張景生

【摘要】目前，在高中立體幾何解題過程中有很多學(xué)生表現(xiàn)出了思維過于單一的問題，一旦題型稍有變化便難以應(yīng)付.學(xué)生缺少對立體幾何知識的深入掌握，其原因主要是教師的教學(xué)理念相對滯后，不重視培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯論證能力，因此影響學(xué)生對立體幾何解題技巧的掌握.下面，本文將針對高中數(shù)學(xué)立體幾何的幾種解題技巧展開詳細闡述，旨在提高學(xué)生的立體幾何解題能力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);幾何;分析

一、高中數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧

（一）函數(shù)思想解題

函數(shù)思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想.面對難度較大的立體幾何問題，教師要嘗試引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)思想解決問題，圍繞所要解決的問題，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，再計算函數(shù)關(guān)系中不等式或者方程解決問題.在運用函數(shù)思想解題時，學(xué)生可根據(jù)題目中的已知條件構(gòu)造一個二次函數(shù)，再通過計算二次函數(shù)模型求出問題答案.同時，在立體幾何問題解題時，學(xué)生可將其轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題，進而讓問題計算過程變得更為簡單、方便，大大減少運算量.以下面的一道題目為例.

例1如圖1所示，在球O中，點P是一個動點，當(dāng)PA=x過點P時將垂直于AB，假如f（x）可用來表示過點P時的面積，那么要怎樣表示y=12f（x）的圖像？

在對上述問題進行解題時，為了簡化解題過程，可引入函數(shù)思想，先設(shè)定截面圓半徑和球的半徑分別是r、R，再依據(jù)勾股定理得到r2=-x2+2Rx，由此可求出y=-π2x2+πRx，總結(jié)出上述題目中要求的圖像是一個拋物線，且開口向下.在立體幾何問題解決中，運用函數(shù)思想解決問題是一種能夠簡化復(fù)雜問題的解題技巧，教師要引導(dǎo)學(xué)生在立體幾何知識學(xué)習(xí)中巧妙利用這一種解題方法.

（二）向量知識解題

空間向量知識可用來解決立體幾何問題中的垂直問題、空間角問題、空間距離問題等，它能夠讓立體幾何問題解決過程變得更為簡便且快速.因而，教師在發(fā)展學(xué)生立體幾何問題解決能力時，要重視訓(xùn)練學(xué)生對向量知識的使用，豐富學(xué)生的向量基本知識.但是，在利用向量知識解決具體的立體幾何問題時，要重視先構(gòu)建起立體幾何與向量知識間的關(guān)系，以向量的方式表示立體幾何的點、線、面等已知條件.接著，用類似代數(shù)的方法計算問題，得出正確的計算結(jié)果.當(dāng)兩者不具備明顯的關(guān)系時，要嘗試建立一個新的空間坐標(biāo)系，以尋求問題的簡便算法.以下面的一道題目為例.

例2已知有一個正方體ABCD-A1B1C1D1，已知這個正方體的棱長是3，E、F分別是這個正方體AA1、CC1邊上的一點，而AE又與FC1相等，它們的長度均為1，請證明E、F、B、D1在同一個平面內(nèi).

在解決上述問題時，為了提高問題解決效率，可引入向量知識.先構(gòu)建一個空間坐標(biāo)系，再清晰標(biāo)注出空間坐標(biāo)系中BE、BF、BD1的向量，它們分別是（3，0，1）、（0，3，2）、（3，3，3）.待求出BE、BF、BD1立體幾何中三個邊的向量值以后，可通過計算向量BD1=BE+BF求證出同在一個平面的問題.

（三）構(gòu)造輔助圖形

在解決立體幾何問題時，還可以通過構(gòu)造輔助圖形的方式來解決問題，這是一種常見的問題解決方法，可用于將相對陌生的立體幾何問題轉(zhuǎn)換為比較常見的問題，再利用已掌握的解題方法輕松求出問題答案.利用構(gòu)造輔助圖形方式解決立體幾何問題，既能夠讓學(xué)生的邏輯思維得到很好的訓(xùn)練，又利于學(xué)生學(xué)會簡化陌生問題.以下面的一道題目為例.

例3如圖2所示，已知有一個矩形ABCD，在這個矩形中PD垂直于平面ABCD，邊長AB是1，邊長BC與PC相等，都是2.現(xiàn)對這個矩形進行折疊，折疊用EF表示，假如EF與DC平行，點E在PD上，點F在PC上.同時，經(jīng)過折疊操作以后，點P在AD上記作M，那么在MF垂直于CF的情況下，求出三棱錐M-CDE的體積.

在對上述問題進行解決時，面對這樣一個陌生的問題，可能會無從下手.針對這一種情況，要指導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)造輔助圖形的方式解決問題.

