(yīng)用規(guī)律，提高自主運(yùn)用能力.

二、“數(shù)學(xué)建?！痹诟咧袛?shù)學(xué)解題中的應(yīng)用反思

“數(shù)學(xué)建模”在高中數(shù)學(xué)解題中的滲透是課程教學(xué)指導(dǎo)的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)教師為保證教學(xué)效果，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提供學(xué)生的自主建模、獨(dú)立解題能力，應(yīng)不斷反思“數(shù)學(xué)建模”過程，提高解題指導(dǎo)效果.

“數(shù)學(xué)建?！辈粌H是一種解題思路，更是一種數(shù)學(xué)思想，其中蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)理論.學(xué)生在解題中運(yùn)用函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)很容易，但是形成建模思維卻很難，這不僅需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)支撐，更需要學(xué)生保持對(duì)數(shù)學(xué)探究與應(yīng)用的興趣.針對(duì)此，在解題指導(dǎo)過程中，教師應(yīng)立足于知識(shí)基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)興趣，一方面結(jié)合教材完善課程講解，幫助學(xué)生深入知識(shí)理解，建立完善的知識(shí)體系，并把握常見的數(shù)學(xué)模型；另一方面注重興趣引導(dǎo)，將數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實(shí)問題相結(jié)合，激發(fā)學(xué)生建模興趣，促使學(xué)生深入認(rèn)識(shí)實(shí)際問題與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，產(chǎn)生探索數(shù)學(xué)建模本質(zhì)的強(qiáng)烈愿望.

“數(shù)學(xué)建模”需要學(xué)生分析數(shù)學(xué)知識(shí)抽象運(yùn)用，更應(yīng)該注重對(duì)教學(xué)情境的構(gòu)建，促使學(xué)生一邊建模，一邊體驗(yàn)利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的樂趣，并鼓勵(lì)學(xué)生圍繞建模進(jìn)行聯(lián)想與想象，針對(duì)已知問題進(jìn)行適當(dāng)變形，拓寬建模的應(yīng)用范圍，達(dá)到舉一反三的學(xué)習(xí)效果.此外，教師還應(yīng)強(qiáng)調(diào)模型檢驗(yàn)過程，對(duì)于數(shù)學(xué)問題而言，模型的正確與否直接決定著后續(xù)解題過程是否合理，最終答案是否準(zhǔn)確.因此，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成反思與檢驗(yàn)的好習(xí)慣，根據(jù)問題中的條件，以及模型自身的特點(diǎn)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性，并針對(duì)問題做出調(diào)整，以提高模型的適用性，提高學(xué)生獨(dú)立思考以及自主解題能力.

總之，“數(shù)學(xué)建?！背浞煮w現(xiàn)了學(xué)以致用的理念，學(xué)生在解題過程中通過建模能夠建立現(xiàn)實(shí)問題與抽象數(shù)學(xué)的關(guān)系，并創(chuàng)新探索 解題思路.基于此，教師在日常解題指導(dǎo)中應(yīng)積極滲透，讓學(xué)生在建模過程中提高知識(shí)應(yīng)用意識(shí)，提升創(chuàng)新實(shí)踐素養(yǎng).