□李德寶 朱培培

（1.杭州市余杭區(qū)良渚第二中學(xué)，浙江杭州 311112；2.杭州市余杭區(qū)仁和中學(xué)，浙江杭州 311107）

受新冠肺炎疫情影響，教育部于2020年1月底下發(fā)通知，要求2020年春季學(xué)期延期開學(xué)，并于2月12日與工信部聯(lián)合印發(fā)通知，對“停課不停學(xué)”工作提出明確意見.原本書聲瑯瑯的校園、熱鬧的班級授課暫停腳步，取而代之的是居家網(wǎng)課的紅火上演.作為培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程數(shù)學(xué)教育也不甘落后.網(wǎng)課直播之初，教師過多關(guān)注“互聯(lián)網(wǎng)+教育”下的技術(shù)、設(shè)備、平臺、時長、教學(xué)環(huán)節(jié)、應(yīng)用效果等.隨著網(wǎng)課教學(xué)的深入，思考重心轉(zhuǎn)向網(wǎng)課課程類型、網(wǎng)課內(nèi)容設(shè)計、教師專業(yè)發(fā)展取向與評價、師生之間因材施教的教和學(xué)生個性發(fā)展的學(xué)等教育本質(zhì)問題.日常的學(xué)校教學(xué)絕大多數(shù)是基礎(chǔ)性課程，近期的居家學(xué)習(xí)則為嵌入式拓展型課程的開展與實施提供了時機和平臺.

一、嵌入式拓展型課程的形成

早在一年前，在中國教師智慧與文化研究院的指導(dǎo)下，嵌入式拓展型課程的研究被引入杭州師范大學(xué)教師發(fā)展合作項目中［1］，其中對數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)進行了深入的探究，形成比較成熟的實踐操作體系，為應(yīng)對此次疫情影響下的教學(xué)打下良好的基礎(chǔ).

（一）何謂嵌入式拓展型課程

為實現(xiàn)“促進學(xué)生全面而有個性的發(fā)展”課改總目標，浙江省在課改指導(dǎo)意見中，把義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程從教育功能的角度分成“基礎(chǔ)性課程”和“拓展性課程”兩大類.基礎(chǔ)性課程主要培養(yǎng)學(xué)生終身發(fā)展和適應(yīng)未來社會所需要的基礎(chǔ)知識，對于數(shù)學(xué)課程可具體為“四基”.拓展型課程是拓展性課程的表現(xiàn)形式，主要滿足學(xué)生的個性化學(xué)習(xí)需要，開發(fā)和培育學(xué)生的潛能和特長，培育學(xué)生的自我認知和自我選擇能力，對于數(shù)學(xué)課程可具體為“四能”和“三會”等學(xué)科素養(yǎng).基礎(chǔ)性課程和拓展性課程原本是培養(yǎng)和發(fā)展全面而有個性的學(xué)生的兩個相輔相成的課程，是以學(xué)習(xí)為中心的課程總要求.嵌入式源自于計算機專業(yè)的名詞，即嵌入式系統(tǒng)是軟件和硬件的綜合體，拓展型課程無縫鑲嵌有機融入基礎(chǔ)性課程，并共同促進學(xué)生正向發(fā)展和素養(yǎng)形成，即為嵌入式拓展型課程.

（二）嵌入式拓展型課程呈現(xiàn)時機

基礎(chǔ)性課程和拓展性課程本是同根生，基礎(chǔ)性課程是拓展性課程的基礎(chǔ)和保障，拓展性課程是基礎(chǔ)性課程的提高和發(fā)展，也是下一個基礎(chǔ)性課程的基礎(chǔ)和保障，兩者相輔相成，共同圍繞學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心，離開或忽視哪一個課程，都會導(dǎo)致學(xué)習(xí)課程的不完整.二者的關(guān)系致使嵌入式拓展型課程呈現(xiàn)時常常為一節(jié)課的下半部分，也常順延出現(xiàn)在一節(jié)基礎(chǔ)課的下一節(jié)課，有時因教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)課時、教學(xué)環(huán)境等因素的影響，拓展性課程也可不定時、間隙式呈現(xiàn).

