甘志國(guó)

(北京市豐臺(tái)二中 100071)

一、強(qiáng)基計(jì)劃介紹

強(qiáng)基計(jì)劃的前身是大學(xué)自主招生(下簡(jiǎn)稱自主招生).

自主招生是我國(guó)高校統(tǒng)一考試招生制度的重要補(bǔ)充，也是對(duì)學(xué)生多元錄取、綜合評(píng)價(jià)的重要組成部分.據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，2018年清華北大自主招生、綜合評(píng)價(jià)、高校專項(xiàng)獲得降分的總?cè)藬?shù)，達(dá)到了驚人的6100人，占其計(jì)劃招生總數(shù)6700人的91%，詳見下表：

2018年清華北大獲得降分人數(shù)匯總

從上面的數(shù)據(jù)可以看出自主招生在扮演非常重要的角色，僅憑裸分考進(jìn)清華和北大的學(xué)生比例已經(jīng)很低了.

2020年1月14日，教育部以教學(xué)〔2020〕1號(hào)文件印發(fā)《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見》.文件指出，決定自2020年起，在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)(也稱強(qiáng)基計(jì)劃).同時(shí)，在部分“一流大學(xué)”建設(shè)高校范圍內(nèi)遴選高校開展試點(diǎn).教育部將按照“一校一策”(著重號(hào)為筆者所加)的原則，研究確定強(qiáng)基計(jì)劃招生高校、專業(yè)和規(guī)模.從2020年起，不再組織開展高校自主招生工作.

二、強(qiáng)基計(jì)劃考試介紹

很多考生對(duì)強(qiáng)基計(jì)劃試題的難度不太了解，這里做一個(gè)粗略的對(duì)比.各科綜合起來(lái)的大致情況是，高考的中檔題相當(dāng)于強(qiáng)基計(jì)劃簡(jiǎn)單題，高考難題相當(dāng)于強(qiáng)基計(jì)劃中檔題也相當(dāng)于競(jìng)賽簡(jiǎn)單題，強(qiáng)基計(jì)劃難題相當(dāng)于競(jìng)賽中檔題.

可以說(shuō)，名校強(qiáng)基計(jì)劃65%的題在課內(nèi)范圍，35%的題是超綱范圍(是競(jìng)賽題難度，甚至有的題目超過(guò)聯(lián)賽一試).

所以，有人說(shuō)強(qiáng)基計(jì)劃試題的難度介于高考和競(jìng)賽之間是有道理的.

較為細(xì)致的來(lái)說(shuō)，也可以把強(qiáng)基計(jì)劃試題分為下面三部分：

1.有的題是課內(nèi)常見的.這類題檢查同學(xué)們學(xué)習(xí)基礎(chǔ)情況，一般熟練掌握高考內(nèi)容的同學(xué)都能比較容易拿到分.

2.有的題是在高考考綱邊緣附近.這類題保留一定數(shù)量的高考核心考點(diǎn)，但著力點(diǎn)和區(qū)分度主要放在高考自然延伸出的一些知識(shí)和方法上.

3.有的題是超出高考考綱的.這類題涉及到課內(nèi)沒(méi)學(xué)過(guò)的知識(shí)、公式(比如反三角函數(shù)、極限)，或者是競(jìng)賽聯(lián)賽經(jīng)典方法、技巧.

強(qiáng)基計(jì)劃考試沒(méi)有考綱，由大學(xué)教授、專家或數(shù)學(xué)界知名人士命題，所以有超綱內(nèi)容是正常的(當(dāng)然教授是有出題原則的：應(yīng)當(dāng)說(shuō)，名校強(qiáng)基計(jì)劃考試題都是好題，對(duì)普通高考和全國(guó)聯(lián)賽的復(fù)習(xí)備考也有重要參考價(jià)值).

如果說(shuō)筆試讓名校間接認(rèn)識(shí)了考生，那么面試則是二者的直接碰撞，能否擦出火花直接決定了強(qiáng)基計(jì)劃考試的最終結(jié)果.因此，面試也是名校強(qiáng)基計(jì)劃考試中十分重要的環(huán)節(jié).

