楊文君

(無錫市育紅小學(xué)，江蘇無錫，214000)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。簡單說就是研究“數(shù)”與“形”的科學(xué)。數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀體現(xiàn)，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合思想就是通過“數(shù)”與“形”之間的對應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教材在很多內(nèi)容中都滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，其主要教學(xué)實(shí)踐形態(tài)是滲透。教師要以內(nèi)容為載體有意識(shí)地滲透，讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)、感悟和領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展其數(shù)學(xué)思維能力。

一、以形助數(shù)，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想

波利亞指出:“圖形不僅是幾何題目的對象，而且對任何一開始跟幾何沒什么關(guān)系的題目，圖形也是一個(gè)重要的幫手?！睂ⅰ皵?shù)”的問題用“形”來直觀描述，能使某些抽象難懂的問題生動(dòng)化、形象化，易于學(xué)生理解和掌握。

(一)利用數(shù)軸形象理解抽象概念

概念是知識(shí)的核心，它不僅是知識(shí)的基礎(chǔ)，也是抽象思維的基礎(chǔ)和基本形式，學(xué)生只有充分理解才能熟練運(yùn)用。有些概念具有較強(qiáng)的抽象性與邏輯性，小學(xué)生在認(rèn)知與理解時(shí)會(huì)比較困難。如蘇教版五年級“小數(shù)的近似數(shù)”一課，當(dāng)學(xué)生根據(jù)四舍五入法得到1.496億千米≈1.5億千米，1.496億千米≈1.50千米后，教材指出“1.50比1.5更精確”。在此，教師可以啟發(fā)學(xué)生先在數(shù)軸上找出這兩個(gè)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)(見圖1)，然后進(jìn)一步找到四舍五入后是1.5和1.50的數(shù)分別在什么范圍。學(xué)生從數(shù)軸上直觀地看出近似數(shù)1.5的取值范圍遠(yuǎn)大于近似數(shù)1.50，從而理解了“1.50比1.5更精確”的真正含義。

數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合最基本的載體，是數(shù)形結(jié)合最基礎(chǔ)的滲透，這里將抽象的“數(shù)”放在具體的 “形”上，讓數(shù)和點(diǎn)建立對應(yīng)關(guān)系，通過查找有形的區(qū)域，讓抽象的概念變得具體可視。

圖1 在數(shù)軸上找對應(yīng)點(diǎn)

(二)利用面積圖直觀探索運(yùn)算法則

圖2 面積圖

數(shù)學(xué)算式是抽象化、符號化的語言，計(jì)算教學(xué)不僅要講清楚“怎么算”，也要重視在理解算理的基礎(chǔ)上提高計(jì)算技能、培養(yǎng)數(shù)感。面積圖可以把算式形象化，使學(xué)生記憶深刻，理解算理。

(三)利用線段圖巧妙解決實(shí)際問題

解決問題教學(xué)是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要渠道，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。當(dāng)遇到關(guān)系較復(fù)雜的實(shí)際問題時(shí)，畫出示意圖能化繁為簡，有助于學(xué)生找到解決問題的思路和方法。例如，六年級“分?jǐn)?shù)與除法”中有這樣一道習(xí)題:小林從家去圖書館，走了20分鐘后離中點(diǎn)還有400米，這時(shí)已走路程和剩下路程的比是2∶3。小林家離圖書館多少米？僅看文字很多學(xué)生認(rèn)為解答有困難，但引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題意畫出線段圖(見圖3)后，學(xué)生借助線段圖能清楚看出400米對應(yīng)的分率，可以巧妙地解決問題。

圖3 線段圖

線段圖是理解抽象數(shù)量關(guān)系形象化、視覺化的工具，能幫助學(xué)生有效獲得數(shù)學(xué)信息并加以整合，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，感悟數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢。

二、用數(shù)解形，感悟數(shù)形結(jié)合思想

借助數(shù)的精確性、程序性和可操作性來闡明形的某些屬性，可稱之為“以數(shù)解形”。在小學(xué)階段主要體現(xiàn)在圖形與幾何領(lǐng)域。教師在教學(xué)中有效的數(shù)形結(jié)合設(shè)計(jì)，能讓學(xué)生感受到數(shù)據(jù)對圖形細(xì)致入微的刻畫。

(一)用數(shù)據(jù)精確表述圖形的性質(zhì)、特征

對幾何圖形的認(rèn)識(shí)與理解離不開數(shù)和算式，有時(shí)僅憑直觀觀察看不出特征或規(guī)律，需要借助測量和運(yùn)算才能得到具體的結(jié)果，進(jìn)而作判斷。教師在認(rèn)識(shí)圖形特征的教學(xué)中要重視讓數(shù)說話，用數(shù)據(jù)精確表述圖形的性質(zhì)、特征。比如三年級“認(rèn)識(shí)長方形”一課，可以通過觀察不同的長方形，圍繞“有什么共同特征”這一問題步步追問，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注邊和角，數(shù)一數(shù)邊和角的數(shù)量，折一折、用尺量一量邊的長度，通過具體的數(shù)據(jù)明確對邊相等，用三角尺的直角比一比知道有4個(gè)直角，測量長方形的長和寬，能用“長6厘米、寬4厘米”描述某個(gè)長方形。

