◎陳圣文 （福州時(shí)代中學(xué)，福建 福州 350007）

含參函數(shù)就是函數(shù)中含有不能確定的常數(shù)，求解時(shí)需要對(duì)該常數(shù)的取值（大小或正負(fù)）進(jìn)行討論，這樣的函數(shù)問題就是所謂的“函數(shù)的含參問題”．含參函數(shù)經(jīng)常作為中考數(shù)學(xué)的壓軸題出現(xiàn)，因此含參函數(shù)的重要性不言而喻．新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：應(yīng)充分考慮本階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)，各個(gè)領(lǐng)域?qū)W生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，這樣有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)數(shù)學(xué)思考；充分考慮數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)；在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程．教師在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決含參函數(shù)問題時(shí)存在很多不足，因此本文嘗試以幾道中考題為例進(jìn)行分析，以期能尋求高效的解題思路和方法，提高學(xué)生的解題能力．

學(xué)生解決參數(shù)問題的最大困難是什么？ 就是根本不理解參數(shù)代表什么意義．例如在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，出現(xiàn)這樣的一次函數(shù)y＝kx＋k（k≠0），有些同學(xué)就會(huì)忽略這個(gè)函數(shù)隱含的條件，也就是當(dāng)x ＝-1 時(shí)，y ＝0，即這條直線過定點(diǎn)（-1，0），所以參數(shù)k 起何作用？ 我們?cè)谶@里就要給學(xué)生介紹清楚，k 會(huì)改變，但不變的又是什么，如果一次函數(shù)講清楚了，到學(xué)習(xí)二次函數(shù)y＝ax2-2ax＋a（a≠0）時(shí)，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)二次函數(shù)隱含了很多信息，比如它的對(duì)稱軸為直線x ＝1，頂點(diǎn)為（1，0）．

在二次函數(shù)中有一題：

例1已知A（0，1），B（2，1），若函數(shù)y＝x2-2kx＋k2＋k（k-1≤x≤k＋1）的圖像與線段AB 恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求k 的取值范圍．

在這道題中，學(xué)生認(rèn)為困難的地方在哪兒？ 函數(shù)如果能夠配方為y＝（x-k）2＋k，不難發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)為（k，k），但問題在于，自變量取值范圍也同樣含參，那怎么破解？ 這可是多數(shù)同學(xué)望而卻步的難點(diǎn)，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)連不等式兩邊都有k，如果消參數(shù)k，則兩式對(duì)減得（k＋1）-（k-1）＝2，所以它是一條定長為2 的線段，如果僅到這一步，學(xué)生仍無法入手，再發(fā)現(xiàn)連不等式兩邊都有1 與-1，所以兩式對(duì)加，我們發(fā)現(xiàn)（k＋1）＋（k-1）＝2k，所以這條線段是關(guān)于直線x ＝k，即拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的．那么這題所有的問題就迎刃而解了，所以首先從學(xué)生畏懼點(diǎn)入手，才是解決問題的關(guān)鍵．

接下來我們?cè)僖砸坏雷钪祮栴}來研究，這是初中數(shù)學(xué)中常見的問題，也是含參函數(shù)中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，如何巧妙解決最值問題是十分值得思考的問題．

例2已知拋物線y＝mx2＋（m-2）x-2m＋2（m≠0）．

（1）求證：拋物線與x 軸有交點(diǎn)．

（2）若拋物線與x 軸交于點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），且點(diǎn)A在點(diǎn)B 的右側(cè)，x1＋2x2＝1．