三、強(qiáng)基計(jì)劃考試數(shù)學(xué)試題特點(diǎn)

目前，高中生在數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面表現(xiàn)出諸多不足，比如思維廣度不開闊；思路不清晰，對(duì)題目的分析不周全，難以準(zhǔn)確識(shí)別模型以盡快將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題；學(xué)生普遍知識(shí)面狹窄(如對(duì)復(fù)數(shù)等許多基本知識(shí)都不了解)；運(yùn)算能力較低等等；尤其是創(chuàng)新意識(shí)和動(dòng)手操作能力較差.

針對(duì)以上情形，強(qiáng)基計(jì)劃試題便有如下特點(diǎn).

1.強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題突出考查考生的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)素養(yǎng)

強(qiáng)基計(jì)劃的目的是選拔頂尖的優(yōu)秀人才，所以試題必然會(huì)突出這一特點(diǎn)，因?yàn)樗歉鞣N能力的核心.

題1(2020年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)已知甲、乙、丙三人的職業(yè)是A,B,C之一，且每?jī)蓚€(gè)人的職業(yè)均不相同.若乙的年齡比C的年齡大，丙的年齡與B的年齡不同，B的年齡比甲的年齡小，則甲、乙、丙三人的職業(yè)分別是( ).

A.A,B,CB.C,A,BC.C,B,AD.B,C,A

答案：A.

題2(2020年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)在小于1000的正整數(shù)中，即不是5的倍數(shù)也不是7的倍數(shù)的整數(shù)個(gè)數(shù)是.

答案：686.

題3(2020年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試題第7題)已知函數(shù)f(x)=(x-1)2+k2.若a,b,c∈[0,1],f(a),f(b),f(c)是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則k的取值范圍是.

注:題1考查邏輯知識(shí)(判斷命題的真假)，題2的解法須用到韋恩圖(即容斥原理)，解答題3要用到對(duì)恒成立問(wèn)題的處理方法及二次函數(shù)在所給閉區(qū)間上的最值求法.這些知識(shí)、方法都是考生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題突出考查思維的廣闊性(如發(fā)散思維)、深刻性與靈活性

答案：12600.

題5(2020年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題第6題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=4，且an2-an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的個(gè)位數(shù).

由題設(shè)，還可得

得n=k+1時(shí)成立，所以欲證結(jié)論成立.

由題設(shè)，可得

an(2an+an+2)=an+1(2an-1+an+1)(n≥2,n∈N)①.

因?yàn)榍懊嬉炎C得an>0(n∈N*)，所以

進(jìn)而可得數(shù)列

{an(mod 10)}:1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,…

所以an+24≡an(mod 10)(n≥2,n∈N)，因而a2020=a24·84+4≡a4=48≡8(mod 10)，得a2020的個(gè)位數(shù)是8.

解法2 先對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法證明：an+2>an+1>an>0,an+2=4an+1-2an(n∈N*).

由a1=1>0,a2=4,a3=14，可得n=1時(shí)成立.

假設(shè)n=k時(shí)成立：ak+2>ak+1>ak>0,ak+2=4ak+1-2ak.

在解法1中得到的①式中，令n=k+1，可得ak+1(2ak+1+ak+3)=ak+2(2ak+ak+2)(ak+1>0)，所以

=4ak+2-2ak+1=ak+2+ak+2+2(ak+2-ak+1)>ak+2,

ak+3>ak+2>ak+1>0,

所以ak+3>ak+2>ak+1>0,ak+3=4ak+2-2ak+1，得n=k+1時(shí)成立，因而欲證結(jié)論成立.

接下來(lái)的解法同解法1.

注:題4的解法是用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)解決四項(xiàng)展開式的通項(xiàng)問(wèn)題，進(jìn)而求出其常數(shù)項(xiàng)，充分考查了思維的廣闊性、深刻性與靈活性.

在題5兩種解法中，難點(diǎn)均是證明“an≠0(n∈N*)”.這體現(xiàn)了思維的深刻性：蒙混過(guò)關(guān)是一定會(huì)丟分的.

3.許多強(qiáng)基計(jì)劃試題有深刻背景，可以引申推廣

答案：2.

解可設(shè)動(dòng)點(diǎn)A(2cosθ,2sinθ)，可得切點(diǎn)弦所在的直線方程是xcosθ+2ysinθ=1.

