董彪

摘 要：對(duì)于有些不等式的證明，我們可以從研究題目的條件與結(jié)論入手，將問題中的條件和數(shù)量等關(guān)系，設(shè)法巧妙地構(gòu)造成函數(shù)、數(shù)列、幾何模型及向量等問題，可以使不等式得到簡(jiǎn)潔證明。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法;不等式證明

不等式的證明方法有很多種，構(gòu)造法因其構(gòu)造對(duì)象的靈活性而獨(dú)具魅力。所謂構(gòu)造法是指根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)，運(yùn)用已知數(shù)學(xué)關(guān)系式和理論，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對(duì)象，從而使原問題中隱含的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對(duì)象中清晰地展現(xiàn)出來，并借助該數(shù)學(xué)對(duì)象方便快捷地解決數(shù)學(xué)問題的方法。構(gòu)造法的關(guān)鍵是“定目標(biāo)構(gòu)造”，能夠從已知條件入手，緊扣要解決的問題，將陌生問題轉(zhuǎn)化成熟悉問題。下面結(jié)合例題談?wù)剺?gòu)造法在不等式證明中的一些應(yīng)用。

一、構(gòu)造函數(shù)證明

例1已知? ? ，且? ? ?，求證：? ?.

分析 直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的增減性;再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（小），來證明不等式成立。

證明 由? ? ?可得，? ? ? ?，即? ? .

設(shè)? ? ? ? ?則? ? ? ? ?.因?yàn)? ?，所以? ? ，故函數(shù)f（）x在（2，e）上單調(diào)遞增.又因?yàn)閒（n）

評(píng)注 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具，在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最大（小）值、函數(shù)值域等方面發(fā)揮重大作用。而在處理與不等式有關(guān)的綜合性問題時(shí)往往需要利用函數(shù)的性質(zhì)，將兩個(gè)式子比較大小的問題轉(zhuǎn)化成比較函數(shù)值大小的問題，從而使問題得之解決。

二、構(gòu)造數(shù)列證明

例2 求證

分析 直接構(gòu)造數(shù)列，左邊就是前n項(xiàng)和，這樣就可以運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)了。

證明 構(gòu)造數(shù)列? ? ? ? ?，則

所以xn+1>xn，即{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列，從而? ? ? ?，

但? ? ? ? 所以

三、構(gòu)造幾何模型證明

如果問題中的數(shù)量關(guān)系有明顯的幾何意義，可以通過某種方式與幾何圖形建立聯(lián)系，通過構(gòu)造圖形，將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系直接在圖形中體現(xiàn)，然后在構(gòu)造的圖形中尋求所證的結(jié)論。

例3 已知? ? ，求證：

分析 本題不等式的形式很復(fù)雜，用常規(guī)方法很難湊效。如果注意到交叉項(xiàng)系數(shù)? ? 的數(shù)字特征，在聯(lián)系到余弦定理，從而想到夠做一個(gè)四面體V-ABC（如圖1）

由余弦定理得：

評(píng)注 分析式子結(jié)構(gòu)特征，將抽象的數(shù)學(xué)式子轉(zhuǎn)化為形象的幾何圖形，結(jié)合余弦定理實(shí)現(xiàn)證明，其中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

四、構(gòu)造向量證明

向量本身作為一種解題的工具，不僅能夠解決幾何問題，同樣能夠解決代數(shù)問題。利用向量的數(shù)量積證明不等式，運(yùn)算方便，能使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

例4 設(shè)a，b，c為任意實(shí)數(shù)，求證：

評(píng)注 解題的關(guān)鍵在于能夠結(jié)合所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地構(gòu)造兩個(gè)向量，再用數(shù)數(shù)量積的兩種不同算法進(jìn)行替代，借助向量夾角取值范圍得以證明。

可見，構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的解題方法，它很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中類比、化歸的思想，也滲透著猜想、試驗(yàn)、歸納等重要的數(shù)學(xué)方法。在數(shù)學(xué)解題中，除了注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法外，還應(yīng)敢于打破思維的框框，盡可能對(duì)某一問題的研究展開各種類比聯(lián)想，有目的地注意前后知識(shí)之間的聯(lián)系與遷移，新舊知識(shí)之間的類比與轉(zhuǎn)化，具體與抽象的變更，從而構(gòu)造出一種新穎獨(dú)特的解題模式，極大地提升了解題效率。