求出MD的值是62，再求出△CDE的面積是38，由此可知這個三棱錐的體積是216.這是一種非常好的立體幾何問題解決方法，要善用這種解題技巧.

（四）構(gòu)建未知關(guān)系

在立體幾何問題解決過程中，學(xué)會構(gòu)建未知關(guān)系十分重要.在對未知關(guān)系進行構(gòu)建時，要先根據(jù)題目中已有的條件設(shè)定一個未知數(shù).期間，須保證未知數(shù)設(shè)立的合理性.接著，在已知和未知之間建立起對應(yīng)關(guān)系，靈活解決問題.在整個問題解決過程中，其重點在于避而不求所設(shè)立的未知數(shù).未知數(shù)只是用來簡化立體幾何問題計算難度的，用于支撐問題的解答.構(gòu)建未知關(guān)系，這一種立體幾何解題技巧，可有效減少題目計算中的運算量，避免因運算量過大而出現(xiàn)錯誤.以下面的一道題目為例.

例4已知有一個正四棱錐S-ABCD，現(xiàn)要平行于地面截取一個上下表面和側(cè)面面積分別是Q1、Q2、P的多面體A1B1C1D1，求出其對角面面積.

在對上述題目進行計算時，為了降低解題難度，可采取構(gòu)建未知關(guān)系的解題方法.先設(shè)立對角面面積、多面體上下表面邊長分別是S、a、b，而高和斜高分別是h、h1.設(shè)定好這些未知數(shù)以后，列出關(guān)于S的方程式，即S=2a+2b2h，由此求出對角線面積是24P2-（Q2-Q1）2.通過“設(shè)而不求”解題方法，快速完成立體幾何問題的解決.

二、當(dāng)下高中數(shù)學(xué)立體幾何解題教學(xué)中存在的主要問題

（一）教師的理念比較落后

當(dāng)下立體幾何的實際教學(xué)中，一些教師的理念是存在缺陷的.因為升學(xué)方面的壓力，很多的高中生在立體幾何的實際學(xué)習(xí)中，總是會追求高分，主要的關(guān)注點都在考點上，但是對立體幾何的解題靈活性并不是非常重視，導(dǎo)致在立體幾何的實際解題中，高中生總是難以靈活應(yīng)用一些技巧.高中生雖然有一定的學(xué)習(xí)能力，但是對立體幾何的學(xué)習(xí)還是有著極強的差異性.很多的教師在立體幾何實際教學(xué)中，并未對高中生采用分層教學(xué)，導(dǎo)致一些高中生的學(xué)習(xí)出現(xiàn)停滯的情況.

（二）高中生的學(xué)習(xí)思維單一

當(dāng)下高中生在立體幾何方面的學(xué)習(xí)情況是，很多的高中生學(xué)習(xí)思維相對單一.出現(xiàn)這種情況，一方面是高中生本身受到一些傳統(tǒng)思維方面的限制，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維比較局限，這樣立體幾何的學(xué)習(xí)也受到一定的影響，尤其是立體幾何類的題目非常復(fù)雜，很多時候一旦立體幾何的題型有所變化，高中生就很難應(yīng)付.另外一方面是一些高中生對立體幾何進行理解的思維是表面化的，對一些解題方式也并未真正理解原理，這樣題型一旦發(fā)生變化，高中生還是束手無策，對立體幾何知識的應(yīng)用并不靈活，解題能力也總是無法提升.在立體幾何的實際教學(xué)中，強化高中生的發(fā)散思維，這是教師要高度關(guān)注的問題.

（三）課堂整體的氛圍缺乏營造

目前，在立體幾何的實際教學(xué)中，很多教師對數(shù)學(xué)課的氛圍營造并不是非常重視，導(dǎo)致高中生在實際的學(xué)習(xí)中，總是要面臨著非常單一的教學(xué)氛圍，很多的教師甚至忽視了教學(xué)氛圍的重要性.立體幾何是抽象性極強的內(nèi)容，高中生理解起來會比較困難，若是教學(xué)氛圍比較輕松，高中生的學(xué)習(xí)狀態(tài)會更好，思維也會更加活躍，若是氛圍非常緊張，高中生的思維發(fā)展也會受到一定的影響.