圖1

注:題6的背景是《近世代數(shù)》中的群、環(huán)、域.題7的背景是《高等幾何》知識(shí)“曲線是切線的包絡(luò)”：曲線可“點(diǎn)動(dòng)成線”來(lái)生成；也可由曲線上點(diǎn)的切線圍成，即“曲線是切線的包絡(luò)”.

4.強(qiáng)基計(jì)劃試題覆蓋面廣

強(qiáng)基計(jì)劃還沒(méi)有明確的考試大綱，試題的覆蓋面很廣，很多題的難度超出高考、聯(lián)賽，甚至高中數(shù)學(xué)的知識(shí)范圍而涉及高等數(shù)學(xué)，需要考生“見多識(shí)廣”.

題8(2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題)若函數(shù)f(x)=3x-3-x的反函數(shù)為y=f-1(x),則g(x)=f-1(x-1)+1在[-3,5]上的最大值和最小值的和為( ).

A.0 B.1 C.2 D.4

答案：C.

答案：D

題11(2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題)已知拋物線x=3y2的焦點(diǎn)為F，若該拋物線在點(diǎn)A處的切線與直線AF的夾角為30°，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為( ).

答案：C.

題13(2020年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題第2題)已知關(guān)于x的方程x5+px+q=0有有理根，且正整數(shù)p,q均不大于100，求滿足這些條件的有序數(shù)組(p,q)的組數(shù).

答案：133.

題14(2020年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題第4題)求方程19x+93y=4xy整數(shù)解的組數(shù).

答案：8.

注：解答題8要用到反函數(shù)知識(shí)，解答題9與題10要用到反三角函數(shù)知識(shí)，解答題11要用到兩直線的夾角公式，題12涉及平面直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換，題13與題14涉及初等數(shù)論中的數(shù)的整除、不定方程知識(shí).而這些知識(shí)在現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中均未講述，但屬于強(qiáng)基計(jì)劃的命題范圍.

5.部分?jǐn)?shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃試題運(yùn)算量較大，或有較強(qiáng)的技巧

答案：c>a>b.

題18 (2020年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試題第10題)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-x+1-a,若?x∈[-1,1],|f(x)|≥|x|,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

注：解答題15與題16均需要用到較強(qiáng)的放縮技巧，后者還要使用導(dǎo)數(shù)；解答題17需要用到較強(qiáng)的湊配技巧：先得y=(2sinx-cosx)2+(2sinx-cosx)-1，再用換元法求解(這與高中三角函數(shù)題的常規(guī)解法不一樣)；題18是所在試卷(共11道試題)難度最大的一道試題，其常規(guī)解法須用到二次討論，比較復(fù)雜.

6.強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題注重引導(dǎo)培養(yǎng)考生創(chuàng)新意識(shí)和動(dòng)手操作能力

毫無(wú)疑問(wèn)，這是強(qiáng)基計(jì)劃考試的主旨與方向.

題19(2020年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)對(duì)于方程2x-sinx=1，在下列結(jié)論中錯(cuò)誤的序號(hào)是：

(1)該方程無(wú)正數(shù)根；

(2)該方程有無(wú)數(shù)個(gè)根；

(3)該方程有一個(gè)正數(shù)根；

(4)該方程的實(shí)根小于1.

答案：(1).

題20(2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題，原題為單項(xiàng)選擇題)若k>4，則直線kx-2y-2k+8=0和2x+k2y-4k2-4=0與兩條坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積的取值范圍是____.

題21(2020年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)單位正方體的六邊形截面周長(zhǎng)的最小值是____.

注：解答題19須使用圖形計(jì)算器(上海的數(shù)學(xué)高考是允許的)，否則本題難度很大；題20的解法是準(zhǔn)確作圖后用割補(bǔ)法及配方法求解；題21的解法是用正方體的平面展開圖來(lái)求解.

7.部分?jǐn)?shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃試題解法簡(jiǎn)潔新穎，用到知識(shí)也很少

注：解答本題只需用到構(gòu)造法與累乘法.

8.數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃試題的最大特點(diǎn)是原創(chuàng)性

由于強(qiáng)基計(jì)劃試題命題人多是大學(xué)教授、專家或數(shù)學(xué)界知名學(xué)者，他們視野寬闊，經(jīng)常站在數(shù)學(xué)學(xué)科和社會(huì)發(fā)展的前沿思考問(wèn)題，因此每年的自主招生試題都令人耳目一新，難以捉摸；但仔細(xì)分析一些強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題，還是可以看出其一些特點(diǎn)的，而原創(chuàng)性是其最明顯特點(diǎn).