（三）嵌入式拓展型課程在居家網(wǎng)課教與學(xué)中的優(yōu)勢

從課程的完整性和數(shù)學(xué)育人的功能來看，教師在日常教學(xué)活動中，應(yīng)交替運用基礎(chǔ)性課程和拓展性課程來實施教學(xué).由于教學(xué)環(huán)境和教師自身因素等方面的影響，大多數(shù)教師在課堂上展示的較多是基礎(chǔ)性課程，拓展性課程展示則處于低頻或無頻狀態(tài).在“停課不停學(xué)”的時勢之下，開展嵌入式拓展型網(wǎng)課教學(xué)個人認為有以下優(yōu)勢：

1.彌補平時學(xué)校教學(xué)拓展性課程安排不足的弊端，實現(xiàn)基礎(chǔ)課與拓展課相輔相成合力促學(xué)育人的目標.

2.利于因材施教教學(xué)原則的有效貫徹，培養(yǎng)全面而有個性且富有創(chuàng)造性的學(xué)生群體.

3.利于貫徹落實“停課不停學(xué)”的倡議精神，如倡議要求“非畢業(yè)班網(wǎng)課不上新課、網(wǎng)課時間不宜過長、開發(fā)模塊化教學(xué)、優(yōu)化教學(xué)資源”等.

4.利于學(xué)生在數(shù)學(xué)網(wǎng)課教學(xué)中有較多時間用于思考或?qū)嵺`操作活動，避免因長時間看屏造成的身心、視覺等方面的影響.

5.利于教師結(jié)合學(xué)情進行信息技術(shù)與教學(xué)活動深度融合，避免照搬別的資源硬加給自己的學(xué)生，體現(xiàn)數(shù)學(xué)四個理解中“理解技術(shù)”的價值作用.

二、嵌入式拓展型網(wǎng)課的設(shè)計

嵌入式拓展型網(wǎng)課的設(shè)計要一如既往地遵循“內(nèi)容依據(jù)學(xué)情、形式自由多樣、緊扣課程標準、落實核心素養(yǎng)、實現(xiàn)育人育才目標”的要求.數(shù)學(xué)網(wǎng)課通常沿襲常規(guī)課的形式，有分課型和混合型兩種，分課型就是將一個單元時間分為基礎(chǔ)性大課30分鐘或拓展性小課20分鐘，混合型就是在一節(jié)課中靈活融入基礎(chǔ)課和拓展課.下面舉幾個網(wǎng)課中嵌入式拓展課的設(shè)計實例，側(cè)重就教材內(nèi)容進行探討.

（一）算理法則的嵌入拓展

七年級學(xué)生在進行有理數(shù)加法運算時，好多教師常把技巧性方法計算作為講解的重點，而不進行算理和法則滲透.雖然教師對學(xué)生進行了大量的計算練習(xí)，但是學(xué)生仍然是算理不清，法則不明，數(shù)學(xué)嚴謹思維訓(xùn)練不足.如能在基礎(chǔ)課的基礎(chǔ)上嵌入如下算理和法則的拓展內(nèi)容，數(shù)學(xué)味的訓(xùn)練價值自會出現(xiàn).

（二）文化視野的嵌入拓展

對于勾股定理《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》要求“探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題”，教師可在基礎(chǔ)課“已探索出勾股定理并做簡單的應(yīng)用”的基礎(chǔ)上作如下嵌入式拓展設(shè)計.

拓展問題一：勾股定理至今已有近500種證明方法，自己搜集3～5個你認為比較經(jīng)典的方法，嘗試著去發(fā)現(xiàn)這些證明方法背后的人文故事和思路的相同點.

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主閱讀的習(xí)慣和獨立思考、判斷分析問題的能力，無痕滲透數(shù)學(xué)文化：歐幾里得原本、趙爽弦圖、畢達哥拉斯、加菲爾德等.感悟數(shù)學(xué)兩大最本質(zhì)的思想方法——轉(zhuǎn)化和構(gòu)造.

