郝春然

函數(shù)的概念是從廣泛的實際問題中抽象出來的，在當(dāng)今社會應(yīng)用廣泛，在數(shù)學(xué)，計算機(jī)科學(xué)，金融，IT等領(lǐng)域發(fā)揮著舉足輕重的作用。函數(shù)這一概念從提出到如今滲透到數(shù)學(xué)的各個層面，都在數(shù)學(xué)學(xué)科中有著不可撼動的地位。有關(guān)函數(shù)的知識是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，以及解析幾何中直線、圓錐曲線等知識的基礎(chǔ)，函數(shù)知識又是解決實際問題的重要工具。

函數(shù)的知識如此重要，但是，很多學(xué)生感覺到學(xué)習(xí)函數(shù)很困難，在對我校120名同學(xué)的調(diào)查中，有20名同學(xué)對函數(shù)的感受是“太難了”，有68名同學(xué)對函數(shù)的感受是“有點(diǎn)難”，有32的學(xué)生對函數(shù)的感受是“挺容易的”?！疤y了”占到的比例是16.7%，“有點(diǎn)難”占到56.7%。在感受到“太難了”或“有點(diǎn)難”的88名同學(xué)中，有36名同學(xué)認(rèn)為是函數(shù)的概念很難，所占比例是40.9%.

因此，本文對函數(shù)的專題研究，主要圍繞函數(shù)的概念和三種表示方法來開展。

一、圖象法

關(guān)于函數(shù)圖象，初中數(shù)學(xué)課本八年級下冊（北京版）中給出了函數(shù)圖象的做法：把一個函數(shù)的一個自變量的值，和它所對的因變量的值分別作為一個點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，就能在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的一個點(diǎn)，由所有這樣的點(diǎn)組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象。

回顧函數(shù)概念的發(fā)展史，探究函數(shù)概念的淵源，我們會驚奇的發(fā)現(xiàn)：學(xué)生遇到的困難具有歷史相似性。比如，在歷史進(jìn)程中，從研究不變的量到研究變化的量經(jīng)歷了重重阻礙，伽利略反對“不變才是高貴的、完全的科學(xué)”的說法，從而受到羅馬教皇的鎮(zhèn)壓，接受審判，被關(guān)進(jìn)監(jiān)獄，晚年凄慘。可見，當(dāng)時要想讓人們接受：“把變化的量作為科學(xué)的研究對象”是多么艱難的一件事，這種艱難也同樣發(fā)生在了我們的學(xué)生身上。

在2011年至2015年，以及2017年的6年里，北京中考數(shù)學(xué)試卷的最后一道選擇題一度稱為經(jīng)典的難題類型，都是勻速運(yùn)動的點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離隨時間或某一線段長度的變化而生成的圖象問題。

此類題目要求學(xué)生能夠研究變化的量，以及一個變化的量隨另外一個變化的量而連續(xù)變化的情況，“變化的量”成為學(xué)生認(rèn)知的困難，缺乏函數(shù)觀念。

函數(shù)圖象，特別是連續(xù)變化的函數(shù)圖象最能反應(yīng)函數(shù)自變量與因變量之間的“依賴關(guān)系”，這種成依賴關(guān)系的變量在我們的生活中隨處可見：我們乘車出門，那么汽車上的計時表、速度表、里程表都是時間的函數(shù);醫(yī)院里，病人的脈搏、呼吸、體溫等隨病情的變化而變化，也是時間的函數(shù)，最能體現(xiàn)函數(shù)產(chǎn)生的社會需要。因此，不論是中考要求，還是社會需要，我們都要重視對學(xué)生函數(shù)觀念的培養(yǎng)。

二、列表法

列表法，即用列表法來表示函數(shù)關(guān)系的方法稱為列表法。圖象法最能體現(xiàn)函數(shù)與自變量的“依賴關(guān)系”，那么最能體現(xiàn)函數(shù)概念的“對應(yīng)關(guān)系”的是哪種方法呢？

由于不是每個函數(shù)都能用表達(dá)式來表示，因此我做了圖象法與列表法的一個對比小測試。我在本校初中部三個年級測試了2018年北京中考數(shù)學(xué)的第16題：

在測試完這道題后，在沒有任何講解或?qū)W生交流的情況下，緊接著測試如下題目：

這兩道題其實是同一道題，只不過采用了兩種不同的函數(shù)表示方法，題目1是圖象法，只不過圖象是離散的一些點(diǎn)，題目2是列表法，用的字母符號更突出對應(yīng)關(guān)系。

對比測試結(jié)果顯示：題目1的正確率低。初二和初三的學(xué)生正確率只有30%左右，初一學(xué)生由于沒有學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，正確率只有5%左右;題目2的正確率有了顯著提高，初一和初二的學(xué)生正確率都超過了80%，初三學(xué)生的正確率接近90%。由此，得出結(jié)論：列表法比圖象法能讓學(xué)生更容易的發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，那么最能體現(xiàn)函數(shù)概念的“對應(yīng)關(guān)系”的是列表法。

表格法最能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系，“對應(yīng)關(guān)系”恰恰是函數(shù)概念的最本質(zhì)特征。因此，我認(rèn)為在函數(shù)概念的教學(xué)中，教師應(yīng)發(fā)揮表格法在體現(xiàn)“對應(yīng)關(guān)系”上的優(yōu)勢作用，重視列表法的教學(xué)。

三、解析法

初中數(shù)學(xué)課本八年級下冊（北京版）中：用含有自變量的代數(shù)式來表示因變量的式子叫做函數(shù)的表達(dá)式。這種表示函數(shù)關(guān)系的方法稱為解析法。

那么為什用“解析”這兩個字呢？其實，在幾年前，初中各個版本的教材曾一度用“解析式”一詞來表示含有自變量的代數(shù)式，而并非“表達(dá)式”?？疾旌瘮?shù)概念的發(fā)展演變史，不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)概念的萌芽伴隨著解析幾何的誕生，兩者曾一度糾纏，混為一談。

其實，解析幾何是先有的軌跡，也就是圖象，后建立坐標(biāo)系，求出的軌跡方程的。某些軌跡方程經(jīng)過恒等變形，坐標(biāo)變換，就成為了初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的函數(shù)表達(dá)式。因此，初中階段對基礎(chǔ)函數(shù)的教學(xué)過程中，特別要注意的一個事實是：函數(shù)的表達(dá)式?jīng)Q定函數(shù)圖象。