四、強(qiáng)基計(jì)劃考試數(shù)學(xué)試題的來(lái)源

1.源于教材

教材是命題的基本依據(jù)，不少?gòu)?qiáng)基計(jì)劃試題有教材背景，是教材上例題、習(xí)題、定義、定理的組合改編，甚至有時(shí)就是原題.

題23(2020年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)用同樣大小的正n邊形平鋪整個(gè)平面(沒(méi)有重疊且沒(méi)有空隙)，若要將這個(gè)平面鋪滿，則n=____.

答案：3,4,或6.

答案：均不存在.

注：初中數(shù)學(xué)教材中就有題23這類平面平鋪問(wèn)題.

2.源于國(guó)內(nèi)外高考試題

許多稍難的高考試題更適合更高層次的選拔，所以有些這樣的高考題就被改編成了(或直接作為)強(qiáng)基計(jì)劃試題.

題25 (2020年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)若某個(gè)四面體的各個(gè)頂點(diǎn)到某個(gè)平面的距離都相等，則稱該平面為這個(gè)四面體的中位面.一個(gè)已知的四面體的中位面的個(gè)數(shù)是____.(答案：7.)

題26(2020年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)與兩兩異面的三條直線均相交的直線條數(shù)是____.(答案：無(wú)數(shù).)

注：題25是空間距離中的經(jīng)典問(wèn)題；作為排列組合知識(shí)，還涉及均勻分組和非均勻分組.這道題與2005年高考全國(guó)卷Ⅲ文科、理科第11題實(shí)質(zhì)相同.

不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面α的距離都相等，這樣的平面α共有( ).

A.3個(gè) B.4個(gè) C.6個(gè) D.7個(gè)

題26與下面的兩道題目實(shí)質(zhì)相同：

(2008年高考遼寧卷理科第11題即文科第12題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為棱AA1,CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線( ).

A.不存在 B.有且只有兩條

C.有且只有三條 D.有無(wú)數(shù)條

(復(fù)旦大學(xué)2008年自主選拔數(shù)學(xué)B卷試題第26題)若空間三條直線a,b,c兩兩異面，則與a,b,c都相交的直線有( ).

A.0條 B.1條

C.多于1條的有限條 D.無(wú)窮多條

3.源于歷年的強(qiáng)基計(jì)劃(自主招生)試題

答案：0.

答案：(-∞,-3]∪[0,1)∪(3,+∞).

題30 (2020年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試題第2題)點(diǎn)集{(x,y)||5x+6y|+|9x+11y|≤1}的面積是____.

答案：2.

注：題27,28,29,30分別與下面的自主招生試題如出一轍.

A. -121 B. -49 C. 0 D.23

答案：C.

(1)求fA(2016),fB(2016)；

(2)設(shè)card(X)表示集合X的元素個(gè)數(shù)，求m=card(XΔA)+card(XΔB)的最小值.

答案：(1)-1,-1；(2)2016.

(2019年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題第1題)滿足|x+2y|+|3x+4y|≤5(x,y∈R)的點(diǎn)(x,y)所構(gòu)成的區(qū)域的面積是____.

答案：25.

4.源于各級(jí)各類競(jìng)賽試題

A.0 B.1 C.-1 D.與a有關(guān)

答案：B.

注：該題源于早年的數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題：用減函數(shù)與單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)求解.

5.源于某些初等數(shù)學(xué)研究成果

題32 (2020年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試題第8題)已知a1,a2,…,an是1,2,…,n的一個(gè)排列，若i

注：該題的背景是《高等代數(shù)》中排列的順序數(shù)、逆序數(shù).拙著《初等數(shù)學(xué)研究(Ⅰ)》第509-512頁(yè)的文章《12…n的所有m元排列的反序數(shù)之和及其應(yīng)用》研究了該題的一般情形.

6.源于高等數(shù)學(xué)

前面已述，題7(2020年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題第3題)源于《高等幾何》知識(shí)“曲線是切線的包絡(luò)”，題32源于《高等代數(shù)》中排列的順序數(shù)、逆序數(shù).

答案：(1,2).

注：題33源于《高等代數(shù)》中的行列式，題34源于定積分.