拓展問題二：勾股定理也稱畢達哥拉斯定理或百牛定理，號稱千古第一定理，聯(lián)系你所學(xué)習(xí)的前后數(shù)學(xué)知識，你認為勾股定理的價值何在？（可寫成數(shù)學(xué)小論文）

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過拓展課的學(xué)習(xí)，知道學(xué)習(xí)勾股定理不僅要了解“直角三角形”這個前提條件及理解“兩直角邊平方的和等于斜邊的平方”這個結(jié)論.而且要應(yīng)用聯(lián)系的、發(fā)展的、整體的數(shù)學(xué)眼光來認知勾股定理.一般的三角形三邊之間僅存在不等量關(guān)系，等腰三角形（包含等邊三角形）僅存在定義所帶來的表層等量關(guān)系，而勾股定理則建立直角三角形三邊深層的等量關(guān)系；從勾股定理的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)：已知直角三角形的任意兩邊便可求出第三邊，假如沒有勾股定理，已知兩邊和一直角可由全等三角形的知識知道第三邊一定是確定的，而勾股定理讓這種確定性走向具體的值.

拓展問題三：當直角三角形三邊長為正整數(shù)時，實際上是建立了三個正整數(shù)之間的二次等量關(guān)系，退位思考三個正整數(shù)的一次等量關(guān)系普遍存在，進位思考三個正整數(shù)是否存在類似結(jié)構(gòu)的三次等量關(guān)系.

【設(shè)計意圖】通過此內(nèi)容的設(shè)計培養(yǎng)學(xué)生類比思想、回歸原點找尋本質(zhì)、拓展變式高階思維等數(shù)學(xué)思想方法，同時滲透費馬定理等數(shù)學(xué)文化.

拓展問題四：定理為真命題包含題設(shè)和結(jié)論兩部分，如果把勾股定理的題設(shè)改為任意三角形結(jié)論如何？若對勾股定理的結(jié)論作形式的遷移你會聯(lián)想到什么？

【設(shè)計意圖】由直角三角形的勾股定理延伸至一般三角形的結(jié)論“余弦定理”，拓展學(xué)生的知識視野和思維廣度，由勾股定理的平方和等于斜邊平方的形式遷移到三角函數(shù)中任意角正弦和余弦的平方和等于1的形式.尋求數(shù)學(xué)問題的生長源和生長路徑，讓知識點結(jié)成知識網(wǎng).

上述嵌入式拓展型網(wǎng)課四個問題的內(nèi)容設(shè)計，意圖在于拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野、挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)、滲透數(shù)學(xué)文化、增加思考維度、深度開展教學(xué)，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)拓展課程的價值，對數(shù)學(xué)教育的同人起拋磚引玉的作用.

（三）綜合實踐問題的嵌入拓展

義務(wù)教育各學(xué)段安排了四個部分的課程內(nèi)容：“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”，其中“綜合與實踐”這部分課程內(nèi)容常常處于擱淺狀態(tài)，近期居家網(wǎng)課學(xué)習(xí)中，正是把這部分內(nèi)容作為嵌入式拓展型課程的選材內(nèi)容的時機，一是彌補綜合與實踐課被忽視的遺憾和缺失，二是綜合和實踐課程也匹配時勢之下的網(wǎng)課教學(xué)模式.如基礎(chǔ)課《旋轉(zhuǎn)》之后可嵌入《硬幣的滾動問題》這個拓展課.

問題設(shè)置：一個一元硬幣沿另一個一元硬幣無滑動地滾動一周，它自身自轉(zhuǎn)的圈數(shù)是多少？

實驗環(huán)節(jié)：一元硬幣沿直線滾動→一元硬幣沿正三角形滾動→一元硬幣沿正方形滾動→一元硬幣沿正六邊形滾動……

跟進環(huán)節(jié)：分別計算一元硬幣滾動的路程與自身周長的比值.