①求m 的值；

首先，題目很簡潔，二次函數(shù)含參數(shù)m，m 起的作用是什么？ 對(duì)下面的問題有何影響？

第（1）問是最基礎(chǔ)的考點(diǎn)，主要考查Δ 的應(yīng)用，通過Δ＝（m-2）2-4m（-2m＋2）＝9m2-12m＋4 ＝（3m-2）2≥0 來證明拋物線與x 軸有交點(diǎn)．這問中m 起什么作用？ 可以喚起學(xué)生對(duì)含參問題的討論，如果不配成完全平方式，又變成了關(guān)于m 的二次函數(shù)，還要繼續(xù)討論新拋物線與x 軸的交點(diǎn)情況，所以采用配方（即代數(shù)法）來完成．可見參數(shù)確實(shí)會(huì)干擾部分同學(xué)解題．第（2）問的第一步是求m 的值，這時(shí)，我們可以來解決m 的影響，有了參數(shù)m，拋物線哪些是變化的，哪些是不變的？ 通過（1）不難發(fā)現(xiàn)，Δ 可化為完全平方數(shù)，說明該拋物線與x 軸交點(diǎn)是可以計(jì)算的，不管是用因式分解法還是公式法都可以算出兩個(gè)交點(diǎn)為（1，0）和可見m 會(huì)影響其中一個(gè)交點(diǎn)．所以這里面就涉及了分類討論的數(shù)學(xué)思想，由參數(shù)m 控制的這個(gè)點(diǎn)在（1，0）的左邊還是右邊，再求拋物線的對(duì)稱軸為直線然后代入拋物線解析式求解m．第（2）問中的②引入了新的參數(shù)n，點(diǎn)有什么意義？ 這就是縱坐標(biāo)可以看成關(guān)于橫坐標(biāo)n 的一次函數(shù)，即G 是直線上的點(diǎn)，從而通過數(shù)形結(jié)合，求解得出PG 的最小值．

從上面這道中考題來分析，可以說從一維的數(shù)軸開始，從變量產(chǎn)生開始，到二維的平面直角坐標(biāo)系，函數(shù)與變量就緊密地聯(lián)系在一起了．在教學(xué)過程中，教師要重視變量起的作用，含參的目的是讓變量有更多種可能，在教學(xué)中思考，如果含參了，哪些是變的，哪些是不變的．教師也要指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)參數(shù)的作用在哪兒，對(duì)解題的影響有哪些？ 這樣學(xué)生就不懼問題了．而對(duì)于函數(shù)教學(xué)，教師要使學(xué)生了解變量之間的關(guān)系，就不可避免地要結(jié)合函數(shù)的圖像，因?yàn)閳D像對(duì)函數(shù)起著至關(guān)重要的作用．對(duì)于初中函數(shù)教學(xué)來說，圖像的變化在教學(xué)中常常屬于正向教學(xué)，即給出變化方式，再進(jìn)行函數(shù)形式討論，這實(shí)際上壓縮了學(xué)優(yōu)生的思維廣度．在函數(shù)圖像變化的教學(xué)中，教師要適當(dāng)進(jìn)行逆向教學(xué)，即給出變化后的函數(shù)形式，逆向思考這是怎樣的變化，這對(duì)于學(xué)生來說是大有益處的，也會(huì)讓學(xué)優(yōu)生在完成義務(wù)教育階段之后，更快地適應(yīng)高中千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．

再看一題：2019 年廈門一檢試題，來分析：在含參函數(shù)中經(jīng)常出現(xiàn)求拋物線中幾何圖形的問題，縱觀近些年來，不論是廈門中考還是福建省考最后的壓軸大題，都是以含參問題不同的形式作為考題出現(xiàn)在試卷中的．

例3在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點(diǎn)A（0，2），B（p，q）在直線l 上，拋物線m 經(jīng)過點(diǎn)B，C（p＋4，q），且它的頂點(diǎn)N 在直線l 上．

（1）若B（-2，1）．

①請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出直線l 與拋物線m 的示意圖；

②設(shè)拋物線m 上的點(diǎn)Q 的橫坐標(biāo)為e（-2≤e≤0），過點(diǎn)Q 作x 軸的垂線，與直線l 交于點(diǎn)H．若QH ＝d，當(dāng)d 隨e的增大而增大時(shí)，求e 的取值范圍．