五、大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題的備考策略

考生在日常學(xué)習(xí)中應(yīng)該重新審視高考中“不?？肌钡闹R(shí)和方法，并做必要的拓展，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究意識(shí)，關(guān)注高中數(shù)學(xué)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，細(xì)述如下.

1.夯實(shí)基礎(chǔ)，尤其要自覺(jué)加強(qiáng)基本運(yùn)算能力的訓(xùn)練

千里之行，始于足下；強(qiáng)化基本功訓(xùn)練，是今后延拓知識(shí)與快速提高素養(yǎng)的資本！

解答強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題用到的思想、方法和知識(shí)，大部分也都在高考范圍之內(nèi).因而，準(zhǔn)備高考和準(zhǔn)備強(qiáng)基計(jì)劃應(yīng)該是相輔相成，互相補(bǔ)充的.

2.注重知識(shí)的延伸與拓展

題35 (2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題，原題為單項(xiàng)選擇題)如圖2所示，平面內(nèi)兩條直線l1,l2交于點(diǎn)O,M為該平面內(nèi)的任意一點(diǎn).若點(diǎn)M到直線l1,l2的距離分別為p,q，則稱(p,q)是點(diǎn)m的“距離坐標(biāo)”.p,q是已知的非負(fù)常數(shù)，給出下列三個(gè)結(jié)論：

(1)若p=q=0，則“距離坐標(biāo)”為(0,0)的點(diǎn)有且僅有1個(gè)；

(2)若pq=0，且p+q≠0，則“距離坐標(biāo)”為(p,q)的點(diǎn)有且僅有2個(gè)；

(3)若pq≠0，則“距離坐標(biāo)”為(p,q)的點(diǎn)有且僅有4個(gè).

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

答案：D.

A.8 B.7 C.6 D.6或7

解D.由題設(shè)，可得

所以當(dāng)且僅當(dāng)n=6或7時(shí)，Sn取到最大值.

注：題35中的“距離坐標(biāo)”是平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的一種推廣，但兩者的本質(zhì)均是平行線的距離；題36僅僅是把考生在高中階段學(xué)習(xí)的兩個(gè)、三個(gè)向量的和推廣到n個(gè)向量的和而已.

在日常學(xué)習(xí)中，不能僅僅局限于教材，要學(xué)得更深更廣：

(1)注重在不同的知識(shí)階段及時(shí)延伸與拓展.

比如學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，不僅要學(xué)習(xí)函數(shù)的定義、基本性質(zhì)及各類基本初等函數(shù)，還要及時(shí)學(xué)習(xí)函數(shù)與方程的思想方法.這有助于對(duì)函數(shù)理解得更深刻，在更為高級(jí)的層面上構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu).

(2)關(guān)注AP課程及其他多種形式的學(xué)習(xí).

AP課程中的許多內(nèi)容和方法已經(jīng)進(jìn)入強(qiáng)基計(jì)劃試題，如極限理論中的數(shù)列收斂準(zhǔn)則、夾逼定理、函數(shù)極限存在定理、迫斂性定理、兩個(gè)重要極限、洛比達(dá)法則，微積分中的羅爾定理、拉格朗日中值定理、積分中值定理、牛頓-萊布尼茨公式等等.

強(qiáng)基計(jì)劃試題的風(fēng)格與難度，和高考還是有較大的不同.同時(shí)強(qiáng)基計(jì)劃也會(huì)考一些在高考范圍邊緣處的知識(shí).既沒(méi)有接觸過(guò)競(jìng)賽，又沒(méi)有準(zhǔn)備過(guò)強(qiáng)基計(jì)劃的裸考考生最終很可能會(huì)無(wú)功而返.

3.注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會(huì)與運(yùn)用

題37 (2020年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)從2個(gè)相同的紅球、3個(gè)相同的黑球、5個(gè)相同的白球中取出6個(gè)球，共有____種不同的取法.

答案：11.

答案：a,b,c,d.

注：題37的解法是枚舉法；題38的解法是賦值法，其理論依據(jù)是“特殊與一般思想”；解答前面的題28要用到等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想.這些思想方法都是考生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.培養(yǎng)推廣與探究的意識(shí)

這是研究問(wèn)題的重要方法：解一題，知一類.

題39(2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題)方程3x+4y+12z=2020的自然數(shù)解的組數(shù)為____.