歸納猜想：一元硬幣沿任意多邊形滾動自身轉(zhuǎn)動的圈數(shù)有何結(jié)論？一元硬幣沿圓形滾動自身轉(zhuǎn)動的圈數(shù)又有何結(jié)論？

說理論證：對上述猜想的結(jié)論說明理由.

結(jié)論延伸：把上述結(jié)論應(yīng)用于日常生活中相關(guān)現(xiàn)象的解釋.

【設(shè)計意圖】通過此類綜合與實踐拓展課程的設(shè)計，培養(yǎng)學(xué)生動手操作的實驗?zāi)芰Α⒂^察分析處理數(shù)據(jù)的能力、由特殊到一般的歸納推理能力，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，建立對生活現(xiàn)象的正確理解，形成如下結(jié)論“一元硬幣沿另一個一元硬幣無滑動地滾動一周，它自身自轉(zhuǎn)了兩周”；“硬幣沿封閉圖形外側(cè)滾動一周，硬幣自轉(zhuǎn)的圈數(shù)等于封閉圖形的周長÷硬幣的周長+1”；“齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)=多邊形的周長÷齒輪的周長+1”.

正如波利亞所說：數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面，它是歐幾里得式的嚴謹?shù)目茖W(xué)，另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看起來卻像一門實驗性的歸納科學(xué).

（四）推理能力的嵌入拓展

作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的邏輯推理常被側(cè)重于演繹推理能力的培養(yǎng)，忽視合情推理的滲透，而歸納推理又是初中數(shù)學(xué)特別是代數(shù)方面應(yīng)用較多的合情推理形式.網(wǎng)課教學(xué)甚至日常教學(xué)中若能適時嵌入合情推理的內(nèi)容作為拓展課的選材，無疑利于學(xué)生完整推理能力的培養(yǎng).

問題設(shè)置：1.找規(guī)律填數(shù)：①7，10，16，22，__… ②3，6，12，__，130，732…

2.說出你填數(shù)的具體思路.這種思考問題的方法屬于數(shù)學(xué)中的什么推理？

3.你認為歸納推理與演繹推理比較有何優(yōu)勢？（從特殊、個別可知一般結(jié)論）有何弊端？（有時結(jié)論出錯）如何更好地運用才能發(fā)揮優(yōu)勢，克服弊端？（大膽猜想、小心論證）

4.搜集數(shù)學(xué)史中經(jīng)典的運用歸納推理的事例.

【設(shè)計意圖】通過此類拓展課的設(shè)計，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的完整性，了解合情推理的合理性和弊端，鼓勵學(xué)生大膽運用歸納推理，去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，結(jié)合演繹推理小心嚴謹論證，了解近期借助大數(shù)據(jù)分析研判疫情發(fā)展趨勢的數(shù)學(xué)原理，滲透費馬數(shù)等數(shù)學(xué)文化.

三、嵌入式拓展型網(wǎng)課的評價

拓展性課程和網(wǎng)課應(yīng)該被教育者知曉，嵌入式拓展型課程與網(wǎng)課的深度融合不應(yīng)成為應(yīng)急之需的一時產(chǎn)物，而應(yīng)成為數(shù)學(xué)教育者長期關(guān)注開發(fā)的資源，對嵌入式拓展型網(wǎng)課的評價，不能僅從居家學(xué)習(xí)這一個角度，而應(yīng)綜合考慮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能、學(xué)生的長期成長、教師的專業(yè)發(fā)展等因素.

從教師專業(yè)發(fā)展的角度來看，要想走出迷惑看清問題，必須站在更高的維度.比如要想搞明白城市的平面輪廓，如果擁有三維的高度視角，問題就太簡單了.為此我們結(jié)合杭州師范大學(xué)劉堤仿教授開發(fā)的教師六維度微觀評價表來綜合考評教師專業(yè)發(fā)展.六維度指的是教材認知、教學(xué)認知、學(xué)生認知、專業(yè)素養(yǎng)、專業(yè)職責(zé)、專業(yè)效能六個方面［2］.

