李秀英，彭為梅

作為一類特殊的混雜系統(tǒng)，廣義Markov跳變系統(tǒng)的研究得到了廣泛的關(guān)注［1-6］.這類系統(tǒng)中轉(zhuǎn)移率完全已知是一種理想化的情況，因此，考慮一般轉(zhuǎn)移率即轉(zhuǎn)移率含有不確定性且部分未知情形具有更加重要的實(shí)際意義［7-8］.文獻(xiàn)［8］考慮了一類連續(xù)廣義Markov跳變系統(tǒng)在一般轉(zhuǎn)移速率下的控制器設(shè)計(jì)問題.本文研究離散廣義Markov 跳變系統(tǒng)在一般轉(zhuǎn)移率下的魯棒穩(wěn)定性問題．

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下離散廣義Markov 跳變系統(tǒng)：其中：xk∈Rn,uk∈Rm分別是系統(tǒng)的狀態(tài)和控制輸入.{rk,k∈Z}是取值在有限集合S={1,2,…,N}的Markov鏈，從模態(tài)i到模態(tài)j的 轉(zhuǎn)移率定義為其中當(dāng)i≠j時(shí)轉(zhuǎn)移率矩陣定義為矩陣E∈ Rn×n滿足rankE=r＜n.為表述方便，當(dāng)rk=i∈S時(shí)，A(rk),B(rk)分別簡(jiǎn)記為Ai,Bi.

本文考慮一般轉(zhuǎn)移率情形，即轉(zhuǎn)移率含有不確定性且部分未知情形.如i= 3,轉(zhuǎn)移率矩陣可設(shè)為：

其中：“？”表示轉(zhuǎn)移率矩陣中未知的轉(zhuǎn)移率.

πij與分別表示不確定轉(zhuǎn)移率的估計(jì)值和估計(jì)誤差. 令αij=πij-εij.

?i∈S, 定義其中并定義其中表示矩陣Π中第i行中序號(hào)為的 第m個(gè)已知元素表示矩陣Π 中第i行中序號(hào) 為的第N-m個(gè)未 知元素. 并令τ=

當(dāng)uk= 0 時(shí)，引入如下定義：

定義1［1］①稱系統(tǒng)（1）是正則的，如果對(duì)任意i∈S,det(sE-Ai)不恒為零；

②稱系統(tǒng)（1）是因果的，如果對(duì)任意i∈S,deg(det(sE-Ai))= rankE；

③稱系統(tǒng)（1）是隨機(jī)穩(wěn)定的，如果對(duì)x0∈Rn,r0∈S, 存在標(biāo)量M(x0,r0) ＞0，使得

其中：x(t,x0,r0)表示初始條件x0,r0下系統(tǒng)（1）在t時(shí)的解，ε(·)表示數(shù)學(xué)期望；

④稱系統(tǒng)（1）是隨機(jī)容許的，如果它是正則、因果且隨機(jī)穩(wěn)定的.

引理1［1］當(dāng)uk= 0 時(shí)，系統(tǒng)（1）是隨機(jī)容許的當(dāng)且僅當(dāng)?i∈S，存在矩陣Pi＞0 及對(duì)稱非奇異矩陣Φ，使得下列線性矩陣不等式成立：

引理2［7］給定實(shí)數(shù)ε和矩陣Q，則以下矩陣不等式成立.

其中：矩陣T＞0.

2 主要結(jié)果

定理1 令uk= 0，給定正實(shí)數(shù)ε＞0,δ＞0,系統(tǒng)（1）是隨機(jī)容許的，如果存在矩陣Hi＞0,Wi＞0,Yi＞0,及對(duì)稱非奇異矩陣Ψ及矩陣Mi,Si,Ti,使得下列線性矩陣不等式成立.

其中：

證明 由引理1 知系統(tǒng)（1）是隨機(jī)容許的當(dāng)且僅當(dāng)式（3）成立，即

由于

則式（3）可由以下不等式，即

和

得到.

根據(jù)引理2，由式（11）得

于是由Schur 補(bǔ)引理，式（11）可由式（8）及式（5）得到.同理，式（12）可由式（9）及式（6）得到.于是定理1 成立.

3 結(jié)論

本文考慮了在一般轉(zhuǎn)移率下的離散廣義Markov 系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題，得到了上述系統(tǒng)基于線性矩陣不等式的隨機(jī)容許性條件.