解C.可設(shè)x=4m(m∈N),得原方程即3m+3z+(y-1)=3·168(m,y,z∈N);可再設(shè)y=3n+1(n∈N),得原方程即m+n+z=168(m,n,z∈N).

可設(shè)m=m′-1,n=n′-1,z=z′-1(m′,n′,z′∈N*),得原方程即m′+n′+z′=171(m,′n′,z′∈N*).再由隔板法，可得所求答案是C.

注：考生應(yīng)當(dāng)通過(guò)推廣與探究，最終理解隔板法是解決一次不定方程正整數(shù)、自然數(shù)解組數(shù)的通性通法.

5.留心跨界科學(xué)與學(xué)科知識(shí)的交匯

題40(2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題)Given two setsA:{1,2,3,4,5}andB:{3,4,5,6,7},then the intersection set ofAandBis( ).

A.{1,2} B.{3,4,5}

C.{1,2,3,4,5,6,7} D.{6,7}

答案：B.

題41(2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題)Which number that number 5 is the cubic root of( ).

A.3 B.5 C.25 D.125

答案：B.

注：解答這兩道題時(shí)，考生對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的英語(yǔ)詞匯(交集、立方根等)要過(guò)關(guān).復(fù)旦大學(xué)的強(qiáng)基計(jì)劃(自主招生)試題歷來(lái)重視通識(shí)教育，這從復(fù)旦“千分考”可見一斑：“千分考”測(cè)試的內(nèi)容涵蓋高中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物和計(jì)算機(jī)共10個(gè)科目，共計(jì)200道選擇題，滿分1000分(每題答對(duì)得5分，不答得0分，答錯(cuò)扣2分)，考試時(shí)間為3小時(shí).

6.培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力

題42(2020年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(3,4),B(6,0),C(-5,-2)，則∠A的平分線所在的直線方程是____.

所以∠A的平分線所在直線的一個(gè)方向向量是(1,7)，因而該直線的斜率是7，進(jìn)而可得該直線的方程是y-4=7(x-3)即7x-y-17=0.

題43(2020年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)確定的直線中，異面直線的對(duì)數(shù)是____.

答案：174.

注：題42還可用三角形的角平分線性質(zhì)定理，或解三角形知識(shí)求解，或先得出∠BAC=90°后再求解，但運(yùn)算量都要大一些；題43的解法是先構(gòu)造四面體，再由“每個(gè)四面體確定3對(duì)異面直線(即3對(duì)對(duì)棱所在的直線)”來(lái)求解；可用換元法求解第44題：在三個(gè)式子sinxcosx,sinx+cosx,sinx-cosx中，只要知道任一個(gè)式子的值，就可用換元法并利用恒等式“sin2x+cos2x=1”求出另外兩個(gè)式子的值.

實(shí)際上，這些的解法均是通性通法.但這些通性通法在資料中并不多見，老師也很可能不會(huì)講到.需要考生通過(guò)自學(xué)獲得.

考生應(yīng)當(dāng)時(shí)刻培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力：二十一世紀(jì)最重要的個(gè)人能力首推自主學(xué)習(xí)能力！有了過(guò)硬的自學(xué)能力和意識(shí)，即可與時(shí)俱進(jìn)，也可從容應(yīng)對(duì)很多新問(wèn)題.

六、強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)考試備考規(guī)劃

參加強(qiáng)基計(jì)劃對(duì)于大學(xué)和考生來(lái)說(shuō)，是個(gè)雙贏的過(guò)程.考生要想如愿考上頂尖名校，參加強(qiáng)基計(jì)劃是一條捷徑.筆者認(rèn)為，強(qiáng)基計(jì)劃會(huì)持續(xù)受到家長(zhǎng)及學(xué)生、學(xué)校(高中、高校)、社會(huì)的高度關(guān)注.

經(jīng)過(guò)以上論述，讀者(考生)可能對(duì)強(qiáng)基計(jì)劃及其數(shù)學(xué)試題有了比較全面深入的了解，希望你提前做好規(guī)劃、及時(shí)行動(dòng)、充分應(yīng)變，并在做中體味、修正、總結(jié)、提高.

注：本文摘自《高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃備考的策略與方法》(包括高一、高二、高三共三個(gè)分冊(cè))(陜西師范大學(xué)出版總社，2020)的《序》.