（2）拋物線m 與y 軸交于點(diǎn)F，當(dāng)拋物線m 與x 軸有唯一交點(diǎn)時(shí)，判斷△NOF 的形狀并說明理由．

此題題干就含p，q 兩個(gè)參數(shù)，在問題（1）的設(shè)置中，添加條件“若B（-2，1）”，則參數(shù)p，q 不再起作用了，都可以求出，而在（1）的第②問中，又引入Q 的橫坐標(biāo)為e，并繼續(xù)添加“QH＝d”，這樣多了兩個(gè)參數(shù)e 與d，進(jìn)一步把難度加大，那這兩個(gè)參數(shù)之間有什么聯(lián)系就是此題的突破口．經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)d 實(shí)際上就是點(diǎn)Q 與點(diǎn)H 的縱坐標(biāo)差，故只要將Q，H縱坐標(biāo)用含e 的代數(shù)式表達(dá)即可．在第（2）問中，又回到最初的主干信息，點(diǎn)B（p，q），點(diǎn)C（p＋4，q）這兩點(diǎn)中的參數(shù)p，q 到底起什么作用，它們之間的聯(lián)系又是什么就成為思考的線索了．發(fā)現(xiàn)，這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，兩點(diǎn)又都在拋物線上，于是可知這兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，接下來就是頂點(diǎn)問題了，頂點(diǎn)在x 軸上，故頂點(diǎn)可以用含p 的代數(shù)式表示，即N 為（p＋2，0），又因?yàn)轫旤c(diǎn)N 在直線l 上，點(diǎn)A，B 又在直線l 上，所以直線l 又可以用含p，q 的代數(shù)式表示，所以就又形成新的p，q 關(guān)系式，接下來的問題就迎刃而解了．當(dāng)然此題還涉及根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)判斷三角形的形狀，求出相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線的解析式，然后判斷三角形的形狀．如果學(xué)生解決這一類題目有些困難，那么教師可以考慮為學(xué)生準(zhǔn)備一道類似的證明題，通過這樣的反復(fù)練習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)，學(xué)生在解決這樣的問題時(shí)會(huì)變得游刃有余，對(duì)于這方面內(nèi)容可另外研究．

由此可知，含參問題不可怕，就是不斷從中找出參數(shù)間的聯(lián)系，而這種聯(lián)系往往相互制約，為了達(dá)到最簡捷的目的，就是將多元參數(shù)盡可能消元，即利用我們的消元思想．而這種消元意識(shí)完全可以在平常教學(xué)中滲透．回歸初一課本，在二元方程中的消元不正是我們解決問題的源頭嗎？ 同時(shí)，了解函數(shù)及其圖像必不可少，像上題中，找到不同參數(shù)的關(guān)系，同樣是借助函數(shù)圖像來解決問題的，教學(xué)中既要回歸課本，也不能拘泥于課本．

目前含參函數(shù)的題型越來越受到關(guān)注，這使得我們接下來的教學(xué)啟發(fā)和教學(xué)方向越來越清晰，當(dāng)函數(shù)的題目不再幾何化，而是回歸函數(shù)本質(zhì)時(shí)，提升學(xué)生解決含參問題的能力就顯得越發(fā)重要了．而在高中階段，教師培養(yǎng)學(xué)生從不同角度對(duì)函數(shù)的性質(zhì)與變化進(jìn)行理解是非常必要的．函數(shù)的魅力在于其無窮的變化，含參讓函數(shù)回歸本質(zhì)，教學(xué)的腳步也應(yīng)該跟上這種變化，這樣才能讓我們與時(shí)俱進(jìn)，不斷提升自我，讓學(xué)生真正體會(huì)到函數(shù)的魅力．希望本文可以起到拋磚引玉的作用，為學(xué)生解題提供好的思路和方法．