從教材認知角度來看，嵌入式拓展型網(wǎng)課很好地落實了義務(wù)教育課程總目標中數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度這三方面的目標.讓學(xué)生自主經(jīng)歷、體驗、探索，在主動操作中體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美好過程.這彌補了平時在基礎(chǔ)性課程中過多關(guān)注知識技能目標的短板.另外，“綜合與實踐”這部分的課程內(nèi)容意在培養(yǎng)學(xué)生的動手、探究、創(chuàng)造能力，嵌入式拓展型網(wǎng)課正好彌補了這一教學(xué)內(nèi)容的缺失.

從教學(xué)認知角度來看，若教師的拓展內(nèi)容僅是習(xí)題演練結(jié)合變式應(yīng)用，沒有數(shù)學(xué)文化的滲透、沒有創(chuàng)新型問題的設(shè)置、沒有前后知識本質(zhì)的關(guān)聯(lián)、沒有學(xué)生自主學(xué)習(xí)的引導(dǎo)，說明教師對教材認知還停留在知識和技能的雙基層面，對教學(xué)認知還僅僅是流程操作.教學(xué)過程中，我們應(yīng)設(shè)計一些讓學(xué)生親自動手、動腦的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生去探究，使他們變被動接受學(xué)習(xí)為主動自主學(xué)習(xí).

對學(xué)生認知來說，從學(xué)生的角度考慮，不應(yīng)急功近利被一時的分數(shù)所蒙蔽，要從利于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)來考量.網(wǎng)課不應(yīng)只是教授書本上的基礎(chǔ)知識，否則學(xué)生的學(xué)習(xí)會變得枯燥乏味，課程的內(nèi)容要設(shè)計活動，要有學(xué)生的思考，既要有個人獨立思考的過程，也要有動手實踐、小組合作的任務(wù).學(xué)生不應(yīng)停留在被動接受的層面，而要有自主學(xué)習(xí)個性發(fā)展，從而實現(xiàn)長遠的終身學(xué)習(xí).

從教師專業(yè)素養(yǎng)來看，嵌入式拓展型網(wǎng)課充分展示了教師的專業(yè)智慧和文化，在課程中無不滲透著數(shù)學(xué)文化、科學(xué)知識等等.如《勾股定理》這一課設(shè)計中，通過學(xué)生自己搜集了解勾股定理的人文故事和證明方法，體會勾股定理的價值所在，從而滲透數(shù)學(xué)文化.通過類比，尋找問題本質(zhì)，探索并了解費馬定理，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力.《旋轉(zhuǎn)》這一課，通過學(xué)生實驗操作，動手觀察滲透生活中的實驗科學(xué).

教師的專業(yè)職責(zé)是傳道、授業(yè)、解惑的融合統(tǒng)一.所謂“授之以魚不如授之以漁”，嵌入式拓展型網(wǎng)課充分調(diào)動學(xué)生的積極性，通過實驗、探索、體驗，慢慢地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的過程.

對專業(yè)效能來說，學(xué)生通過綜合實踐活動，探索得到數(shù)學(xué)結(jié)論，才能更好地內(nèi)化為自身的知識，完善認知結(jié)構(gòu)，對知識的掌握程度、應(yīng)用能力都會有所提升.

總之，設(shè)計開發(fā)應(yīng)用嵌入式拓展型網(wǎng)課，既是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)性、普及性、發(fā)展性的整體要求，又是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容“綜合與實踐”這一短板的有效彌補；既能促進教師專業(yè)發(fā)展的與時俱進、知效合一，又能實現(xiàn)“促進學(xué)生全面而有個性的發(fā)展”課改總目標的高效實施；既是時勢之下的應(yīng)急之需，也是教師“互聯(lián)網(wǎng)+教育”下專業(yè)發(fā)展之需，更是學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)之需.目前這種課程資源相對匱乏，仍有大片處女地等待數(shù)學(xué)同人去開發(fā) .