用數(shù)可以精確刻畫圖形的度量特征，讓學(xué)生體會(huì)研究圖形的特征離不開數(shù)的表達(dá)。

(二)用數(shù)據(jù)精確測算圖形的周長、面積

圖形的周長與面積是幾何中最基本的度量概念，它們都是數(shù)。周長和面積的教學(xué)核心是如何測量。如在教學(xué)長方形的面積計(jì)算時(shí)，教師可以先在長方形里鋪滿單位面積的小正方形，用數(shù)格子的方法測量出長方形的面積，進(jìn)而關(guān)注格子數(shù)與邊的長度之間的關(guān)系(見圖4)，幫助學(xué)生溝通“用面積單位度量面積”與“度量長度計(jì)算面積”之間的聯(lián)系，理解長方形的面積計(jì)算公式，體會(huì)到利用測量數(shù)據(jù)計(jì)算面積的優(yōu)越性。

通過測量計(jì)算，用算術(shù)的方法解決周長、面積等幾何問題，學(xué)生能體會(huì)用數(shù)表述的精確和便捷，感受“以數(shù)解形”，感悟數(shù)形結(jié)合思想。

三、數(shù)形互譯，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是“數(shù)”和“形”本質(zhì)的相互呼應(yīng)，數(shù)和形之間的轉(zhuǎn)化常常是雙向的，其重點(diǎn)是代數(shù)和幾何之間的聯(lián)系。

(一)用數(shù)對準(zhǔn)確注解圖形的位置與變換

在四年級“用數(shù)對確定位置”一課的教學(xué)中，教師先要將同學(xué)們熟悉的座位平面圖抽象為比較形象的直角坐標(biāo)系，把物體抽象成點(diǎn)，平面上的每個(gè)點(diǎn)就能有唯一的數(shù)對來表示，建立數(shù)對和點(diǎn)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。接著，教師可根據(jù)數(shù)對來找平面中的點(diǎn)，體會(huì)用一對有序的數(shù)可以唯一地確定平面上的一個(gè)點(diǎn)。這是一個(gè) “由形到數(shù)”，再“由數(shù)到形”的過程。練習(xí)中，教師可安排找出如(x,4)，(6,y)所表示的點(diǎn)，使學(xué)生感悟到根據(jù)數(shù)對的不同特征，在幾何中表現(xiàn)為不同的線。用數(shù)對表示平移后頂點(diǎn)的位置時(shí)，學(xué)生還能自發(fā)進(jìn)行有序數(shù)對的運(yùn)算。

數(shù)形結(jié)合可以讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)用數(shù)可以表示幾何對象，數(shù)對的變化體現(xiàn)了圖形的位置、變化等特征，為將來要學(xué)習(xí)的直角坐標(biāo)系奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

(二)正反比例關(guān)系與幾何圖像互析

可以把具有正反比例關(guān)系的兩個(gè)量在直角坐標(biāo)系中表示出來，實(shí)際上就是正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像。六年級學(xué)習(xí)的“正比例圖像”是正比例函數(shù)圖像在第一象限的部分。在學(xué)生充分理解正比例的意義的基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生用“描點(diǎn)法”畫出正比例圖像，初步認(rèn)識(shí)正比例圖像的特點(diǎn)，借助形象的圖像，讓學(xué)生直觀感知兩個(gè)量之間相互依存的關(guān)系。判斷兩個(gè)量是否成正比例關(guān)系，可以根據(jù)圖像是一條過原點(diǎn)的直線這一 “形”的特征，也可以根據(jù)點(diǎn)所表示的實(shí)際意義計(jì)算比值，用“數(shù)”的表征來判斷。(見圖5)

圖5 根據(jù)點(diǎn)所表示的意義計(jì)算比值

學(xué)生借助正比例圖像解決簡單的實(shí)際問題，能感受正比例圖像的應(yīng)用價(jià)值。教師可引導(dǎo)學(xué)生算一算，感受在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透，初步感知函數(shù)與圖像的聯(lián)系。

數(shù)形結(jié)合思想的滲透和領(lǐng)悟是一個(gè)不斷豐富、反思、提升的過程，教師要善于捕捉形形色色的數(shù)與形，在教學(xué)中有意識(shí)滲透、適時(shí)提煉、明確指出，讓學(xué)生感知數(shù)形各有各的價(jià)值，彼此有著十分密切的聯(lián)系，并能在潛移默化中有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，將它逐步內(nèi)化為自己的思想方法。