三、提升高中數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧的策略

（一）建立空間觀念，提升空間想象力

在高中階段，高中生開始對立體幾何展開學(xué)習(xí)，與初中時期學(xué)習(xí)的平面幾何是不同的，這是非常大的改變，需要高中生經(jīng)過一定的過程.為了讓高中生適應(yīng)立體幾何的學(xué)習(xí)，高中生需要結(jié)合學(xué)生自身的需求，借助一些立體幾何的模型，從而輔助自身的學(xué)習(xí).這需要教師組織高中生，對一些立體幾何模型進行制作，然后組織高中生對立體幾何模型進行觀察，結(jié)合教材上有關(guān)立體幾何的一些理論知識，讓高中生實現(xiàn)對立體幾何的充分感知，讓生活和學(xué)習(xí)實現(xiàn)充分結(jié)合.另外，在立體幾何的實際學(xué)習(xí)中，學(xué)生可選擇教材上的一些立體圖形展開觀察，可以判斷出在這些立體幾何的圖形中，點、線、面、角存在哪些關(guān)系，然后結(jié)合題目的要求，用輔助線的方式來進行解題.也就是說，高中生在對立體幾何展開學(xué)習(xí)的時候，要結(jié)合自身的情況選擇適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方式.教師要在立體幾何的實際教學(xué)中，強化高中生的空間觀念以及空間想象力，促進高中生對立體幾何的深入理解，為立體幾何的解題做好準(zhǔn)備.具體的措施：在立體幾何的實際教學(xué)中，教師可以讓高中生嘗試自行制作一些立體幾何的模型，可以從簡單的圖形入手，比如正方體，然后逐漸進行復(fù)雜一些的模型制作，讓高中生逐漸在立體幾何模型的制作中，找到立體幾何的學(xué)習(xí)要求，并不斷對立體幾何中的一些點、線、面、角關(guān)系進行觀察.然后可以結(jié)合立體幾何的具體題目進行延伸，讓高中生不斷對立體幾何類的問題形成解題能力.在進行立體幾何實際教學(xué)中，教師要注重強化高中生立體幾何的繪圖能力，也是要從簡單到復(fù)雜，先進行一些簡單立體幾何圖形的繪畫，然后逐漸到一些復(fù)雜的體型，讓學(xué)生了解一些最基本的技巧之后，結(jié)合學(xué)生立體幾何的具體題目，結(jié)合學(xué)生自身空間想象力進行繪圖，從而找到最簡單的解題方式.

（二）不斷強化高中生綜合分析以及邏輯論證能力

在立體幾何的教學(xué)中，教師要讓高中生結(jié)合自身的一些生活經(jīng)驗，制作一些立體幾何的模型，用這種方式來強化高中生的空間想象力，同時可以讓高中生結(jié)合以往平面幾何的一些知識，進行類比學(xué)習(xí).學(xué)生經(jīng)過對知識的分析，并得到命題之后，要結(jié)合一些例子對命題謹(jǐn)慎驗證.教師在立體幾何的實際教學(xué)中，不要太急于結(jié)論，學(xué)習(xí)的過程要注重循序漸進，不斷強化高中生的學(xué)習(xí)能力，從局部入手不斷擴展到整體，鍛煉高中生的邏輯推理以及論證技能，在進行立體幾何解題的時候，可以讓高中生的能力不斷提升.另外，學(xué)生對立體幾何展開學(xué)習(xí)的時候，要從不同的角度，對立體幾何進行了解以及掌握，比如一些平行問題以及距離的問題，這些問題經(jīng)過綜合性的處理之后，可以讓高中生的綜合分析能力得到提升.對立體幾何的問題展開綜合處理，這樣可以讓高中生的邏輯推理得到強化，可以強化高中生的論證能力，是非常重要的一個學(xué)習(xí)過程.

（三）發(fā)散思維，綜合應(yīng)用多種解題技巧

在立體幾何的實際解題中，要注意眼光開闊，不要僅僅局限在立體幾何方面，要注重知識體系的綜合利用.很多問題是非常具備綜合性的，因此對解題技巧展開應(yīng)用，要求學(xué)生有一定的綜合性思維，從而讓立體幾何的問題得到真正解決.詳細來說，教師在立體幾何的實際解題中，可以將數(shù)學(xué)領(lǐng)域的函數(shù)思想以及轉(zhuǎn)化思想等運用到解題中，從而簡化立體幾何的解題，提升實際解題的效率.因此在立體幾何的實際教學(xué)中，要注重強化高中生的發(fā)散思維，能將各種解題技巧充分利用到題目中，讓高中生的解題效率得到提升.

教師在立體幾何數(shù)學(xué)知識講授過程中，教會學(xué)生一些簡便、高效的解題技巧是十分重要的，利于鍛煉學(xué)生實際問題解決能力，促進學(xué)生慢慢養(yǎng)成主動尋求簡便解題方法的習(xí)慣.對于學(xué)生立體幾何解題能力的培養(yǎng)，要重視引導(dǎo)學(xué)生運用函數(shù)思想、向量知識解決立體幾何問題.同時，要科學(xué)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會構(gòu)造輔助圖形，構(gòu)建未知關(guān)系，以利用更正確的解題技巧大大提高解題效率，積累豐富的立體幾何解題經(jīng)驗.

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